The 24 references with contexts in paper V. Kot A., В. Кот А. (2016) “МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛА ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА // A METHOD OF BOUNDARY CHARACTERISTICS BASED ON THE HEAT-BALANCE INTEGRAL IN HEAT-CONDUCTION PROBLEMS” / spz:neicon:vestift:y:2016:i:2:p:54-65

1
Goodman, T. R. Application of integral methods to transient nonlinear heat transfer / T. R. Goodman // Adv. Heat Transfer, New York: Academic Press.– 1964. – Vol. 1. – P. 51–122.
Total in-text references: 5
  1. In-text reference with the coordinate start=1740
    Prefix
    The method proposed surpasses the known integral methods in accuracy and convergence of solutions by several orders of magnitude. Keywords: heat conduction equation, approximate method, integral identities, front of a disturbance. Введение. Интегральный метод теплового баланса (Heat Balance Integral Method – HBIM)
    Exact
    [1]
    Suffix
    является одним из наиболее мощных и эффективных методов приближенного решения задач тепломассопереноса. Среди других приближенных методов, например, таких как численные методы [2, 3], метод возмущений [4], метод луча [5] и др.

  2. In-text reference with the coordinate start=7451
    Prefix
    d ∂∂ , (4) ( ,0) 0Tx=, (5) ( ) T t ht0,( )=. (6) Условия на фронте возмущения принимают вид ()()( ), 0;( ), 0 T T tttt x ∂ d= d= ∂ . (7) Представим искомый температурный профиль в виде полинома N-й степени 1 ()() () Nj j j x T ht a t =t  = + d ∑. (8) Запишем известное решение, которое использует краевые условия (5)–(7) и интеграл теплового баланса Т. Гудмена
    Exact
    [1]
    Suffix
    : ()() 0 2 2 0 (0, ) tt T T Tt tx x dd ∂∂∂ = ∂ =∫∫∂∂ . (9) В случае представления решения в виде полинома второй степени при () 1ht= имеем [1] 2 (,) 1 () x Txt t  = - d . (10) Подставив выражение (10) в формулу (9) и введя переменную 2() ()tts=d, получим ( ) 12t′s=.

  3. In-text reference with the coordinate start=7580
    Prefix
    d= ∂ . (7) Представим искомый температурный профиль в виде полинома N-й степени 1 ()() () Nj j j x T ht a t =t  = + d ∑. (8) Запишем известное решение, которое использует краевые условия (5)–(7) и интеграл теплового баланса Т. Гудмена [1]: ()() 0 2 2 0 (0, ) tt T T Tt tx x dd ∂∂∂ = ∂ =∫∫∂∂ . (9) В случае представления решения в виде полинома второй степени при () 1ht= имеем
    Exact
    [1]
    Suffix
    2 (,) 1 () x Txt t  = - d . (10) Подставив выражение (10) в формулу (9) и введя переменную 2() ()tts=d, получим ( ) 12t′s=. Отсюда при начальном условии (0) 0s= находим ( ) 12tts=. В итоге приходим к искомому решению для первой стадии процесса в первом приближении [1] () 2 Txt(,) 1 /12tx= -. (11) Положив 11() () 1tts=d=, найдем время окончания первой стадии:11/12 0,08333t=

  4. In-text reference with the coordinate start=7850
    Prefix
    T Tt tx x dd ∂∂∂ = ∂ =∫∫∂∂ . (9) В случае представления решения в виде полинома второй степени при () 1ht= имеем [1] 2 (,) 1 () x Txt t  = - d . (10) Подставив выражение (10) в формулу (9) и введя переменную 2() ()tts=d, получим ( ) 12t′s=. Отсюда при начальном условии (0) 0s= находим ( ) 12tts=. В итоге приходим к искомому решению для первой стадии процесса в первом приближении
    Exact
    [1]
    Suffix
    () 2 Txt(,) 1 /12tx= -. (11) Положив 11() () 1tts=d=, найдем время окончания первой стадии:11/12 0,08333t= ≈. Результаты расчета, согласно (13), в сравнении с точным решением [24] приведены на рис. 1, а.

  5. In-text reference with the coordinate start=13382
    Prefix
    Подстановка функции ()td в (25) даст решение 223 (,)1 0,2036733/21 0,157343 0,107104 0,02389216 xxxx tttt Txt=  - --+  . (28) Для полинома восьмой степени следующие два уравнения будут { }( ){ }( ) 00 4455,ttTT≡Γ≡Γ. (29) В качестве третьего уравнения воспользуемся условием, введенным в расчетную практику Т. Гуд меном
    Exact
    [1]
    Suffix
    и отражающим выполнение дифференциального уравнения теплопроводности в точке 0x=, откуда получим 2 2 00 () 0 xx TT dh t xtdt== ∂∂ === ∂∂ . (30) Тождественные равенства (21)–(23), (29) совместно с уравнением (30) позволяют определить восемь коэффициентов ( ), 1,8jat j=, температурного профиля (8).

2
Caldwell, J. Numerical methods for one-dimensional Stefan problems / J. Caldwell, Y. Y. Kwan // Comm. Numer. Meth. Eng. – 2004. – Vol. 20, N 7.– P. 535–545.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=1922
    Prefix
    Интегральный метод теплового баланса (Heat Balance Integral Method – HBIM) [1] является одним из наиболее мощных и эффективных методов приближенного решения задач тепломассопереноса. Среди других приближенных методов, например, таких как численные методы
    Exact
    [2, 3]
    Suffix
    , метод возмущений [4], метод луча [5] и др., HBIM занимает достойное место. Концеп-HBIM занимает достойное место. Концеп- занимает достойное место. Концепция метода заключается в следующем: в результате теплового воздействия на тело в нем образуется область с фронтом возмущения ()Rt, за пределами которой температура тела (,)Txt(либо иная полевая функция) остается неизменной.

3
Caldwell, J. Numerical solution of the Stefan problems by the heat balance integral method, Part I – cylindrical and spherical geometries / J. Caldwell, Y. Y. Kwan // Comm. Numer. Meth. Eng. – 2000. – Vol. 16, N 8.– P. 535–545.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=1922
    Prefix
    Интегральный метод теплового баланса (Heat Balance Integral Method – HBIM) [1] является одним из наиболее мощных и эффективных методов приближенного решения задач тепломассопереноса. Среди других приближенных методов, например, таких как численные методы
    Exact
    [2, 3]
    Suffix
    , метод возмущений [4], метод луча [5] и др., HBIM занимает достойное место. Концеп-HBIM занимает достойное место. Концеп- занимает достойное место. Концепция метода заключается в следующем: в результате теплового воздействия на тело в нем образуется область с фронтом возмущения ()Rt, за пределами которой температура тела (,)Txt(либо иная полевая функция) остается неизменной.

4
A cubic heat balance integral method for one-dimensional melting of a finite thickness layer / T. G. Myers [et al.] // Int. J. Heat Mass Transfer. – 2007. – Vol. 50, N 25-26. – P. 5305–5317.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=1947
    Prefix
    Интегральный метод теплового баланса (Heat Balance Integral Method – HBIM) [1] является одним из наиболее мощных и эффективных методов приближенного решения задач тепломассопереноса. Среди других приближенных методов, например, таких как численные методы [2, 3], метод возмущений
    Exact
    [4]
    Suffix
    , метод луча [5] и др., HBIM занимает достойное место. Концеп-HBIM занимает достойное место. Концеп- занимает достойное место. Концепция метода заключается в следующем: в результате теплового воздействия на тело в нем образуется область с фронтом возмущения ()Rt, за пределами которой температура тела (,)Txt(либо иная полевая функция) остается неизменной.

5
Addison, J. A. Ray Methods for free boundary problems /J. A. Addison, S. D. Howison, J. R. King // Quart. Appl. Math. – 2006. – Vol. LXIV, N 1. – P. 41–59.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=1963
    Prefix
    Интегральный метод теплового баланса (Heat Balance Integral Method – HBIM) [1] является одним из наиболее мощных и эффективных методов приближенного решения задач тепломассопереноса. Среди других приближенных методов, например, таких как численные методы [2, 3], метод возмущений [4], метод луча
    Exact
    [5]
    Suffix
    и др., HBIM занимает достойное место. Концеп-HBIM занимает достойное место. Концеп- занимает достойное место. Концепция метода заключается в следующем: в результате теплового воздействия на тело в нем образуется область с фронтом возмущения ()Rt, за пределами которой температура тела (,)Txt(либо иная полевая функция) остается неизменной.

6
Тимошпольский, В. И. Теоретические основы теплофизики и термомеханики в металлургии / В. И. Тимошпольский, Ю. С. Постольник, Д. Н. Андрианов.– Минск.: Бел. навука, 2005. – 560 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=3621
    Prefix
    А., 2016 В аналитической теории теплопроводности методы, в которых используется понятие фронта температурного возмущения, имеют широкий спектр разных подходов: HBIM, метод экви-HBIM, метод экви-, метод эквивалентных источников
    Exact
    [6]
    Suffix
    , методы М. Био [7], Г. И. Баренблатта [8], А. А. Дородницына [9] и др. Применение данных методов чрезвычайно широко: от линейных и нелинейных задач нагрева тел с нелинейными (а также с зависящими от времени) граничными условиями до задач с фазовыми переходами (так называемые стефановские задачи); от задач ламинарного обтекания пластины до задач течения жидкостей в каналах и гидродинамики нен

7
Био, М. Вариационные принципы в теории теплообмена / М. Био. – М.: Энергия, 1975. – 209 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=3640
    Prefix
    А., 2016 В аналитической теории теплопроводности методы, в которых используется понятие фронта температурного возмущения, имеют широкий спектр разных подходов: HBIM, метод экви-HBIM, метод экви-, метод эквивалентных источников [6], методы М. Био
    Exact
    [7]
    Suffix
    , Г. И. Баренблатта [8], А. А. Дородницына [9] и др. Применение данных методов чрезвычайно широко: от линейных и нелинейных задач нагрева тел с нелинейными (а также с зависящими от времени) граничными условиями до задач с фазовыми переходами (так называемые стефановские задачи); от задач ламинарного обтекания пластины до задач течения жидкостей в каналах и гидродинамики неньютоновских жидкост

8
Баренблатт, Г. И. О некоторых приближенных методах в теории одномерной неустановившейся фильтрации жидкости при упругом режиме / Г. И. Баренблатт // Изв. АН СССР. ОТН. – 1954. – No 9. – С. 35–49.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=3663
    Prefix
    А., 2016 В аналитической теории теплопроводности методы, в которых используется понятие фронта температурного возмущения, имеют широкий спектр разных подходов: HBIM, метод экви-HBIM, метод экви-, метод эквивалентных источников [6], методы М. Био [7], Г. И. Баренблатта
    Exact
    [8]
    Suffix
    , А. А. Дородницына [9] и др. Применение данных методов чрезвычайно широко: от линейных и нелинейных задач нагрева тел с нелинейными (а также с зависящими от времени) граничными условиями до задач с фазовыми переходами (так называемые стефановские задачи); от задач ламинарного обтекания пластины до задач течения жидкостей в каналах и гидродинамики неньютоновских жидкостей и т. д. [10].

9
Dorodnitsyn, A. A. General method of integral relations and its application to boundary layer theory / А. А. Dorodnit-А. А. Dorodnit-. А. Dorodnit-А. Dorodnit-. Dorodnitsyn. – Th. von K’arm’an. Advances in Aeronautical Sciences, Pergamon, 1965. – P. 207–219.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=3686
    Prefix
    А., 2016 В аналитической теории теплопроводности методы, в которых используется понятие фронта температурного возмущения, имеют широкий спектр разных подходов: HBIM, метод экви-HBIM, метод экви-, метод эквивалентных источников [6], методы М. Био [7], Г. И. Баренблатта [8], А. А. Дородницына
    Exact
    [9]
    Suffix
    и др. Применение данных методов чрезвычайно широко: от линейных и нелинейных задач нагрева тел с нелинейными (а также с зависящими от времени) граничными условиями до задач с фазовыми переходами (так называемые стефановские задачи); от задач ламинарного обтекания пластины до задач течения жидкостей в каналах и гидродинамики неньютоновских жидкостей и т. д. [10].

10
Hristov, J. The heat-balance integral method by a parabolic profile with unspecified exponent: Analysis and exercises / J. Hristov // Thermal Sci. – 2009. – Vol. 13, N 2. – P. 27–48.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=4049
    Prefix
    Применение данных методов чрезвычайно широко: от линейных и нелинейных задач нагрева тел с нелинейными (а также с зависящими от времени) граничными условиями до задач с фазовыми переходами (так называемые стефановские задачи); от задач ламинарного обтекания пластины до задач течения жидкостей в каналах и гидродинамики неньютоновских жидкостей и т. д.
    Exact
    [10]
    Suffix
    . Главным недостатком интегральных методов, использующих понятие фронта возмущения, является их относительно низкая точность. В первую очередь, это связано с тем, что в основу этих методов положено построение интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах фронта возмущения.

11
Sadoun, N. On the refined integral method for the one-phase Stefan problem with time-dependent boundary conditions / N. Sadoun, E. K. Si-Ahmed, P. Colinet // Appl. Math. Model. – 2006. – Vol. 30, N 6. – P. 531–544.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=4503
    Prefix
    В первую очередь, это связано с тем, что в основу этих методов положено построение интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах фронта возмущения. Имеется несколько разных подходов для решения проблемы точности HBIM. Это, в частности, RIM (Refined Integral Method)
    Exact
    [11, 12]
    Suffix
    , CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптим

  2. In-text reference with the coordinate start=4594
    Prefix
    Имеется несколько разных подходов для решения проблемы точности HBIM. Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-)
    Exact
    [11, 12]
    Suffix
    , CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [

12
Mitchell, S. L. Application of standard and refined heat balance integral methods to one-dimensional Stefan problems / S. L. Mitchell, T. G. Myers // SIAM Rev. – 2010. – Vol. 52, N 1. – P. 57–86.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=4503
    Prefix
    В первую очередь, это связано с тем, что в основу этих методов положено построение интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах фронта возмущения. Имеется несколько разных подходов для решения проблемы точности HBIM. Это, в частности, RIM (Refined Integral Method)
    Exact
    [11, 12]
    Suffix
    , CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптим

  2. In-text reference with the coordinate start=4594
    Prefix
    Имеется несколько разных подходов для решения проблемы точности HBIM. Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-)
    Exact
    [11, 12]
    Suffix
    , CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [

13
Myers, T. G. Application of the combined integral method to Stefan problems / T. G. Myers, S. L. Mitchell // Appl. Math. Model. – 2011. – Vol. 35, N 9. – P. 4281–4294.
Total in-text references: 6
  1. In-text reference with the coordinate start=4544
    Prefix
    В первую очередь, это связано с тем, что в основу этих методов положено построение интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах фронта возмущения. Имеется несколько разных подходов для решения проблемы точности HBIM. Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method)
    Exact
    [13]
    Suffix
    , схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [1

  2. In-text reference with the coordinate start=4635
    Prefix
    Имеется несколько разных подходов для решения проблемы точности HBIM. Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method)
    Exact
    [13]
    Suffix
    , схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничны

  3. In-text reference with the coordinate start=4714
    Prefix
    Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method)
    Exact
    [13]
    Suffix
    , схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23].

  4. In-text reference with the coordinate start=4791
    Prefix
    Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method)
    Exact
    [13]
    Suffix
    , схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23].

  5. In-text reference with the coordinate start=4865
    Prefix
    , RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method)
    Exact
    [13]
    Suffix
    , схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23]. Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.

  6. In-text reference with the coordinate start=4915
    Prefix
    (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-)
    Exact
    [13]
    Suffix
    , схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23]. Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.

14
Myers, T. G. Optimizing the exponent in the heat balance and refined integral methods / T. G. Myers // Int. Commun. Heat Mass Transfer. – 2009. – Vol. 36, N 2. – P. 143–147.
Total in-text references: 6
  1. In-text reference with the coordinate start=4575
    Prefix
    первую очередь, это связано с тем, что в основу этих методов положено построение интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах фронта возмущения. Имеется несколько разных подходов для решения проблемы точности HBIM. Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксим

  2. In-text reference with the coordinate start=4666
    Prefix
    Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23].

  3. In-text reference with the coordinate start=4745
    Prefix
    Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23].

  4. In-text reference with the coordinate start=4822
    Prefix
    Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23].

  5. In-text reference with the coordinate start=4896
    Prefix
    ) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23]. Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.

  6. In-text reference with the coordinate start=4946
    Prefix
    ], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23]. Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.

15
Langford, D. The heat balance integral method / D. Langford // Int. J. Heat and Mass Transfer. – 1973. – Vol. 16, N 12. – P. 2424–2428.
Total in-text references: 6
  1. In-text reference with the coordinate start=4575
    Prefix
    первую очередь, это связано с тем, что в основу этих методов положено построение интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах фронта возмущения. Имеется несколько разных подходов для решения проблемы точности HBIM. Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксим

  2. In-text reference with the coordinate start=4666
    Prefix
    Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23].

  3. In-text reference with the coordinate start=4745
    Prefix
    Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23].

  4. In-text reference with the coordinate start=4822
    Prefix
    Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23].

  5. In-text reference with the coordinate start=4896
    Prefix
    ) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23]. Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.

  6. In-text reference with the coordinate start=4946
    Prefix
    ], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23]. Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.

16
Wood, A. S. A new look at the heat balance integral method / A. S. Wood // Appl. Math. Model. – 2001. – Vol. 25, N 10. – P. 815–824.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5002
    Prefix
    CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома
    Exact
    [16–18]
    Suffix
    , метод дополнительных граничных условий [19–23]. Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.

17
Layeni, O. P. Hybrids of the heat balance integral method / Layeni O. P., Johnson J. V. // Appl. Math. Comput. – 2012. – Vol. 218, N 14-15. – P. 7431–7444.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5002
    Prefix
    CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома
    Exact
    [16–18]
    Suffix
    , метод дополнительных граничных условий [19–23]. Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.

18
Mitchell, S. L. Improving the accuracy of heat balance integral methods applied to thermal problems with time dependent boundary conditions / S. L. Mitchell, T. G. Myers // Int. J. Heat and Mass Transfer. – 2010. – Vol. 53, N 17.– P. 3540–3551.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=5002
    Prefix
    CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома
    Exact
    [16–18]
    Suffix
    , метод дополнительных граничных условий [19–23]. Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.

  2. In-text reference with the coordinate start=23987
    Prefix
    94410 1669680 3564000 0432++m +m+m=m, (69) корни которого определяют собственные значения:12,467401m= (точное значение *12,467401m= [24]), 222,1410m= (*222,2066m=[24]), 374,13041m=, 4220,01121m=. Первое вычисленное собственное значение совпадает с точным значением вплоть до шестого знака после запятой. Следует отметить, что известный интегральный метод дополнительных граничных условий
    Exact
    [18–20]
    Suffix
    для приближенного решения с тем же полиномом пятой степени ( 5)N= позволяет получить лишь два собственных значения, причем с более низкой точностью. Решение системы (67)–(68) и последующее трехкратное дифференцирование по t найденной функции ()pt дает искомую граничную функцию в следующем виде: qt() 11,27324 e2,46740122,1409874,13041220,011210,41846 e0,38808 e2,4668 etttt- - --= -+-- (

19
Goodman, T. R. The heat-balance integral – further considerations and refinements /T. R. Goodman // Transactions of ASME, ser. C. – 1961. – N 1. – P. 83–93.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=5051
    Prefix
    – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий
    Exact
    [19–23]
    Suffix
    . Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.

  2. In-text reference with the coordinate start=23987
    Prefix
    94410 1669680 3564000 0432++m +m+m=m, (69) корни которого определяют собственные значения:12,467401m= (точное значение *12,467401m= [24]), 222,1410m= (*222,2066m=[24]), 374,13041m=, 4220,01121m=. Первое вычисленное собственное значение совпадает с точным значением вплоть до шестого знака после запятой. Следует отметить, что известный интегральный метод дополнительных граничных условий
    Exact
    [18–20]
    Suffix
    для приближенного решения с тем же полиномом пятой степени ( 5)N= позволяет получить лишь два собственных значения, причем с более низкой точностью. Решение системы (67)–(68) и последующее трехкратное дифференцирование по t найденной функции ()pt дает искомую граничную функцию в следующем виде: qt() 11,27324 e2,46740122,1409874,13041220,011210,41846 e0,38808 e2,4668 etttt- - --= -+-- (

20
Федоров, Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики / Ф. М. Федоров. – Новосибирск: Наука, 2000. – 220 с.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=5051
    Prefix
    – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий
    Exact
    [19–23]
    Suffix
    . Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.

  2. In-text reference with the coordinate start=23987
    Prefix
    94410 1669680 3564000 0432++m +m+m=m, (69) корни которого определяют собственные значения:12,467401m= (точное значение *12,467401m= [24]), 222,1410m= (*222,2066m=[24]), 374,13041m=, 4220,01121m=. Первое вычисленное собственное значение совпадает с точным значением вплоть до шестого знака после запятой. Следует отметить, что известный интегральный метод дополнительных граничных условий
    Exact
    [18–20]
    Suffix
    для приближенного решения с тем же полиномом пятой степени ( 5)N= позволяет получить лишь два собственных значения, причем с более низкой точностью. Решение системы (67)–(68) и последующее трехкратное дифференцирование по t найденной функции ()pt дает искомую граничную функцию в следующем виде: qt() 11,27324 e2,46740122,1409874,13041220,011210,41846 e0,38808 e2,4668 etttt- - --= -+-- (

21
Кудинов, В. А. Теплопроводность и термоупругость в многослойных конструкциях / В. А. Кудинов, Б. В. Аверин, Е. В. Стефанюк. – М.: Высшая школа, 2008. – 305 с.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=5051
    Prefix
    – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий
    Exact
    [19–23]
    Suffix
    . Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.

  2. In-text reference with the coordinate start=14410
    Prefix
    Для температурного профиля (31) с полиномом 8N= максимальное отклонение приближенного решения от точного уменьшается (по сравнению с предыдущим значением) почти на порядок, составляя около 0,03%. Отметим, что в известном методе дополнительных граничных условий
    Exact
    [21]
    Suffix
    получаем при той же степени полинома 8N= максимальное отклонение примерно 0,75%. Проведенный анализ показал, что для достижения точности аппроксимационного решения, достигаемой предлагаемым методом при полиноме пятой степени, в известном методе дополнительных граничных условий требуется полином 29-й степени, а для достижения примерной точности, которая отвечает предложенному мет

  3. In-text reference with the coordinate start=16459
    Prefix
    Применив к уравнению (32) интеграл теплового баланса 11 00 T d(1, )Tt dx Tdx t dtx ∂∂ == ∂∂ ∫∫, (35) получим обыкновенное дифференциальное уравнение '3 3qq+=, решение которого при начальном условии 1() 0qt= имеет вид 1( ) 1 exp[ 3( )]qtt t=- --. Отклонение приближенного решения от точного в данном случае достигает 8–9%
    Exact
    [21]
    Suffix
    . Для повышения точности аппроксимационного решения увеличим степень полинома с привлечением дополнительных уравнений. Таковыми являются уравнения, образующие ниже доказанную последовательности из тождественных равенств.

22
Кудинов, В. А. Аналитический метод решения задач теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения / В. А. Кудинов, Е. В. Стефанюк, М. С. Антимонов// Инженерно-физический журнал. – 2009. – Т. 82, No. 3. – С. 540–558.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5051
    Prefix
    – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий
    Exact
    [19–23]
    Suffix
    . Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.

23
Стефанюк, Е. В. Дополнительные граничные условия в нестационарных задачах теплопроводности / Е. В. Стефанюк, В. А. Кудинов // Теплофизика высоких температур. – 2009. – Т. 47, No 2. – С. 269–282.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5051
    Prefix
    – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий
    Exact
    [19–23]
    Suffix
    . Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.

24
Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. – М.: Энергия, 1978. – 600 с. Поступила в редакцию 19.06.2015
Total in-text references: 4
  1. In-text reference with the coordinate start=8032
    Prefix
    В итоге приходим к искомому решению для первой стадии процесса в первом приближении [1] () 2 Txt(,) 1 /12tx= -. (11) Положив 11() () 1tts=d=, найдем время окончания первой стадии:11/12 0,08333t= ≈. Результаты расчета, согласно (13), в сравнении с точным решением
    Exact
    [24]
    Suffix
    приведены на рис. 1, а. Отклонения безразмерных температур, найденных по приближенной формуле (11), от точных значений дости гают существенных величин. Для повышения точности аппроксимационного решения необходимо увеличить степень полинома.

  2. In-text reference with the coordinate start=14035
    Prefix
    В данном случае решение будет следующим: 3 45 3/225/2 678 6 37/24 ( , ) 1 0,564220,04671730,002312820,0066571 0,00170660,0001817,224365 10. xx xx Txt tt tt xxx ttt =-+ + - + + - +⋅ (31) При этом 36,20 1(6)4ttd=. Время окончания первой стадии процесса 10,0276t=. Результаты расчетов температуры, согласно формуле (31), для 5N= в сравнении с точным решением
    Exact
    [24]
    Suffix
    приведены на рис. 1, б. Отличие приближенного решения от точного при t0,04148< не превышает 0,3%. Для температурного профиля (31) с полиномом 8N= максимальное отклонение приближенного решения от точного уменьшается (по сравнению с предыдущим значением) почти на порядок, составляя около 0,03%.

  3. In-text reference with the coordinate start=23729
    Prefix
    () 0(), (), ()0() 0(),(0)GtGtGtp tpptttq′′′========. (68) Отсюда на основании уравнения (67) и условий (68) приходим к задаче Коши для функции pt(3))(Gt= с нулевыми начальными условиями. Запишем характеристическое уравнение 4 1275 94410 1669680 3564000 0432++m +m+m=m, (69) корни которого определяют собственные значения:12,467401m= (точное значение *12,467401m=
    Exact
    [24]
    Suffix
    ), 222,1410m= (*222,2066m=[24]), 374,13041m=, 4220,01121m=. Первое вычисленное собственное значение совпадает с точным значением вплоть до шестого знака после запятой. Следует отметить, что известный интегральный метод дополнительных граничных условий [18–20] для приближенного решения с тем же полиномом пятой степени ( 5)N= позволяет получить лишь два собственных значения, причем с более низко

  4. In-text reference with the coordinate start=23759
    Prefix
    Запишем характеристическое уравнение 4 1275 94410 1669680 3564000 0432++m +m+m=m, (69) корни которого определяют собственные значения:12,467401m= (точное значение *12,467401m= [24]), 222,1410m= (*222,2066m=
    Exact
    [24]
    Suffix
    ), 374,13041m=, 4220,01121m=. Первое вычисленное собственное значение совпадает с точным значением вплоть до шестого знака после запятой. Следует отметить, что известный интегральный метод дополнительных граничных условий [18–20] для приближенного решения с тем же полиномом пятой степени ( 5)N= позволяет получить лишь два собственных значения, причем с более низкой точностью.