The 10 references with contexts in paper V. Lipnitsky A., A. Aliaksiuk O., В. Липницкий А., А. Олексюк О. (2016) “Оценка минимальных расстояний не примитивных кодов Хемминга // Assessment of minimum distances of non-primitive Hamming codes” / spz:neicon:vestift:y:2015:i:2:p:103-110

1
Хемминг р. В. Коды с обнаружением и исправлением ошибок. М., 1956.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=628
    Prefix
    К настоящему времени развита достаточно стройная теория помехоустойчивых кодов, равно как и практика их применения. Коды Хемминга – исторически первый класс кодов, разработанный Р. Хеммингом в конце 40-х годов XX в.
    Exact
    [1, 2]
    Suffix
    . Это класс совершенных линейных кодов, исправляющих лишь одну ошибку на каждый блок передаваемой информации. В начале 60-х годов XX в. положено начало исследованию свойств и применению кодов Боуза– Чоудхури–Хоквингема (БЧХ-кодов) [2], допускающих исправление многократных ошибок и включающих в себя как частный предельный случай коды Хемминга.

2
Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М., 1979.
Total in-text references: 6
  1. In-text reference with the coordinate start=628
    Prefix
    К настоящему времени развита достаточно стройная теория помехоустойчивых кодов, равно как и практика их применения. Коды Хемминга – исторически первый класс кодов, разработанный Р. Хеммингом в конце 40-х годов XX в.
    Exact
    [1, 2]
    Suffix
    . Это класс совершенных линейных кодов, исправляющих лишь одну ошибку на каждый блок передаваемой информации. В начале 60-х годов XX в. положено начало исследованию свойств и применению кодов Боуза– Чоудхури–Хоквингема (БЧХ-кодов) [2], допускающих исправление многократных ошибок и включающих в себя как частный предельный случай коды Хемминга.

  2. In-text reference with the coordinate start=863
    Prefix
    Это класс совершенных линейных кодов, исправляющих лишь одну ошибку на каждый блок передаваемой информации. В начале 60-х годов XX в. положено начало исследованию свойств и применению кодов Боуза– Чоудхури–Хоквингема (БЧХ-кодов)
    Exact
    [2]
    Suffix
    , допускающих исправление многократных ошибок и включающих в себя как частный предельный случай коды Хемминга. Примитивные БЧХ-коды имеют достаточно завершенную и четкую теорию, являются наиболее применимыми на практике.

  3. In-text reference with the coordinate start=19087
    Prefix
    с ( 1) / 2p-, для 10 значений m является делителем ( 1) / 2p-: в двух случаях (113, 281p=) ( 1) / 2 2pт-=, в одном случае (31p=) ( 1) / 2 3pт-=, в трех случаях (73,89, 233p=) ( 1) / 2 4pт-= ( 1) / 2 4pт-=, в двух случаях (151, 241p=) ( 1) / 2 5pт-=, в одном случае (257p=) ( 1) / 2 8pт-= и в одном случае (127p=) ( 1) / 2 9pт-=. Согласно определению (например,
    Exact
    [2, с. 190]
    Suffix
    ), циклический двоичный код длиной n-это идеал в кольце (2)[ ]/1nnR GF x x=< ->, в фактор-кольце кольца (2)[ ]GFx полиномов с коэффициентами из (2)GF по идеалу 1nx< ->, порожденному полиномом 1nx-.

  4. In-text reference with the coordinate start=19465
    Prefix
    (например, [2, с. 190]), циклический двоичный код длиной n-это идеал в кольце (2)[ ]/1nnR GF x x=< ->, в фактор-кольце кольца (2)[ ]GFx полиномов с коэффициентами из (2)GF по идеалу 1nx< ->, порожденному полиномом 1nx-. Как и в кольце полиномов, всякий идеал J кольца nR является главным, порожден полиномом ()gx наименьшей степени, принадлежащим идеалу J. Таким образом, ()Jgx=<> (
    Exact
    [2, с. 191]
    Suffix
    ). С этой точки зрения код Хемминга длиной n есть идеал ()J Mxβ=<> кольца nR, где, как уже отмечалось выше, Mx()β – неприводимый на /2zz полином с корнем β [2]. Таблица 5. Простые числа вида =8 ±1pk в диапазоне от 7 до 309 соответствующих величин (p–1)/2 при условии, что 2m–1 делится на p pm12p-pm12p-pm12p7 17 23 31 41 47 71 73 79 89 3 8 11 5 20 23 35 9 39 11 3 8 11 15 20 23 35 36 39 44 97 10

  5. In-text reference with the coordinate start=19635
    Prefix
    Как и в кольце полиномов, всякий идеал J кольца nR является главным, порожден полиномом ()gx наименьшей степени, принадлежащим идеалу J. Таким образом, ()Jgx=<> ([2, с. 191]). С этой точки зрения код Хемминга длиной n есть идеал ()J Mxβ=<> кольца nR, где, как уже отмечалось выше, Mx()β – неприводимый на /2zz полином с корнем β
    Exact
    [2]
    Suffix
    . Таблица 5. Простые числа вида =8 ±1pk в диапазоне от 7 до 309 соответствующих величин (p–1)/2 при условии, что 2m–1 делится на p pm12p-pm12p-pm12p7 17 23 31 41 47 71 73 79 89 3 8 11 5 20 23 35 9 39 11 3 8 11 15 20 23 35 36 39 44 97 103 113 127 137 151 167 191 193 199 48 51 28 7 68 15 83 95 96 99 48 51 56 63 68 75 83 95 96 99 223 233 239 241 257 263 271 281 37 29 119 24 16 131 135 70 111 116 11

  6. In-text reference with the coordinate start=20204
    Prefix
    191 193 199 48 51 28 7 68 15 83 95 96 99 48 51 56 63 68 75 83 95 96 99 223 233 239 241 257 263 271 281 37 29 119 24 16 131 135 70 111 116 119 120 128 131 135 140 Двоичные КВ-коды имеют простую длину 81np k= = ±, являются циклическими, делятся на четыре класса, поскольку порождаются в кольце pR как идеалы одним из полиномов следу- ющих четырех видов: (),( 1)(), (),( 1)()qx xqx nx xnx--
    Exact
    [2, с. 464]
    Suffix
    . Здесь ()qx и ()nx-специальные полиномы степени ( 1) / 2p- из кольца (2)[ ]GFx: () ( ) i iQ qxx ∈ =-β∏; () ( )r rN nxx ∈ =-β∏; βпримитивный корень p-й степени из 1; Q-циклическая подгруппа квадратов (квадратичных вычетов по модулю p) мультипликативной группы ()GF p∗ поля ()GF p; N-множество квадратичных невычетов по модулю p.

3
Липницкий В. А., Конопелько В. К. Норменное декодирование помехоустойчивых кодов и алгебраические уравнения. Мн, 2007.
Total in-text references: 7
  1. In-text reference with the coordinate start=1520
    Prefix
    Видимо, из-за этих причин не примитивные БЧХ-коды не вызывают большого интереса в теории и практике помехоустойчивого кодирования. Белорусская школа кодирования ведет систематическую работу по исследованию не примитивных БЧХкодов
    Exact
    [3–5]
    Suffix
    . Цель данной статьи – доказательство того факта, что минимальное расстояние не примитивных кодов Хемминга может принимать сколь угодно большие значения. Необходимые сведения о кодах Хемминга. В данной работе мы опираемся на следующее определение О п р е д е л е н и е 1. [3] Двоичным кодом Хемминга называется линейный циклический код n cx, определяемый следующими тремя параметрами: 1) длина к

  2. In-text reference with the coordinate start=1797
    Prefix
    Цель данной статьи – доказательство того факта, что минимальное расстояние не примитивных кодов Хемминга может принимать сколь угодно большие значения. Необходимые сведения о кодах Хемминга. В данной работе мы опираемся на следующее определение О п р е д е л е н и е 1.
    Exact
    [3]
    Suffix
    Двоичным кодом Хемминга называется линейный циклический код n cx, определяемый следующими тремя параметрами: 1) длина кода п – любое нечетное число 7n≥; 2) (2 ) GFm – поле определения кода – имеет минимальное значение показателя m, при котором 21m- делится на п; 3) проверочная матрица кода nxc есть матрица h( ) (1, , , ..., ),21in-=β = ββ β (1) где β-примитивный корень n-й степен

  3. In-text reference with the coordinate start=9461
    Prefix
    Ведь такие коды практически передают только два сообщения: «точка» и «тире». В дальнейшем мы их не рассматриваем, имеется 23 таких кода из 150, из них в диапазон от 9 до 99 попадают коды длиной 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83. В
    Exact
    [3]
    Suffix
    описан ряд методов определения минимального расстояния линейного кода: по определению – составлением таблицы весов кодовых слов; по критерию, связанному со столбцами проверочной матрицы кода; синдромным методом; методом орбит.

  4. In-text reference with the coordinate start=10232
    Prefix
    Группа Г циклическая порядка n и порождена автоморфизмом s, действующим на каждый вектор 12( , , ..., )nv aaa= векторного пространства размерности n по правилу: s=s( ) ( , , ..., ) ( , , , ..., )12121nnnvaaaa aaa-=
    Exact
    [3, 9, 10]
    Suffix
    . Под действием группы Г векторы ошибок линейного кода разбиваются на непересекающиеся классы – Г-орбиты, состоящие из векторов, последовательно переходящих друг в друга под действием s. Как правило, Г-орбиты являются полными, т. е. содержат по n различных векторов.

  5. In-text reference with the coordinate start=11068
    Prefix
    2n- полных Г-орбит: (1, 2) , (1, 3) ,..., (1, 1)< > < > < ν+ > < > < > < ν+ >(1, 2) , (1, 3) ,..., (1, 1) для векторов (1, 2) (1,1, 0,..., 0)=, (1, 3) (1, 0,1, 0,..., 0),..., (1, 1) (1,0,...,0,1,0,...,0)v=+= (1, 3) (1, 0,1, 0,..., 0),..., (1, 1) (1,0,...,0,1,0,...,0)v=+= – вектор, у которого вторая единица стоит на месте под номером 1ν+, где n21= ν+
    Exact
    [3, 10]
    Suffix
    . Каждый вектор ошибок e в коде ncχ имеет свой синдром ()tSe h e= ⋅ – вектор из m-мерного двоичного линейного пространства. В [9] определена формула ( ( ))( ).S eSes =β⋅ (2) Из нее следует, что каждая Г-орбита e<> имеет четко очерченный спектр синдромов()Se<>, синхронно отражающий действие s на векторах Г-орбиты: если < >= s se ee e{,(), (),..., (), () },21nne ee-ss = то

  6. In-text reference with the coordinate start=12157
    Prefix
    , порожденной вектором (1, 9)e= в коде 17cχ Векторы Г-орбитыe()es2()es3()es4()es5()es6()es7()es8()es i1() eei = s-(1,9)(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)(9,17) deg ( )iSe9243954698499114129 Векторы Г-орбиты9()es10()es11()es12()es13()es14()es15()es16()es17()es i1() eei = s-(1,10)(2,11)(3,12)(4,13)(5,14)(6,15)(7,16)(8,17)(1,9) deg ( )iSe1441591741892042192342499 Как известно (например,
    Exact
    [3, 9]
    Suffix
    ), если минимальное расстояние линейного кода равно 21dt= +, то все векторы весом 1,2,...,t имеют попарно различные синдромы. Верно и обратное. Л е м м а 1. если все векторы ошибок весом 1,2,..., , 1,tt≥ имеют попарно различные синдромы в линейном коде ,c то минимальное расстояние этого кода 21dt≥+.

  7. In-text reference with the coordinate start=15493
    Prefix
    В самом деле, ( 1) 12( 1)(1...)(1 ) 1...0. 11 sp ssps ts sps hcss χ +β + +β+β+β ⋅ = +β +β + +β=== +β+β Лемма 2 полностью доказана. Из нее непосредственно вытекает Т е о р е м а 1. Минимальное расстояние d кода cχ находится в диапазоне min
    Exact
    [3, ]
    Suffix
    p для минимального простого делителя min1p> длины кода n. В частности, если n делится на 3, то минимальное расстояние равно 3; если n делится на 5, то d принимает одно из 3 значений: 3, 4 или 5. П р и м е р 4.

4
Курилович А. В., Липницкий В. А., Михайловская Л. В. // Сб. науч. статей. Вып. 2: Технологии информатизации и управления. Мн., 2011. С. 43–49.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=1520
    Prefix
    Видимо, из-за этих причин не примитивные БЧХ-коды не вызывают большого интереса в теории и практике помехоустойчивого кодирования. Белорусская школа кодирования ведет систематическую работу по исследованию не примитивных БЧХкодов
    Exact
    [3–5]
    Suffix
    . Цель данной статьи – доказательство того факта, что минимальное расстояние не примитивных кодов Хемминга может принимать сколь угодно большие значения. Необходимые сведения о кодах Хемминга. В данной работе мы опираемся на следующее определение О п р е д е л е н и е 1. [3] Двоичным кодом Хемминга называется линейный циклический код n cx, определяемый следующими тремя параметрами: 1) длина к

5
Липницкий В. А., олексюк А. о. // Докл. БГУИР. 2014. No 8 (86). C 72 – 78.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=1520
    Prefix
    Видимо, из-за этих причин не примитивные БЧХ-коды не вызывают большого интереса в теории и практике помехоустойчивого кодирования. Белорусская школа кодирования ведет систематическую работу по исследованию не примитивных БЧХкодов
    Exact
    [3–5]
    Suffix
    . Цель данной статьи – доказательство того факта, что минимальное расстояние не примитивных кодов Хемминга может принимать сколь угодно большие значения. Необходимые сведения о кодах Хемминга. В данной работе мы опираемся на следующее определение О п р е д е л е н и е 1. [3] Двоичным кодом Хемминга называется линейный циклический код n cx, определяемый следующими тремя параметрами: 1) длина к

6
Липницкий В. А. Современная прикладная алгебра. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа: Учеб. пособие. М., 2006.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=2318
    Prefix
    нечетное число 7n≥; 2) (2 ) GFm – поле определения кода – имеет минимальное значение показателя m, при котором 21m- делится на п; 3) проверочная матрица кода nxc есть матрица h( ) (1, , , ..., ),21in-=β = ββ β (1) где β-примитивный корень n-й степени из 1, принадлежащий (2 )mGF. Данное несколько громоздкое определение требует пояснений. Согласно основам теории полей Галуа
    Exact
    [6, 7]
    Suffix
    , всякое конечное поле состоит из tq-элементов, где q – простое число; t – натуральное число, потому и обозначается через ()tGF q; ненулевые элементы этого поля образуют группу относительно операции умножения – мультипликативную группу *()tGF q; это циклическая группа порядка 1tq-; образующая a группы *()tGF q называется примитивным элементом поля (2 )mGF; поле ()tGF q содержит в качес

  2. In-text reference with the coordinate start=17319
    Prefix
    Для построения квадратично-вычетных кодов (КВ-кодов) нужны два простых числа p и l, при этом l является квадратичным вычетом по модулю p. В результате получается код, определенный над полем GF(l). Ограничимся рассмотрением важнейшего для практики случая 2l=. Как известно (например,
    Exact
    [6]
    Suffix
    ), число 2 является квадратичным вычетом по простому модулю p тогда и только тогда, когда p имеет вид 81k±. Именно такие простые числа p мы и будем рассматривать. КВ-код определяется минимальным расширением поля ( )(2)GF lGF=- полем (2 )mGF, содержащим группу pc корней p-й степени из 1.

7
Лидл р., н едеррайтер г. Конечные поля: В 2 т. Пер. с англ. М., 1988.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=2318
    Prefix
    нечетное число 7n≥; 2) (2 ) GFm – поле определения кода – имеет минимальное значение показателя m, при котором 21m- делится на п; 3) проверочная матрица кода nxc есть матрица h( ) (1, , , ..., ),21in-=β = ββ β (1) где β-примитивный корень n-й степени из 1, принадлежащий (2 )mGF. Данное несколько громоздкое определение требует пояснений. Согласно основам теории полей Галуа
    Exact
    [6, 7]
    Suffix
    , всякое конечное поле состоит из tq-элементов, где q – простое число; t – натуральное число, потому и обозначается через ()tGF q; ненулевые элементы этого поля образуют группу относительно операции умножения – мультипликативную группу *()tGF q; это циклическая группа порядка 1tq-; образующая a группы *()tGF q называется примитивным элементом поля (2 )mGF; поле ()tGF q содержит в качес

8
Виноградов и. М. Основы теории чисел. М., 1972.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=4441
    Prefix
    Для любого наперед заданного нечетного числа 1n> существуют поля (2 )tGF, такие, что 21t- делится на n. Одним из них является поле ()(2 )nGFφ, где ()nφ-количество целых k, 1 <kn≤, взаимно простых с n
    Exact
    [8]
    Suffix
    . Действительно, в силу теоремы Эйлера ()21(mod )nnφ≡ для любого нечетного n. Тогда ()21nφ- делится на n. Отсюда следует, что минимальное поле GF(2 )m с условием 21m- делится на n, будет подполем поля ()(2 )mGFφ, а следовательно, его показатель m будет делителем ()mφ.

  2. In-text reference with the coordinate start=18415
    Prefix
    Минимальное расширение поля (2)GF, содержащее подгруппу pc корней порядка p из 1, имеет вид (2 )mGF, где m является натуральным делителем числа ( 1) / 2p-, в частности, совпадает с ( 1) / 2p-. Заметим, что простых чисел p вида 81k± бесконечно много
    Exact
    [8]
    Suffix
    . Составим перечень всех простых чисел вида 81pk= ± в диапазоне от 7 до 309 соответствующих им значений ( 1) / 2p-, а также минимальных значений m с условием: 21m- делится на p (табл. 5). В табл. 5 представлено 28 значений 81pk= ±.

9
Конопелько В. К., Липницкий В. А. Теория норм синдромов и перестановочное декодирование помехоустой- чивых кодов. Мн., 2000.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=10232
    Prefix
    Группа Г циклическая порядка n и порождена автоморфизмом s, действующим на каждый вектор 12( , , ..., )nv aaa= векторного пространства размерности n по правилу: s=s( ) ( , , ..., ) ( , , , ..., )12121nnnvaaaa aaa-=
    Exact
    [3, 9, 10]
    Suffix
    . Под действием группы Г векторы ошибок линейного кода разбиваются на непересекающиеся классы – Г-орбиты, состоящие из векторов, последовательно переходящих друг в друга под действием s. Как правило, Г-орбиты являются полными, т. е. содержат по n различных векторов.

  2. In-text reference with the coordinate start=11203
    Prefix
    1) для векторов (1, 2) (1,1, 0,..., 0)=, (1, 3) (1, 0,1, 0,..., 0),..., (1, 1) (1,0,...,0,1,0,...,0)v=+= (1, 3) (1, 0,1, 0,..., 0),..., (1, 1) (1,0,...,0,1,0,...,0)v=+= – вектор, у которого вторая единица стоит на месте под номером 1ν+, где n21= ν+ [3, 10]. Каждый вектор ошибок e в коде ncχ имеет свой синдром ()tSe h e= ⋅ – вектор из m-мерного двоичного линейного пространства. В
    Exact
    [9]
    Suffix
    определена формула ( ( ))( ).S eSes =β⋅ (2) Из нее следует, что каждая Г-орбита e<> имеет четко очерченный спектр синдромов()Se<>, синхронно отражающий действие s на векторах Г-орбиты: если < >= s se ee e{,(), (),..., (), () },21nne ee-ss = то S e( ) {(), (), (),...,21(), () ()}nnSeSeSeSeSeSe-<>= β⋅β⋅ β⋅β⋅=. (3) Иллюстрацией к формуле (3) является П р и м е р

  3. In-text reference with the coordinate start=12157
    Prefix
    , порожденной вектором (1, 9)e= в коде 17cχ Векторы Г-орбитыe()es2()es3()es4()es5()es6()es7()es8()es i1() eei = s-(1,9)(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)(9,17) deg ( )iSe9243954698499114129 Векторы Г-орбиты9()es10()es11()es12()es13()es14()es15()es16()es17()es i1() eei = s-(1,10)(2,11)(3,12)(4,13)(5,14)(6,15)(7,16)(8,17)(1,9) deg ( )iSe1441591741892042192342499 Как известно (например,
    Exact
    [3, 9]
    Suffix
    ), если минимальное расстояние линейного кода равно 21dt= +, то все векторы весом 1,2,...,t имеют попарно различные синдромы. Верно и обратное. Л е м м а 1. если все векторы ошибок весом 1,2,..., , 1,tt≥ имеют попарно различные синдромы в линейном коде ,c то минимальное расстояние этого кода 21dt≥+.

10
Липницкий В. А. Теория норм синдромов: Методич. пособие. Мн., 2011. V. А. LiPN it Ski , А. о . AL iAkSiuk ASSESSMENT OF MINIMUM DISTANCES OF NON-PRIMITIVE HAMMING CODES Summary It is proved that under certain conditions, non-primitive Hamming codes are quadratic residue codes, and can be at arbitrarily
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=10232
    Prefix
    Группа Г циклическая порядка n и порождена автоморфизмом s, действующим на каждый вектор 12( , , ..., )nv aaa= векторного пространства размерности n по правилу: s=s( ) ( , , ..., ) ( , , , ..., )12121nnnvaaaa aaa-=
    Exact
    [3, 9, 10]
    Suffix
    . Под действием группы Г векторы ошибок линейного кода разбиваются на непересекающиеся классы – Г-орбиты, состоящие из векторов, последовательно переходящих друг в друга под действием s. Как правило, Г-орбиты являются полными, т. е. содержат по n различных векторов.

  2. In-text reference with the coordinate start=11068
    Prefix
    2n- полных Г-орбит: (1, 2) , (1, 3) ,..., (1, 1)< > < > < ν+ > < > < > < ν+ >(1, 2) , (1, 3) ,..., (1, 1) для векторов (1, 2) (1,1, 0,..., 0)=, (1, 3) (1, 0,1, 0,..., 0),..., (1, 1) (1,0,...,0,1,0,...,0)v=+= (1, 3) (1, 0,1, 0,..., 0),..., (1, 1) (1,0,...,0,1,0,...,0)v=+= – вектор, у которого вторая единица стоит на месте под номером 1ν+, где n21= ν+
    Exact
    [3, 10]
    Suffix
    . Каждый вектор ошибок e в коде ncχ имеет свой синдром ()tSe h e= ⋅ – вектор из m-мерного двоичного линейного пространства. В [9] определена формула ( ( ))( ).S eSes =β⋅ (2) Из нее следует, что каждая Г-орбита e<> имеет четко очерченный спектр синдромов()Se<>, синхронно отражающий действие s на векторах Г-орбиты: если < >= s se ee e{,(), (),..., (), () },21nne ee-ss = то