The 5 references with contexts in paper A. Kravchuk S., Y. Tamila V., А. Кравчук С., Е. Томило В. (2016) “Чистый изгиб слоистых и композиционных призматических брусьев из линейно-упругих материалов // Pure bending of layered composite prismatic beams from linear plastic materials” / spz:neicon:vestift:y:2014:i:3:p:15-20

1
Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Т 2: Сопротивление материалов с элементами теории сплошных сред и строительной механики. М., 1978.
Total in-text references: 5
  1. In-text reference with the coordinate start=1268
    Prefix
    При построении обобщенной технической теории чистого изгиба призматическую балку постоянной толщины можно разделить на элементарные призматические волокна (рис. 1�. Под чистым изгибом будем понимать изгиб, при котором продольные призматические волокна в балке не взаимодействуют в поперечном направлении
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Предполагается, что брус имеет прямоугольное сечение с постоянной высотой h и толщиной, равной Δ. Это значит, что отклонения в размерах поперечного сечения малы по сравнению с радиусом кривизны бруса и при его нагружениии не вносят существенной поправки в определение перемещения бруса и его напряженного состояния.

  2. In-text reference with the coordinate start=2127
    Prefix
    Исследование деформации и распределения напряжений прямоугольного бруса в условиях чистого изгиба. Будем предполагать, что брус разделен поперечными плоскостями на конечное число поперечных элементов длиной нейтрального слоя .dz Следуя
    Exact
    [1]
    Suffix
    , рассмотрим деформацию любого поперечного элемента бруса. Исходя из очевидных рассуждений о геометрическом подобии длин элементарных волокон длине нейтрального слоя, можно установить, что деформации элементарных волокон относительно геометрического положения нейтрального слоя распределены следующим образом [1]: z y-d e= r , (1� где d – координата нейтрального слоя относительно середины б

  3. In-text reference with the coordinate start=2447
    Prefix
    Исходя из очевидных рассуждений о геометрическом подобии длин элементарных волокон длине нейтрального слоя, можно установить, что деформации элементарных волокон относительно геометрического положения нейтрального слоя распределены следующим образом
    Exact
    [1]
    Suffix
    : z y-d e= r , (1� где d – координата нейтрального слоя относительно середины бруса, r – радиус кривизны нейтрального слоя. В этом случае для однородного линейно-упругого материала имеем z y E -d s= r , (2� где E – модуль упругости.

  4. In-text reference with the coordinate start=2846
    Prefix
    В этом случае для однородного линейно-упругого материала имеем z y E -d s= r , (2� где E – модуль упругости. Исходя из того, что касательные напряжения, по нашему предположению, отсутствуют и чистый изгиб происходит в плоскости YОZ, необходимо удовлетворить три уравнения равновесия
    Exact
    [1]
    Suffix
    : 22 22 0 h z h dxdy D --D ∫∫s=, ( ) 22 22 h zx h y dxdy M D --D ∫∫s=, ( ) 22 22 0 h z h x dxdy D --D ∫∫s=. (3� Подставляя выражение (2� в уравнения (3�, получаем два уравнения, определяющие в общем случае положение нейтрального слоя d относительно середины высоты бруса (рис. 1� и радиус кривизны r.

  5. In-text reference with the coordinate start=3327
    Prefix
    Для однослойного упругого однородного бруса уравнения равновесия (3� преобразуются к виду () 2 2 0 h h ydy ∫-d =, () 2 2 . h x h EM yydy -d = rD ∫ (4� Окончательно можно получить известное решение: 0,d= 3 1 12x M hE = rD
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Рассмотрим деформацию призматического горизонтально-слоистого упругого бруса постоянной толщины и ширины размером hD× ×, состоящего из N слоев. При этом k-й слой (1,kN=� имеет высоту kh и модуль упругости kE материала слоя (рис. 2, а�.

2
Voigt W. Leh �buch �e � K����� llphy ��k. Be �l �n, 1928.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=6993
    Prefix
    : если композиционный материал состоит из N компонент (фаз� и в среднем изотропен (например, имеет место хаотическое армирование и т. п.�, то в первом случае можно использовать гипотезу Фойгта для призматического стержня о том, что в простейших опытах на чистый изгиб предполагается, что деформация макроточки композиционного материала призматического стержня однородна по переменной y
    Exact
    [2]
    Suffix
    . Второй предельный случай (гипотеза Рейсса� заключается в том, что в тех же простейших экспериментах на чистый изгиб предполагается, что напряженное состояние макроточки композиционного материала призматического стержня однородно по переменной y [3].

  2. In-text reference with the coordinate start=8069
    Prefix
    При усреднении упругих характеристик композиционного материала бруса предполагается, что модули упругости kE известны для каждой компоненты k (1,kN=�. Применение гипотезы Фойгта для вычисления эффективных коэффициентов линейно-упругого материала из N компонент для призматического бруса
    Exact
    [2]
    Suffix
    . В данном случае следует решить задачу усреднения параметров материалов, исходя из чистого изгиба вертикально продольно-слоистого призматического поперечного элемента бруса длиной dz (рис. 2, б�, так как при таком нагружении гипотеза об однородной деформации каждого слоя многокомпонентного бруса удовлетворяется по определению.

3
Reuss A. // Z. An �ew. M��h. Un� Mech. 1929. B� 9, N 1. S. 49–58.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=7245
    Prefix
    Второй предельный случай (гипотеза Рейсса� заключается в том, что в тех же простейших экспериментах на чистый изгиб предполагается, что напряженное состояние макроточки композиционного материала призматического стержня однородно по переменной y
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Формулы, полученные на основании этих гипотез, имеют практическую ценность, так как являются соответственно верхней и нижней оценками истинных модулей композиционного материала [4]. Исходные данные для получения усредненных характеристик композиционного призматического бруса.

  2. In-text reference with the coordinate start=9207
    Prefix
    -слоистом пакете не имеет значения и можно записать среднюю величину напряжения Фzs , действующую на все вертикальные продольные слои: Ф ФФ, 11Ф 1 , NNk zzkkk kk hyy hEE hh== -d-d s = s D== Drr ∑∑ (10� где Ф 1 . N kk k EE = = g∑ Из формулы (10� в отличие от выражения (8� получаем Ф0,d= а Фr находится из уравнения: 3Ф Ф12.x E h M r= D (11� Применение гипотезы Рейсса
    Exact
    [3]
    Suffix
    при вычислении эффективных параметров деформирования композиционного бруса. В данном случае следует воспользоваться решением задачи усреднения модулей упругости поперечно-слоистого бруса постоянной толщины (рис. 2, в�, так как при таком нагружении гипотеза об однородном напряженном состоянии всех компонент многокомпонентного бруса удовлетворяется по определению.

4
Hill R. // J. Mech. Phy�. Sol ��� . 1965. Vol. 13. N 4. P. 213–222.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=7427
    Prefix
    Рейсса� заключается в том, что в тех же простейших экспериментах на чистый изгиб предполагается, что напряженное состояние макроточки композиционного материала призматического стержня однородно по переменной y [3]. Формулы, полученные на основании этих гипотез, имеют практическую ценность, так как являются соответственно верхней и нижней оценками истинных модулей композиционного материала
    Exact
    [4]
    Suffix
    . Исходные данные для получения усредненных характеристик композиционного призматического бруса. Предполагается, что значения объемных долей kg (1,kN=� (концентраций� компонент композиционного материала известны для бруса в целом, они же являются объемными долями компонент для каждого из призматических поперечных элементов бруса длиной dz (рис. 1�.

  2. In-text reference with the coordinate start=10367
    Prefix
    деформации для всего пакета поперечных слоев призматического поперечного элемента, получаем РРР Р z, y E -d s= r  (13� где 1 Р1, Nk kk E E = g =  ∑ РР 1 0, Nk k kk= d d=r g = r ∑ Рr находится из следующего уравнения: 3РР12. x E h M r= D (14� Для вычисления эффективных параметров чистого изгиба призматического бруса, исходя из (10�, (13 � и следуя гипотезе Хилла
    Exact
    [4, 5]
    Suffix
    , для рассматриваемой модели структурно-неоднородного призматического бруса постоянного поперечного сечения можно записать XX X z, y s=E r где ()Х РФ 1 , 2 E EE=+ (15� ФР X X ФР РФ . E EE rr r= r+ r (16� Установлено, что радиус кривизны изгибаемого бруса существенно зависит от концентраций компонент (рис. 3�.

5
Кравчук А. С., Кравчук А. И. // APRIORI. Сер. «Естественные и технические науки» [Электронный ресурс]. 2014. No 1. Режим доступа: h�� p:// �p�� o��-jou�n�l. �u/ �e��� 2/1–2014/K�� vchuk-K�� vchuk.p�f A. S. KRAVCHUK, Y. V. TAMILA PURE BENDING OF LAYERED COMPOSITE PRISMATIC BEAMS FROM LINEAR PLASTIC MATERIALS
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=10367
    Prefix
    деформации для всего пакета поперечных слоев призматического поперечного элемента, получаем РРР Р z, y E -d s= r  (13� где 1 Р1, Nk kk E E = g =  ∑ РР 1 0, Nk k kk= d d=r g = r ∑ Рr находится из следующего уравнения: 3РР12. x E h M r= D (14� Для вычисления эффективных параметров чистого изгиба призматического бруса, исходя из (10�, (13 � и следуя гипотезе Хилла
    Exact
    [4, 5]
    Suffix
    , для рассматриваемой модели структурно-неоднородного призматического бруса постоянного поперечного сечения можно записать XX X z, y s=E r где ()Х РФ 1 , 2 E EE=+ (15� ФР X X ФР РФ . E EE rr r= r+ r (16� Установлено, что радиус кривизны изгибаемого бруса существенно зависит от концентраций компонент (рис. 3�.

  2. In-text reference with the coordinate start=11257
    Prefix
    Определены эффективные значения модулей упругости (15� и радиуса кривизны нейтрального слоя (16� изгибаемого бруса. Установлено, что эффективные значения по Хиллу модулей упругости (15� при изгибе и при одноосном растяжении/сжатии
    Exact
    [5]
    Suffix
    композиционных стержней из линейно-упругих материалов совпадают.