The 11 reference contexts in paper B. Yazyev M., A. Chepurnenko S., S. Litvinov V., S. Yazyev B., Б. Языев М., А. Чепурненко С., С. Литвинов В., С. Языев Б. (2016) “РАСЧЁТ ТРЁХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНКИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С УЧЁТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ СРЕДНЕГО СЛОЯ // CALCULATION OF THE THREE-LAYER PLATE BY THE METHOD OF FINAL ELEMENTS TAKING INTO ACCOUNT CREEP OF THE CENTRE” / spz:neicon:vestnik:y:2014:i:2:p:47-55

  1. Start
    2004
    Prefix
    Известно, что пенопластам, которые используются в таких пластинках в качестве среднего слоя, присущи не только упругие свойства, но и вязкость. Поэтому для адекватного описания НДС трехслойных панелей необходимо использовать аппарат теории ползучести
    Exact
    [1, 2]
    Suffix
    . Вопросам расчета трехслойных конструкций с учетом реологических свойств заполнителя посвящено достаточно много работ [4–9]. Однако авторы, как правило, ограничиваются определенным законом связи деформаций ползучести и напряжений.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    2228
    Prefix
    Поэтому для адекватного описания НДС трехслойных панелей необходимо использовать аппарат теории ползучести [1, 2]. Вопросам расчета трехслойных конструкций с учетом реологических свойств заполнителя посвящено достаточно много работ
    Exact
    [4–9]
    Suffix
    . Однако авторы, как правило, ограничиваются определенным законом связи деформаций ползучести и напряжений. Имеется решение данной задачи в случаях, когда ползучесть описывается законами Фойгта [8], Максвелла– Томпсона [5], уравнением Больцмана–Вольтерра при экспоненциальном ядре [6].
    (check this in PDF content)

  3. Start
    2436
    Prefix
    Однако авторы, как правило, ограничиваются определенным законом связи деформаций ползучести и напряжений. Имеется решение данной задачи в случаях, когда ползучесть описывается законами Фойгта
    Exact
    [8]
    Suffix
    , Максвелла– Томпсона [5], уравнением Больцмана–Вольтерра при экспоненциальном ядре [6]. В действительности ползучесть полимерных материалов характеризуется более сложными зависимостями, поэтому существует необходимость в универсальной методике расчета.
    (check this in PDF content)

  4. Start
    2462
    Prefix
    Однако авторы, как правило, ограничиваются определенным законом связи деформаций ползучести и напряжений. Имеется решение данной задачи в случаях, когда ползучесть описывается законами Фойгта [8], Максвелла– Томпсона
    Exact
    [5]
    Suffix
    , уравнением Больцмана–Вольтерра при экспоненциальном ядре [6]. В действительности ползучесть полимерных материалов характеризуется более сложными зависимостями, поэтому существует необходимость в универсальной методике расчета.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    2528
    Prefix
    Однако авторы, как правило, ограничиваются определенным законом связи деформаций ползучести и напряжений. Имеется решение данной задачи в случаях, когда ползучесть описывается законами Фойгта [8], Максвелла– Томпсона [5], уравнением Больцмана–Вольтерра при экспоненциальном ядре
    Exact
    [6]
    Suffix
    . В действительности ползучесть полимерных материалов характеризуется более сложными зависимостями, поэтому существует необходимость в универсальной методике расчета. Постановка задачи Предположим, что толщина наружных слоев одинакова и равна 푡.
    (check this in PDF content)

  6. Start
    2977
    Prefix
    Постановка задачи Предположим, что толщина наружных слоев одинакова и равна 푡. Кроме того, 푡 намного меньше общей толщины пластинки ℎ (рис. 1). Будем считать, что крайние слои передают нормальные и касательные усилия в своей плоскости, а средний слой работает только на сдвиг
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Пусть 푢в, 푣в,푤в — перемещения точек верхнего слоя, 푢н,푣н,푤н — соответственно перемещения нижнего слоя. Полагаем, что средний слой несжимаем, т.е. 푤в=푤н=푤. Деформации верхнего и нижнего слоя при больших прогибах будут равны: 휀푥 в(н) = 휕푢в(н) 휕푥 + 1 2 ( 휕푤 휕푥 ) 2 ; 휀푦 в(н) = 휕푣в(н) 휕푦 + 1 2 ( 휕푤 휕푦 ) 2 ; 훾푥푦 в(н) = 휕푢в(н) 휕푦 + 휕푣в(н) 휕푥 . (1) Соответствующие им напряжения запишутся в вид
    (check this in PDF content)

  7. Start
    4304
    Prefix
    С учетом (1) и вводя обозначения 훼= 푢н−푢в ℎ ,훽= 푣н−푣в ℎ , получим: 푀푥=퐷( 휕훼 휕푥 +휈 휕훽 휕푦 ); 푀푦=퐷( 휕훽 휕푦 +휈 휕훼 휕푥 ); 퐻 =퐷(1−휈)( 휕훼 휕푦 +휈 휕훽 휕푥 ), ( (2) где 퐷= 퐸푡ℎ2 2(1−휈2) — цилиндрическая жесткость трехслойной пластинки. Для перемещений точки заполнителя, находящейся на расстоянии 푧 от срединной поверхности, будут иметь место зависимости
    Exact
    [3]
    Suffix
    : 푢с= 푢в+푢н 2 + 푢н−푢в ℎ 푧=푢+훼푧; 푣с= 푣в+푣н 2 + 푣н−푣в ℎ 푧=푣+훽푧. Деформации сдвига среднего слоя будут равны: 훾푧푥с= 휕푢с 휕푧 + 휕푤 휕푥 =훼+ 휕푤 휕푥 ; 훾푧푦с= 휕푣с 휕푧 + 휕푤 휕푦 =훽+ 휕푤 휕푦 . Касательные напряжения с учетом деформаций ползучести примут вид: 휏푧푥с=퐺з(훾푧푥с−훾푧푥с∗)=퐺з(훼+ 휕푤 휕푥 −훾푧푥с∗); 휏푧푦с=퐺з(훾푧푦с−훾푧푦с∗) =퐺з(훽+ 휕푤 휕푦 −훾푧푦 с∗ ), где 퐺з — модуль сдвига заполнителя, 훾푧푥с∗,
    (check this in PDF content)

  8. Start
    5202
    Prefix
    퐹= 휕훼 휕푥 + 휕훽 휕푦 из уравнения (3) получим: 퐹=−훻2푤+ 1 ℎ퐺з ( 휕푄푥 휕푥 + 휕푄푦 휕푦 )+ 휕훾푧푥푐∗ 휕푥 + 휕훾푧푦푐∗ 휕푦 . ( (4) Дифференциальные уравнения равновесия имеют вид: 휕푀푥 휕푥 + 휕퐻 휕푦 −푄푥=0; 휕퐻 휕푥 + 휕푀푦 휕푦 −푄푦=0. ( (8) С учетом (2) для поперечных сил можно записать: 푄푥=퐷훻2훼; 푄푦=퐷훻2훽. ( (5) Уравнение равновесия в проекциях на нормаль к деформированной поверхности
    Exact
    [3]
    Suffix
    : 휕푄푥 휕푥 + 휕푄푦 휕푦 +2푡(휎푥 휕2푤 휕푥2 +휎푦 휕2푤 휕푦2 +2휏푥푦 휕2푤 휕푥휕푦 )+푞=0. ( (6) Подставляя в (6) выражения для поперечных сил (5), получим: 퐷 2푡 훻2퐹=− 푞 2푡 − 휕2훷 휕푦2 휕2푤 휕푥2 − 휕2훷 휕푥2 휕2푤 휕푦2 +2 휕2훷 휕푥휕푦 휕2푤 휕푥휕푦 , ( (7) где 훷 — функция напряжений, 휎푥= 휕2훷 휕푦2 ,휎푦= 휕2훷 휕푥2 ,휏푥푦=− 휕2훷 휕푥휕푦 .
    (check this in PDF content)

  9. Start
    5785
    Prefix
    получим: 퐹=−훻2푤+ 퐷 퐺зℎ 훻2퐹+ 휕훾푧푥푐∗ 휕푥 + 휕훾푧푦푐∗ 휕푦 . ( (8) Уравнения (7) и (8) можно свести к одному уравнению, исключив функцию 퐹: 퐷 2푡 훻 4 푤=(1− 퐷 퐺зℎ 훻 2 )( 푞 2푡 +퐿(푤,훷))+ 퐷 2푡 훻 2 ( 휕훾푧푥с∗ 휕푥 + 휕훾푧푦 с∗ 휕푦 ), ( (9) где 퐿(푤,훷) — дифференциальный оператор, равный: 퐿(푤,훷)= 휕2훷 휕푦2 ⋅ 휕2푤 휕푥2 + 휕2훷 휕푥2 ⋅ 휕2푤 휕푦2 −2 휕2훷 휕푥휕푦 ⋅ 휕2푤 휕푥휕푦 . Уравнение совместности деформаций имеет вид
    Exact
    [3]
    Suffix
    : 1 퐸 훻4훷=− 1 2 퐿(푤,푤). ( (10) Уравнения (9) и (10) образуют систему дифференциальных уравнений изгиба трехслойной гибкой пластинки при ползучести. При малых прогибах можно положить 훷=0. Тогда при 푞=푐표푛푠푡 уравнение (9) примет вид: 훻4푤= 푞 퐷 +훻2( 휕훾푧푥с∗ 휕푥 + 휕훾푧푦с∗ 휕푦 ). ( (11) При отсутствии деформаций ползучести уравнение (11) совпадает с уравнением Софи Жермен, из чего н
    (check this in PDF content)

  10. Start
    6895
    Prefix
    Более того, при условии 퐺з푙2 퐸ℎ푡 ≤0.5 можно без существенного ущерба для точности результатов, определять прогибы и напряжения в заполнителе в предположении, что 푢 в =푢 н =푣 в =푣 н =0
    Exact
    [5]
    Suffix
    . Пренебрегая влиянием несущих слоев на прогиб, можно получить разрешающие уравнения метода конечных элементов. Рассмотрим прямоугольный конечный элемент 푐 размерами 푎×푏 (рис. 2). Рисунок 2 - Прямоугольный изгибаемый элемент В каждом узле такого элемента имеется 3 степени свободы: прогиб 푤푖 и 2 угла поворота 휑푖푥 и 휑푖 푦 .
    (check this in PDF content)

  11. Start
    10244
    Prefix
    Представив полные деформации сдвига в виде суммы упругих деформаций и деформаций ползучести: 훾푖= 휏푖 퐺З +훾푖∗, можно получить выражения для скоростей изменения деформаций ползучести: 휕훾푖 ∗ 휕푡 = 푐З 퐺З 휏푖−훼З훾푖∗. (15) Для определения деформаций ползучести в каждый момент времени применяется линейная аппроксимация
    Exact
    [7]
    Suffix
    . На рис. 3 показан график роста прогиба в центре пластинки. Штриховой линии соответствует решение с учетом деформации обшивок, сплошной — решение только с учетом работы заполнителя на сдвиг. При 푡=0 прогибы отличаются на 8.8%, а при 푡→∞ — на 3.12%.
    (check this in PDF content)