The 15 reference contexts in paper O. Malyshenko V., A. Mamontov E., D. Prokudin A., О. Малышенко В., А. Мамонтов Е., Д. Прокудин А. (2016) “РАЗРЕШИМОСТЬ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ БАРОТРОПНОГО СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ БИНАРНОЙ СМЕСИ // SOLVABILITY OF MULTIDIMENSIONAL EQUATIONS OF A BINARY MIXTURE BAROTROPIC STEADY FLOW” / spz:neicon:vestnik-k:y:2013:i:2:p:85-90

  1. Start
    1512
    Prefix
    Keywords: boundary value problem, dynamics of mixtures, Navier-Stokes equations, weak solutions. В данной работе рассматривается математическая модель динамики бинарной смеси вязких сжимаемых жидкостей (газов), которая основана на подходе предложенном в
    Exact
    [1, 2]
    Suffix
    и является обобщением известной модели Навье-Стокса. Нелокальные результаты для многомерных уравнений стационарных баротропных течений смесей получены на сегодняшний день в случае, когда показатели адиабаты составляющих смеси одинаковы [3, с. 32 – 38].
    (check this in PDF content)

  2. Start
    1735
    Prefix
    работе рассматривается математическая модель динамики бинарной смеси вязких сжимаемых жидкостей (газов), которая основана на подходе предложенном в [1, 2] и является обобщением известной модели Навье-Стокса. Нелокальные результаты для многомерных уравнений стационарных баротропных течений смесей получены на сегодняшний день в случае, когда показатели адиабаты составляющих смеси одинаковы
    Exact
    [3, с. 32 – 38]
    Suffix
    . Модифицируя подходы, используемые в [3] при получении «глобальных» (не зависящих от входных данных задачи) априорных оценок, удается установить свойство слабой компактности последовательности приближенных решений для более полной ситемы уравнений динамики смеси, в случае, когда показатели адиабаты могут быть различными и доказать теорему существования для краевой задачи, соответствующ
    (check this in PDF content)

  3. Start
    1793
    Prefix
    Нелокальные результаты для многомерных уравнений стационарных баротропных течений смесей получены на сегодняшний день в случае, когда показатели адиабаты составляющих смеси одинаковы [3, с. 32 – 38]. Модифицируя подходы, используемые в
    Exact
    [3]
    Suffix
    при получении «глобальных» (не зависящих от входных данных задачи) априорных оценок, удается установить свойство слабой компактности последовательности приближенных решений для более полной ситемы уравнений динамики смеси, в случае, когда показатели адиабаты могут быть различными и доказать теорему существования для краевой задачи, соответствующей стационарным течениям в ограниченной об
    (check this in PDF content)

  4. Start
    2312
    Prefix
    для более полной ситемы уравнений динамики смеси, в случае, когда показатели адиабаты могут быть различными и доказать теорему существования для краевой задачи, соответствующей стационарным течениям в ограниченной области, в классе слабых обобщенных решений. Более простые модели (в приближении Стокса и квазистационарные модели) с позиции существования решений изучены в более ранних работах
    Exact
    [4, с. 1259 – 1281; 5, с. 527 – 541; 6, с. 319 – 345]
    Suffix
    . Методология, применяемая в данной работе, основана на опыте исследований уравнений Навье-Стокса сжимаемых вязких жидкостей [7 – 11]. В частности, существенное значение имеет использование аналогов так называемого эффективного вязкого давления [7; 12, с. 358 – 392], для которых удается доказать обобщение коммуникативных соотношений для слабых пределов. 1.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    2609
    Prefix
    Методология, применяемая в данной работе, основана на опыте исследований уравнений Навье-Стокса сжимаемых вязких жидкостей [7 – 11]. В частности, существенное значение имеет использование аналогов так называемого эффективного вязкого давления
    Exact
    [7; 12, с. 358 – 392]
    Suffix
    , для которых удается доказать обобщение коммуникативных соотношений для слабых пределов. 1. Постановка задачи и основной результат Предполагается, что бинарная смесь вязких сжимаемых жидкостей (газов) заполняет ограниченную область Ω⊂R3 евклидова пространства точек x(,,)321xxx= с границей 2ΩC∈∂, и состояние смеси в изотермическом случае характеризуется распределением плотностей )(xiρ, дав
    (check this in PDF content)

  6. Start
    3837
    Prefix
    1 D()Tuuu⊗∇+⊗∇= в которых на коэффициенты вязкости ijμ, ijλ, i,1,2=j налагаются следующие ограничения: μ110,4()0,221122211>+−>μμμμ ν110,0,4()0,22112221112>+−=>ννννν (1.1d) νij=+2,,1,2.=jiijijμλ Предполагается, что давление ip i-й составляющей смеси и векторы )(iJ, 2,1=i, отражающие интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси, выражаются посредством формул
    Exact
    [2]
    Suffix
    : (1)(),0,1,2. ,1,1,2, ()1(2)(1)=>−−= =>= +iaa pKK0,i ii iiiiii Juu ρ > γγ (1.1e) Массовые силы )(if, 2,1=i считаются заданными гладкими векторными полями, а величины ijλ, ijμ , iγ, iK, a – заданными константами.
    (check this in PDF content)

  7. Start
    4770
    Prefix
    Отметим, что из (1.1d) следует неравенство (для любых векторных полей ()()12,iW∈Ωu исчезающих на ∂Ω) 22 ()()() 2 0 ,11 ijji ,i iji LdC d ==ΩΩ ∑∑⋅≥∇∫∫uu xu x (1.2) где ()div, div , )( 2 1 () =−Δ−+∇ =−∑ = ijijijij j ij j i L L μλμ Pu ,1,2,ij= а 00>C – постоянная (зависящая от ijλ и ijμ). В работе используются общепринятые (например,
    Exact
    [13-14]
    Suffix
    ) обозначения функциональных пространств: Lp(Ω) ))Ω((lpW – пространство функций, интегрируемых со степенью 1≥p (вместе с обобщенными производными до порядка 0≥l). )Ω(lC ()Ω(0lC) – банахово пространство функций, обладающих непрерывными частными производными до порядка l≥0 включительно в Ω (с компактными носителями, лежащими в Ω).
    (check this in PDF content)

  8. Start
    7588
    Prefix
    Условимся, что далее через C будут обозначаться различные постоянные, которые могут зависеть только от перечисленных выше данных задачи (но не зависят от параметра ε). Доказательство существования сильного решения задачи (1.3) проводится с помощью принципа неподвижной точки Лере-Шаудера
    Exact
    [15, с. 258]
    Suffix
    аналогично доказательству подобного утверждения в работе [3, с. 32 – 38] и отличается лишь техническими деталями. Покажем, что имеет место оценка (2.1). Умножая обе части уравнений (1.3b) скалярно на )(iu, i=1,2и интегрируя по частям, получим после суммирования по i от 1 до 2 неравенство: . ||1 |||| 1 || 2|| || 2 || 2 1 ()() 2 1 1 22(1)(2)2 2 1 2 1 2 1 ()2 2 1 ()2 2 1 ()2 0 ∑∑∫∫ ∑∫∫
    (check this in PDF content)

  9. Start
    7657
    Prefix
    Доказательство существования сильного решения задачи (1.3) проводится с помощью принципа неподвижной точки Лере-Шаудера [15, с. 258] аналогично доказательству подобного утверждения в работе
    Exact
    [3, с. 32 – 38]
    Suffix
    и отличается лишь техническими деталями. Покажем, что имеет место оценка (2.1). Умножая обе части уравнений (1.3b) скалярно на )(iu, i=1,2и интегрируя по частям, получим после суммирования по i от 1 до 2 неравенство: . ||1 |||| 1 || 2|| || 2 || 2 1 ()() 2 1 1 22(1)(2)2 2 1 2 1 2 1 ()2 2 1 ()2 2 1 ()2 0 ∑∑∫∫ ∑∫∫ ∑∑∫∫ ∑∑∫∫ ==ΩΩ − ΩΩ − = ==ΩΩ ==ΩΩ +⋅ Ω− ≤ +∇+−≤ + − + Ω + ∇⊗++ i ii i i i i ii
    (check this in PDF content)

  10. Start
    8512
    Prefix
    16 2 ||||||||ρDu. (2.3) Используя неравенства (справедливые в силу соотношений (1.3е)) 62 5 2 23(21) ||()()||||||,1, 2, i i iLiiLСCiγ γ ρργ− ΩΩ≤+= (2.4) получаем из (2.3) оценку 212 222 () 23(21) () 11() ||||||||. i i i i iL iiW CCγ γ ργ− Ω ==Ω ∑∑≤+Du (2.5) Для вывода других оценок решений задачи (1.3) воспользуемся оператором Боговского, обладающего свойствами
    Exact
    [16, с. 5 – 40]
    Suffix
    : 1) ][=gBv – решение задачи di в Ω,v g=v 0 на Ω,=∂v где 2()∈ΩgL: 0 ;gd Ω ∫=x 2) имеет место оценка Bg[]221(Ω)(Ω) .WLC g≤D (2.6) Возьмем в качестве пробных функций в слабой формулировке уравнений (1.3b) функции ()[]=iiBgφ, где Ω 1 , 1,2.
    (check this in PDF content)

  11. Start
    9452
    Prefix
    Из этого соотношения в свою очередь следует, что 65. 63 2() 65 63 1() 2 1 () 1 1 22 2 2 221 CC C L L i iL i i ++ ≤+ − − Ω − − Ω = ∑Ω γ γ γ γ γ γ γγ ρ ρρ (2.9) Так как верны неравенства: 63 65,, 1,2,, j ijijij γ γγ − >=≠− то из (2.9) получаем первую оценку решений семейства краевых задач (1.3) . 2 1 2()C i ∑iLi≤ = ργΩ (2.10) Из оценок (2.5), (2.10) и соотношений
    Exact
    [7, с. 87]
    Suffix
    ||||1||||,1,2)()()( 3 6 3 6=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∇≤+ΩΩ ++ Ci i i i iL i iLi u γ γ γ εργρ, следует неравенство (2.1). 3. Предельный переход В силу оценки (2.1) из семейства решений iερ, ()i uε, 2,1=i можно извлечь последовательность (за которой сохраним прежние обозначения) такую, что при 0→ε ρiiρ ε→ слабо в ,2,1),( L2=Ωii γ (3.1) u()()iiu→ ε слабо в ,2,1),( 1 W2=Ωi D
    (check this in PDF content)

  12. Start
    10987
    Prefix
    1, 2 , i ji ij jji ijij iii i i ii iiii i d d d Kd dC i γ μ λμ ρ ρ ρ Ω = Ω Ω Ω ∞ Ω ⎛⎞∇⊗∇⊗+ ⎜⎟ ⎜⎟− ⎜⎟++⎜⎟ ⎝⎠ −⊗∇⊗ = =+ ++ ⋅ ∀∈Ω = ∫ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ uφx uφx uuφx φx Jfφxφ (3.7) где iiγρ обозначают слабые пределы последовательностей ()2,1,=i i i εγ ρ в пространстве )(2ΩL. Кроме того, отметим, что предельные функции удовлетворяют условию 2) определения 1.1 и справедливы соотношения
    Exact
    [3, с. 36]
    Suffix
    : div(),2,1,0== ∫ Ω ρiidixu (3.8) limdiv().2,1,0 0 ∫≤= Ω → iidixuεε ε ρ (3.9) Чтобы завершить доказательство теоремы 1.2 требуется, таким образом, доказать формулу ρii=,1,2.=iiiγγρ (3.10) Как и в работах [3], [7], [12], доказательство соотношений (3.10) основывается на коммуникативном свойстве эффективных вязких потоков
    (check this in PDF content)

  13. Start
    11241
    Prefix
    Кроме того, отметим, что предельные функции удовлетворяют условию 2) определения 1.1 и справедливы соотношения [3, с. 36]: div(),2,1,0== ∫ Ω ρiidixu (3.8) limdiv().2,1,0 0 ∫≤= Ω → iidixuεε ε ρ (3.9) Чтобы завершить доказательство теоремы 1.2 требуется, таким образом, доказать формулу ρii=,1,2.=iiiγγρ (3.10) Как и в работах
    Exact
    [3]
    Suffix
    , [7], [12], доказательство соотношений (3.10) основывается на коммуникативном свойстве эффективных вязких потоков компонент смеси K−divdiv,1,2,)2(2)1(=−iii1iiiu u ννργ для которых получено обобщение коммуникативных соотношений для слабых пределов, сформулированое в виде следующей теоремы.
    (check this in PDF content)

  14. Start
    11248
    Prefix
    того, отметим, что предельные функции удовлетворяют условию 2) определения 1.1 и справедливы соотношения [3, с. 36]: div(),2,1,0== ∫ Ω ρiidixu (3.8) limdiv().2,1,0 0 ∫≤= Ω → iidixuεε ε ρ (3.9) Чтобы завершить доказательство теоремы 1.2 требуется, таким образом, доказать формулу ρii=,1,2.=iiiγγρ (3.10) Как и в работах [3],
    Exact
    [7]
    Suffix
    , [12], доказательство соотношений (3.10) основывается на коммуникативном свойстве эффективных вязких потоков компонент смеси K−divdiv,1,2,)2(2)1(=−iii1iiiu u ννργ для которых получено обобщение коммуникативных соотношений для слабых пределов, сформулированое в виде следующей теоремы.
    (check this in PDF content)

  15. Start
    11255
    Prefix
    , отметим, что предельные функции удовлетворяют условию 2) определения 1.1 и справедливы соотношения [3, с. 36]: div(),2,1,0== ∫ Ω ρiidixu (3.8) limdiv().2,1,0 0 ∫≤= Ω → iidixuεε ε ρ (3.9) Чтобы завершить доказательство теоремы 1.2 требуется, таким образом, доказать формулу ρii=,1,2.=iiiγγρ (3.10) Как и в работах [3], [7],
    Exact
    [12]
    Suffix
    , доказательство соотношений (3.10) основывается на коммуникативном свойстве эффективных вязких потоков компонент смеси K−divdiv,1,2,)2(2)1(=−iii1iiiu u ννργ для которых получено обобщение коммуникативных соотношений для слабых пределов, сформулированое в виде следующей теоремы.
    (check this in PDF content)