The 21 reference contexts in paper E. Aristova M., Е. Аристова М. (2017) “УСТАНОВЛЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ МЕЖДУ МЕТОДАМИ АДДИТИВНОЙ СВЕРТКИ И МЕТРИКИ // REGULATION OF THE RELATIONSHIP BETWEEN ADDITIVE REDUCTION AND METRICS METHODS” / spz:neicon:vestnik:y:2017:i:2:p:107-117

  1. Start
    5867
    Prefix
    Под принятием решений (ПР) подразумевается целенаправленный процесс, включающий определение целей ПР, постановку задачи ПР и саму процедуру ПР – выбор одной из имеющихся альтернатив, лучшей в некотором смысле. Основной субъект процесса ПР – лицо, принимающее решение (ЛПР) или группа ЛПР
    Exact
    [1-5]
    Suffix
    . Теория принятия решений позволяет решать задачи наилучшего выбора. С ее помощью можно научиться осуществлять выбор более обоснованно и эффективно, используя имеющуюся в наличии информацию о предпочтениях.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    6206
    Prefix
    С ее помощью можно научиться осуществлять выбор более обоснованно и эффективно, используя имеющуюся в наличии информацию о предпочтениях. Эта теория помогает избежать принятия заведомо негодных решений и учесть возможные отрицательные последствия непродуманного выбора
    Exact
    [1,6-11]
    Suffix
    . Чрезвычайно широкий и крайне важный с практической точки зрения класс задач выбора составляют многоцелевые (многокритериальные) задачи, в которых качество принимаемого решения оценивается по нескольким критериям одновременно [1].
    (check this in PDF content)

  3. Start
    6441
    Prefix
    Чрезвычайно широкий и крайне важный с практической точки зрения класс задач выбора составляют многоцелевые (многокритериальные) задачи, в которых качество принимаемого решения оценивается по нескольким критериям одновременно
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Постановка задачи. Рассмотрим многоцелевую задачу линейного программирования [1] { ∑ ̅̅̅̅̅ (1) где – i-ая целевая функция, общее число которых равно p, – коэффициент i-ой целевой функции, стоящий на k-месте, X – множество допустимых значений переменной x.
    (check this in PDF content)

  4. Start
    6527
    Prefix
    Чрезвычайно широкий и крайне важный с практической точки зрения класс задач выбора составляют многоцелевые (многокритериальные) задачи, в которых качество принимаемого решения оценивается по нескольким критериям одновременно [1]. Постановка задачи. Рассмотрим многоцелевую задачу линейного программирования
    Exact
    [1]
    Suffix
    { ∑ ̅̅̅̅̅ (1) где – i-ая целевая функция, общее число которых равно p, – коэффициент i-ой целевой функции, стоящий на k-месте, X – множество допустимых значений переменной x.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    7155
    Prefix
    ̅̅̅̅̅ (1) где – i-ая целевая функция, общее число которых равно p, – коэффициент i-ой целевой функции, стоящий на k-месте, X – множество допустимых значений переменной x. По существу многоцелевая задача отличается от обычной задачи оптимизации только наличием нескольких целевых функций вместо одной
    Exact
    [12-16]
    Suffix
    . Пусть X – множество вариантов решений в задаче многокритериальной максимизации, а каждой альтернативе ставится в соответствие векторная оценка ( ) Решение называется оптимальным по Парето, если для любого другого решения для всех частных критериев выполняются неравенства ̅̅̅̅̅ и имеется такой индекс { что
    (check this in PDF content)

  6. Start
    7544
    Prefix
    , а каждой альтернативе ставится в соответствие векторная оценка ( ) Решение называется оптимальным по Парето, если для любого другого решения для всех частных критериев выполняются неравенства ̅̅̅̅̅ и имеется такой индекс { что соответствующее неравенство выполняется как строгое, т.е.
    Exact
    [1,17-18]
    Suffix
    . Множество Парето представляет собой множество попарно несравнимых по предпочтению решений. Для окончательного выбора оптимального решения необходимо привлечение специальных методов. Парето-оптимальность рассматривает множество значений переменных задачи (решений или альтернатив), в которых значение ни одной из локальных функций полезности не может быть улучшено, не ухудшив при этом вел
    (check this in PDF content)

  7. Start
    8090
    Prefix
    Парето-оптимальность рассматривает множество значений переменных задачи (решений или альтернатив), в которых значение ни одной из локальных функций полезности не может быть улучшено, не ухудшив при этом величину какой-либо другой функции полезности. Это множество в терминологии многокритериального выбора называют множеством эффективных решений
    Exact
    [1,17]
    Suffix
    . Для решения многоцелевой задачи линейного программирования (1) существует много различных методов. Наиболее популярен – метод, основанный на скаляризации критериев. Идея метода заключается в формировании на основе дополнительной информации, полученной от лица, принимающего решение (ЛПР), функциональной зависимости между и построение на ее основе скалярной функции для зад
    (check this in PDF content)

  8. Start
    8621
    Prefix
    Идея метода заключается в формировании на основе дополнительной информации, полученной от лица, принимающего решение (ЛПР), функциональной зависимости между и построение на ее основе скалярной функции для задачи оптимизации, которая бы сыграла роль нового принципа. Данная функция называется обобщенной функцией критериев или обобщенным критерием
    Exact
    [1-2, 4-5,14]
    Suffix
    . Рассмотрим задачи: { (2) { (3) Здесь – обобщенный критерий, – множество Парето (множество эффективных решений), – некоторая м
    (check this in PDF content)

  9. Start
    9373
    Prefix
    методами обобщенного критерия и целевого программирования: если является решением задачи (2), то существует ли метрика такая, что является решением задачи (3), и наоборот, если – решение задачи (3), то существует ли аддитивная свертка, что – решение задачи (2)? Метод исследования. Проблема агрегирования достаточно активно обсуждается в отечественной и зарубежной литературе
    Exact
    [1,7,15-17,19]
    Suffix
    , поскольку лежит в основе многих процедур принятий решений (групповой выбор, многоцелевые модели), используется в межотраслевом балансе, нейросетевых технологиях, при исследовании многоцелевых систем.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    10213
    Prefix
    В самом общем смысле под агрерированием понимается переход от векторной оценки размерности к векторной оценке размерности при Зачастую агрегирование предполагает переход от векторной оценки к скалярной, которая называется обобщенной (групповой, комплексной, интегральной). В основе аналитических приемов такого типа агрегирования лежит понятие оператора агрегирования
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Пусть − заданное множество альтернатив; − частная оценка альтернативы , в качестве которой может выступать оценка по i-му критерию (показателю), или оценка, полученная от i-го эксперта; − векторная оценка альтернативы тогда ее обобщенная (комплексная, интегральная) оценка может быть получена путем агрегирования компонент векторной оценки в соответствии с определенн
    (check this in PDF content)

  11. Start
    11541
    Prefix
    определяют степень влияния частных оценок на обобщенную оценку Если – вектор оценок альтернативы по критериям (показателям), а вектор задает веса критериев, то – многокритериальная оценка альтернативы. Если компоненты вектора – коэффициенты компетентности экспертов, а – вектор оценок, полученных от этих экспертов, то – групповая (коллективная) оценка альтернативы
    Exact
    [7, 19-21]
    Suffix
    . Заметим, что при формировании обобщенной оценки возможны две схемы агрегирования: 1) 2) ( ) В первом случае вначале строятся агрегаты для всех ̅̅̅̅̅ которые затем «сворачиваются» в обобщенную оценку Во втором случае – агрегирование весов и частных оценок альтернативы осуществ
    (check this in PDF content)

  12. Start
    14035
    Prefix
    Они агрегируют компоненты векторной оценки, упорядоченные определенным образом (порядковые операторы). К операторам данного класса относятся OWAоператоры (Ordered Weighted Averaging Aggregation operator) и различные их модификации и обобщения
    Exact
    [1,7, 20]
    Suffix
    . Выбор оператора агрегирования – важнейший этап формирования моделей оценки, который напрямую зависит от качества исходной информации. Заметим, что как веса, так и оценки альтернатив могут быть как количественными, так и качественными [1,7].
    (check this in PDF content)

  13. Start
    14279
    Prefix
    Выбор оператора агрегирования – важнейший этап формирования моделей оценки, который напрямую зависит от качества исходной информации. Заметим, что как веса, так и оценки альтернатив могут быть как количественными, так и качественными
    Exact
    [1,7]
    Suffix
    . Решение задачи (2) основано на формировании обобщенного критерия [1], а задача (3) является основой метода целевого программирования. В основе этого метода лежит простое эвристическое соображение − стараться в качестве наилучшего выбрать такой возможный вектор, который в критериальном пространстве расположен ближе всех к некоторому «идеальному» вектору.
    (check this in PDF content)

  14. Start
    14350
    Prefix
    Выбор оператора агрегирования – важнейший этап формирования моделей оценки, который напрямую зависит от качества исходной информации. Заметим, что как веса, так и оценки альтернатив могут быть как количественными, так и качественными [1,7]. Решение задачи (2) основано на формировании обобщенного критерия
    Exact
    [1]
    Suffix
    , а задача (3) является основой метода целевого программирования. В основе этого метода лежит простое эвристическое соображение − стараться в качестве наилучшего выбрать такой возможный вектор, который в критериальном пространстве расположен ближе всех к некоторому «идеальному» вектору.
    (check this in PDF content)

  15. Start
    14997
    Prefix
    При этом в качестве «идеального» нередко берется вектор, составленный из максимальных значений компонент векторного критерия, а варьирование метрики для измерения расстояния в критериальном пространстве приводит к целому семейству однотипных вариантов метода целевого программирования, которые, однако, могут приводить к различным конечным результатам
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Для обоснованного выбора той или иной метрики никаких четких рекомендаций не выработано; здесь чаще всего исходят из соображений простоты, а именно, − применяют такую метрику, чтобы получающаяся в итоге экстремальная задача приближения была наиболее простой в вычислительном отношении.
    (check this in PDF content)

  16. Start
    15678
    Prefix
    В обозначениях нашей задачи в рамках метода целевого программирования в качестве лучшего, выбирается такое решение , для которого вектор находится на наименьшем расстоянии от некоторого «идеального» вектора составленного из максимальных значений частных критериев
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Необходимо отметить, что использование некоторых метрик в рамках целевого программирования может приводить к решениям, которые не являются Парето-оптимальными. Поэтому в целевом программировании значительное место уделяется нахождению условий, при которых использование той или иной метрики заведомо приводит к Паретооптимальным решениям [1].
    (check this in PDF content)

  17. Start
    16043
    Prefix
    Необходимо отметить, что использование некоторых метрик в рамках целевого программирования может приводить к решениям, которые не являются Парето-оптимальными. Поэтому в целевом программировании значительное место уделяется нахождению условий, при которых использование той или иной метрики заведомо приводит к Паретооптимальным решениям
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Справедлива теорема Карлина. Если – выпуклый метрический компакт, вогнуты на нем, а – оптимальная по Парето альтернатива, то существует такой набор чисел ∑ что критерий ∑ достигает своего максимума в точке Пусть производится максимизация векторной функции ( ) на критериальном пространстве выпуклое
    (check this in PDF content)

  18. Start
    17255
    Prefix
    такой вектор удовлетворяющими равенству ∑ что максимум функции на множестве всех , удовлетворяющих ограничениям , достигается для Для аддитивной свертки известны необходимые (теорема Карлина) и достаточные условия Парето-оптимальности. Для обобщенного критерия на основе порядковых операторов взвешенного агрегирования
    Exact
    [7,12,19,21]
    Suffix
    в работе [1] приводятся: Теорема 1. OWA-оператор является строго монотонным по каждому аргументу. Доказательство. Пусть ∑ где вектор определяется из вектора путем упорядочения элементов вектора по невозрастанию.
    (check this in PDF content)

  19. Start
    17277
    Prefix
    удовлетворяющими равенству ∑ что максимум функции на множестве всех , удовлетворяющих ограничениям , достигается для Для аддитивной свертки известны необходимые (теорема Карлина) и достаточные условия Парето-оптимальности. Для обобщенного критерия на основе порядковых операторов взвешенного агрегирования [7,12,19,21] в работе
    Exact
    [1]
    Suffix
    приводятся: Теорема 1. OWA-оператор является строго монотонным по каждому аргументу. Доказательство. Пусть ∑ где вектор определяется из вектора путем упорядочения элементов вектора по невозрастанию.
    (check this in PDF content)

  20. Start
    19119
    Prefix
    Это означает, что существует решение такое, что ( ) Вычислив обобщенные оценки ̃ и ̃ для решений и получим, что в силу монотонности порядкового оператора агрегирования, выполняется ( ̃ ) ̃ , что противоречит тому факту, что ( ̃) Таким образом, предположение не верно, и Теорема доказана. В
    Exact
    [1]
    Suffix
    сформулирована и доказана следующая Теорема 3. Пусть – решение задачи (2) для некоторого вектора весов ̂ ̂ ̂ т.е. ∑ ̂ тогда для всякого целого m является решением задачи (3) с метрикой ̂ ( ) (∑ ̂ | | ) Доказательство.
    (check this in PDF content)

  21. Start
    20833
    Prefix
    том числе и для набора Тогда, ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ что невозможно, т.к. точка является точкой максимума линейной свертки. Фактически мы доказали, что набор ( ) является решением системы (4), что подтверждает ее совместность. Теорема доказана. Обсуждение результатов. В работе
    Exact
    [1]
    Suffix
    и в настоящей статье приведена и доказана теорема о Парето-оптимальности решения, максимизирующего обобщенный критерий, полученный на основе порядковых операций взвешенного агрегирования, которая обосновывает использование операций данного типа для решения задач векторной оптимизации или многокритериального выбора.
    (check this in PDF content)