The 15 reference contexts in paper O. Malyshenko V., A. Mamontov E., D. Prokudin A., О. Малышенко В., А. Мамонтов Е., Д. Прокудин А. (2016) “РАЗРЕШИМОСТЬ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ БАРОТРОПНОГО СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ БИНАРНОЙ СМЕСИ // SOLVABILITY OF MULTIDIMENSIONAL EQUATIONS OF A BINARY MIXTURE BAROTROPIC STEADY FLOW” / spz:neicon:vestnik-k:y:2013:i:2:p:85-90

  1. Start
    1511
    Prefix
    Keywords: boundary value problem, dynamics of mixtures, Navier-Stokes equations, weak solutions. В данной работе рассматривается математическая модель динамики бинарной смеси вязких сжимаемых жидкостей (газов), которая основана на подходе предложенном в
    Exact
    [1, 2]
    Suffix
    и является обобщением известной модели Навье-Стокса. Нелокальные результаты для многомерных уравнений стационарных баротропных течений смесей получены на сегодняшний день в случае, когда показатели адиабаты составляющих смеси одинаковы [3, с. 32 – 38].
    (check this in PDF content)

  2. Start
    1734
    Prefix
    работе рассматривается математическая модель динамики бинарной смеси вязких сжимаемых жидкостей (газов), которая основана на подходе предложенном в [1, 2] и является обобщением известной модели Навье-Стокса. Нелокальные результаты для многомерных уравнений стационарных баротропных течений смесей получены на сегодняшний день в случае, когда показатели адиабаты составляющих смеси одинаковы
    Exact
    [3, с. 32 – 38]
    Suffix
    . Модифицируя подходы, используемые в [3] при получении «глобальных» (не зависящих от входных данных задачи) априорных оценок, удается установить свойство слабой компактности последовательности приближенных решений для более полной ситемы уравнений динамики смеси, в случае, когда показатели адиабаты могут быть различными и доказать теорему существования для краевой задачи, соответствующ
    (check this in PDF content)

  3. Start
    1792
    Prefix
    Нелокальные результаты для многомерных уравнений стационарных баротропных течений смесей получены на сегодняшний день в случае, когда показатели адиабаты составляющих смеси одинаковы [3, с. 32 – 38]. Модифицируя подходы, используемые в
    Exact
    [3]
    Suffix
    при получении «глобальных» (не зависящих от входных данных задачи) априорных оценок, удается установить свойство слабой компактности последовательности приближенных решений для более полной ситемы уравнений динамики смеси, в случае, когда показатели адиабаты могут быть различными и доказать теорему существования для краевой задачи, соответствующей стационарным течениям в ограниченной об
    (check this in PDF content)

  4. Start
    2311
    Prefix
    для более полной ситемы уравнений динамики смеси, в случае, когда показатели адиабаты могут быть различными и доказать теорему существования для краевой задачи, соответствующей стационарным течениям в ограниченной области, в классе слабых обобщенных решений. Более простые модели (в приближении Стокса и квазистационарные модели) с позиции существования решений изучены в более ранних работах
    Exact
    [4, с. 1259 – 1281; 5, с. 527 – 541; 6, с. 319 – 345]
    Suffix
    . Методология, применяемая в данной работе, основана на опыте исследований уравнений Навье-Стокса сжимаемых вязких жидкостей [7 – 11]. В частности, существенное значение имеет использование аналогов так называемого эффективного вязкого давления [7; 12, с. 358 – 392], для которых удается доказать обобщение коммуникативных соотношений для слабых пределов. 1.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    2608
    Prefix
    Методология, применяемая в данной работе, основана на опыте исследований уравнений Навье-Стокса сжимаемых вязких жидкостей [7 – 11]. В частности, существенное значение имеет использование аналогов так называемого эффективного вязкого давления
    Exact
    [7; 12, с. 358 – 392]
    Suffix
    , для которых удается доказать обобщение коммуникативных соотношений для слабых пределов. 1. Постановка задачи и основной результат Предполагается, что бинарная смесь вязких сжимаемых жидкостей (газов) заполняет ограниченную область Ω⊂R3 евклидова пространства точек x(,,)321xxx= с границей 2ΩC∈∂, и состояние смеси в изотермическом случае характеризуется распределением плотностей )(xiρ, дав
    (check this in PDF content)

  6. Start
    3836
    Prefix
    1 D()Tuuu⊗∇+⊗∇= в которых на коэффициенты вязкости ijμ, ijλ, i,1,2=j налагаются следующие ограничения: μ110,4()0,221122211>+−>μμμμ ν110,0,4()0,22112221112>+−=>ννννν (1.1d) νij=+2,,1,2.=jiijijμλ Предполагается, что давление ip i-й составляющей смеси и векторы )(iJ, 2,1=i, отражающие интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси, выражаются посредством формул
    Exact
    [2]
    Suffix
    : (1)(),0,1,2. ,1,1,2, ()1(2)(1)=>−−= =>= +iaa pKK0,i ii iiiiii Juu ρ > γγ (1.1e) ()() 2 ()() ()()() () ()()() ():() ():() div ji Массовые силы f, 2,1=i считаются заданными гладкими векторными полями, а величины ijλ, ijμ , γ, K, a – заданными константами.
    (check this in PDF content)

  7. Start
    5409
    Prefix
    следующей вспомогательной задачи: || div())( Ω −Δ++= iiuiii M ερρερε в ,2,1,=Ωi (1.3a) где div , )( 2 1 () j ij j i =−∑ = L L μλμ Pu ,1,2,ij= ()()()() 2 1 i i ii i ii i iii i ii i p M uuJf uuuu ρρ ε ρ ε ρ +⋅∇+∇=++ + Ω ⊗++ P div() ()div, =−Δ−+∇ ijijijij 22|| а 00>C – постоянная (зависящая от ijλ и ijμ). ()()()()() 1 ()div 2 В работе используются общепринятые (например,
    Exact
    [13-14]
    Suffix
    ) обозначения функциональных пространств: Lp(Ω) ))Ω((lpW – пространство функций, интегрируемых со степенью 1≥p (вместе с обобщенными производными до порядка 0≥l). )Ω(lC ()Ω(0lC) – банахово пространство функций, обладающих непрерывными частными производными до порядка l≥0 включительно в Ω (с компактными носителями, лежащими в Ω).
    (check this in PDF content)

  8. Start
    7598
    Prefix
    величина C зависит только от {} () () i fCΩ, {}ijλ, {}ijμ, {}iγ, {}iK, Ω, a, {}iM (а значит не зависит от параметра ε). 22 ii γγ i чаться различные постоянные, которые могут зависеть только от перечисленных выше данных задачи (но не зависят от параметра ε). Доказательство существования сильного решения задачи (1.3) проводится с помощью принципа неподвижной точки Лере-Шаудера
    Exact
    [15, с. 258]
    Suffix
    аналогично доказательству подобного утверждения в работе [3, с. 32 – 38] и отличается лишь техническими деталями. Покажем, что имеет место оценка (2.1). Умножая обе части уравнений (1.3b) скалярно на )(iu, i=1,2и интегрируя по частям, получим после суммирования по i от 1 до 2 неравенство: C ρρ ρ ρ Ω ≤+ iiLL j iL 22 12 2() 2 21() ()() 222 () () 11 222 () () 11 .
    (check this in PDF content)

  9. Start
    7667
    Prefix
    Доказательство существования сильного решения задачи (1.3) проводится с помощью принципа неподвижной точки Лере-Шаудера [15, с. 258] аналогично доказательству подобного утверждения в работе
    Exact
    [3, с. 32 – 38]
    Suffix
    и отличается лишь техническими деталями. Покажем, что имеет место оценка (2.1). Умножая обе части уравнений (1.3b) скалярно на )(iu, i=1,2и интегрируя по частям, получим после суммирования по i от 1 до 2 неравенство: C ρρ ρ ρ Ω ≤+ iiLL j iL 22 12 2() 2 21() ()() 222 () () 11 222 () () 11 .
    (check this in PDF content)

  10. Start
    9089
    Prefix
    силу соотношений (1.3е)) 62 5 2 23(21) ||()()||||||,1, 2, i i iLiiLСCiγ γ ρργ− ΩΩ≤+= (2.4) ijijij то из (2.9) получаем первую оценку решений семейства краевых задач (1.3) . 2 получаем из (2.3) оценку 212 222 () 23(21) () 11() ||||||||. i i i i iL iiW CCγ γ ργ− Ω ==Ω ∑∑≤+Du (2.5) 2()C i ∑iLi≤ = ργΩ (2.10) 1 Из оценок (2.5), (2.10) и соотношений
    Exact
    [7, с. 87]
    Suffix
    Для вывода других оценок решений задачи (1.3) ⎞ ⎛ ||||1||||,1,2)()()( 3 6 3 6=⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ i воспользуемся оператором Боговского, обладающего ∇≤+ΩΩ ++ Ci i i i iL iLi u γ γ γ εργρ, свойствами [16, с. 5 – 40]: 1) ][=gBv – решение задачи di в Ω,v g=v 0 на Ω,=∂v где 2()∈ΩgL: 0 ;gd Ω ∫=x следует неравенство (2.1). 3.
    (check this in PDF content)

  11. Start
    9224
    Prefix
    2.3) оценку 212 222 () 23(21) () 11() ||||||||. i i i i iL iiW CCγ γ ργ− Ω ==Ω ∑∑≤+Du (2.5) 2()C i ∑iLi≤ = ργΩ (2.10) 1 Из оценок (2.5), (2.10) и соотношений [7, с. 87] Для вывода других оценок решений задачи (1.3) ⎞ ⎛ ||||1||||,1,2)()()( 3 6 3 6=⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ i воспользуемся оператором Боговского, обладающего ∇≤+ΩΩ ++ Ci i i i iL iLi u γ γ γ εργρ, свойствами
    Exact
    [16, с. 5 – 40]
    Suffix
    : 1) ][=gBv – решение задачи di в Ω,v g=v 0 на Ω,=∂v где 2()∈ΩgL: 0 ;gd Ω ∫=x следует неравенство (2.1). 3. Предельный переход В силу оценки (2.1) из семейства решений iερ, ()i uε, 2,1=i можно извлечь последовательность (за 2) имеет место оценка которой сохраним прежние обозначения) такую, что Bg[]221(Ω)(Ω) .
    (check this in PDF content)

  12. Start
    11965
    Prefix
    1,2, i i iii1i iii1i ii i i Kd Kd d Φdi εεγ εε εγ εε ε εε ε ε ηρν ν ηητ τ ηρν ν τ ρτ Ω Ω Ω Ω − ⎡⎤−−= ⎢⎥⎣⎦ =⎡⎤−−− ⎢⎥⎣⎦ −⊗∇⊗∇+ += Δ− ∫ ∫ ∫ ∫ uux uux uux x (3.13) 1, 2 , где iiγρ обозначают слабые пределы последовательностей ()2,1,=i i i εγ ρ в пространстве )(2ΩL. Кроме того, отметим, что предельные функции удовлетворяют условию 2) определения 1.1 и справедливы соотношения
    Exact
    [3, с. 36]
    Suffix
    : div(),2,1,0== ∫ Ω ρiidixu (3.8) где нетрудно показать в силу (2.1), (3.1), (3.3) и (3.5), что 0iΦdε Ω ∫→-x при 2 1 6 0,max, 1, 2. 43 i ii ti γ ε γ= ⎧⎫ →>=⎨⎬ ⎩⎭− limdiv().2,1,0 0 ∫≤= Ω → iidixuεε ε ρ (3.9) Чтобы завершить доказательство теоремы 1.2 требуется, таким образом, доказать формулу ρii=,1,2.=iiiγγρ (3.10) Как и в
    (check this in PDF content)

  13. Start
    12314
    Prefix
    1,0== ∫ Ω ρiidixu (3.8) где нетрудно показать в силу (2.1), (3.1), (3.3) и (3.5), что 0iΦdε Ω ∫→-x при 2 1 6 0,max, 1, 2. 43 i ii ti γ ε γ= ⎧⎫ →>=⎨⎬ ⎩⎭− limdiv().2,1,0 0 ∫≤= Ω → iidixuεε ε ρ (3.9) Чтобы завершить доказательство теоремы 1.2 требуется, таким образом, доказать формулу ρii=,1,2.=iiiγγρ (3.10) Как и в работах
    Exact
    [3]
    Suffix
    , [7], [12], доказательство Рассмотрим второе слагаемое в правой части (3.13). Умножим обе части уравнений (1.3а) на функцию τ, а затем подействуем на результат (продолжая рассматриваемые функции нулем в R3\Ω) оператором () ()1,1,2,ii ε ηητε−−∇Δ=⋅u и тогда после интегриросоотношений (3.10) основывается на коммуникативном свойстве эффективных вязких потоков компонент смеси K−d
    (check this in PDF content)

  14. Start
    12321
    Prefix
    Ω ρiidixu (3.8) где нетрудно показать в силу (2.1), (3.1), (3.3) и (3.5), что 0iΦdε Ω ∫→-x при 2 1 6 0,max, 1, 2. 43 i ii ti γ ε γ= ⎧⎫ →>=⎨⎬ ⎩⎭− limdiv().2,1,0 0 ∫≤= Ω → iidixuεε ε ρ (3.9) Чтобы завершить доказательство теоремы 1.2 требуется, таким образом, доказать формулу ρii=,1,2.=iiiγγρ (3.10) Как и в работах [3],
    Exact
    [7]
    Suffix
    , [12], доказательство Рассмотрим второе слагаемое в правой части (3.13). Умножим обе части уравнений (1.3а) на функцию τ, а затем подействуем на результат (продолжая рассматриваемые функции нулем в R3\Ω) оператором () ()1,1,2,ii ε ηητε−−∇Δ=⋅u и тогда после интегриросоотношений (3.10) основывается на коммуникативном свойстве эффективных вязких потоков компонент смеси K−divdiv,1
    (check this in PDF content)

  15. Start
    12328
    Prefix
    (3.8) где нетрудно показать в силу (2.1), (3.1), (3.3) и (3.5), что 0iΦdε Ω ∫→-x при 2 1 6 0,max, 1, 2. 43 i ii ti γ ε γ= ⎧⎫ →>=⎨⎬ ⎩⎭− limdiv().2,1,0 0 ∫≤= Ω → iidixuεε ε ρ (3.9) Чтобы завершить доказательство теоремы 1.2 требуется, таким образом, доказать формулу ρii=,1,2.=iiiγγρ (3.10) Как и в работах [3], [7],
    Exact
    [12]
    Suffix
    , доказательство Рассмотрим второе слагаемое в правой части (3.13). Умножим обе части уравнений (1.3а) на функцию τ, а затем подействуем на результат (продолжая рассматриваемые функции нулем в R3\Ω) оператором () ()1,1,2,ii ε ηητε−−∇Δ=⋅u и тогда после интегриросоотношений (3.10) основывается на коммуникативном свойстве эффективных вязких потоков компонент смеси K−divdiv,1,2,)2(2)
    (check this in PDF content)