The 30 reference contexts in paper N. Belenkevich I., V. Ilyinkov A., Н. Беленкевич И., В. Ильинков А. (2018) “СОВМЕСТНОЕ ОПИСАНИЕ СИГНАЛОВ, ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ И РЕАКЦИЙ СИСТЕМ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ // THE COMPATIBLE DESCRIPTION OF SIGNALS, LINEAR LINKS AND RESPONSES OF TELECOMMUNICATIONS AND RADIOELECTRONICS SYSTEMS” / spz:neicon:vestift:y:2017:i:4:p:93-104

  1. Start
    5863
    Prefix
    существенно интенсифицирует процессы анализа и синтеза; решает задачи, часто невыполнимые другими методами; многократно снижает материальные и временные затраты на создание сложных систем (устройств) при одновременном повышении их качества. При этом различают структурно- и схемотехническое моделирование, выполняемое соответственно на уровнях структурной (функциональной) и принципиальной схем
    Exact
    [1–19]
    Suffix
    . Структурно-техническое моделирование используют на начальных этапах проектирования и разработки (научно-исследовательская работа, техническое задание, эскизный и технический проекты). Его результаты в основном и определяют структуру и основные параметры качества создаваемой техники.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    6235
    Prefix
    Структурно-техническое моделирование используют на начальных этапах проектирования и разработки (научно-исследовательская работа, техническое задание, эскизный и технический проекты). Его результаты в основном и определяют структуру и основные параметры качества создаваемой техники. Сравнительный анализ методов, моделей, алгоритмов и программ моделирования СТР
    Exact
    [1–13, 20–30]
    Suffix
    показывает, что известные программные средства структурно-технического моделирования обладают (частично или целиком) следующими существенными недостатками: отсутствие развитых библиотек моделей сигналов и функциональных звеньев, а также автоматизированных процедур формирования и преобразования моделей, большой объем черновой подготовительной работы и значительное время моделирования.
    (check this in PDF content)

  3. Start
    7723
    Prefix
    Моделирование линейных искажений отличает многообразие и сложность моделей сигналов (воздействий) и звеньев, а также сложность процедуры и большой объем вычислений при нахождении реакций, зависящие от используемых моделей и метода моделирования
    Exact
    [24, 28–30]
    Suffix
    . Ответственным этапом, во многом определяющим конечные результаты моделирования, является выбор метода описания и формирование моделей линейных звеньев разного вида: фильтров нижних (верхних) частот (ФНЧ, ФВЧ), полосовых (заграждающих) фильтров (ПФ, ЗФ), фильтров с несколькими полосами пропускания (задерживания).
    (check this in PDF content)

  4. Start
    8596
    Prefix
    описание линейных звеньев должно: удовлетворять условиям физической реализуемости и устойчивости; задавать (не)минимально-фазовые звенья с различной формой частотных характеристик; обеспечивать использование справочной литературы (каталогов математических моделей), все виды и простоту преобразования моделей; хорошо согласовываться с применяемыми методами моделирования и описания сигналов
    Exact
    [24, 29, 30]
    Suffix
    . Известны различные методы описания линейных звеньев: во временной области – импульсной и переходной характеристиками; в частотной области – комплексной передаточной функцией либо амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) (характеристикой рабочего затухания (ХРЗ)) и фазочастотной характеристикой (ФЧХ) (характеристикой группового времени запаздывания (ХГВЗ)); на комплексной плоскости – оп
    (check this in PDF content)

  5. Start
    9048
    Prefix
    звеньев: во временной области – импульсной и переходной характеристиками; в частотной области – комплексной передаточной функцией либо амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) (характеристикой рабочего затухания (ХРЗ)) и фазочастотной характеристикой (ФЧХ) (характеристикой группового времени запаздывания (ХГВЗ)); на комплексной плоскости – операторной передаточной функцией KZ(p)
    Exact
    [21–27, 29–31]
    Suffix
    . Предъявляемым требованиям больше других отвечает последнее описание, задаваемое дробно-рациональной функцией комплексного переменного. Такая модель широко используется в СТР. Однако применяемые формы представления функции KZ(p) [21–27, 29, 30, 32–34] не позволяют задавать (весьма широко используемые на практике) линейные звенья с кратными полюсами и кратными нулями передаточной функции, недост
    (check this in PDF content)

  6. Start
    9292
    Prefix
    Предъявляемым требованиям больше других отвечает последнее описание, задаваемое дробно-рациональной функцией комплексного переменного. Такая модель широко используется в СТР. Однако применяемые формы представления функции KZ(p)
    Exact
    [21–27, 29, 30, 32–34]
    Suffix
    не позволяют задавать (весьма широко используемые на практике) линейные звенья с кратными полюсами и кратными нулями передаточной функции, недостаточно согласуются с описанием сигналов. Для расширения возможностей моделирования линейные звенья целесообразно описывать операторной передаточной функцией специального вида ( ) ( ) ( ) ()() ()() 3443 1221 222 34 44 11 222 12 22 11 2 , 2 ZZZyZx ZZZlZ
    (check this in PDF content)

  7. Start
    10807
    Prefix
    Моделирование линейных искажений включает различные процедуры преобразования математических моделей: денормирование; преобразование модели ФНЧ-прототипа в модели ФВЧ, ПФ, ЗФ, фильтра с несколькими полосами пропускания (задерживания); перемножение моделей
    Exact
    [24, 27, 29–32]
    Suffix
    . Эти процедуры, за исключением денормирования, известные моделирующие программы не реализуют вследствие недостатков используемого описания звеньев. В результате их приходится выполнять вручную, что представляет громоздкий и трудоемкий процесс, особенно при высоких порядках передаточной функции.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    11463
    Prefix
    Операция денормирования модели KZ(p) соответствует замене в (1) переменной p на p/ωDd (ωDd – нормирующая частота: граничная частота полосы пропускания ФНЧ (ФВЧ); центральная частота полосы пропускания (задерживания) ПФ (ЗФ))
    Exact
    [27, 32]
    Suffix
    . Выполняя необходимые преобразования, приходим к денормированной модели звена ( ) ( ) ( ) ()() ()() 3443 1221 222 34 44 11 222 12 22 11 2 , 2 ZdZdZ ydZ xd ZdZdZ ldZ sd NNnn Z xdZ ydZ yd Z yd Zdxdyd ZdNNn Zd Zdn ZdZ sdZ ldZ ld Z ld sdld pap a pa Ap Kp CB p C pap a pa == == ++++ω == ++++ω ∏∏ ∏∏ (2) где aZ1sd = aZ1sωDd, nZ1sd = nZ1s, NZ1d = NZ1; aZ2ld = aZ2lωDd, ωZ2ld = ωZ2lωDd, nZ2
    (check this in PDF content)

  9. Start
    12395
    Prefix
    Причем первые используют для получения звеньев с характеристиками ФВЧ и частотно-симметричными характеристиками ПФ и ЗФ, вторые (например, преобразования Зданека) – в случае ПФ (ЗФ) с частотно-несимметричными характеристиками
    Exact
    [24, 27]
    Suffix
    . На практике в основном применяются реактансные преобразования, являющиеся наиболее простыми. Согласно им переход к ФВЧ соответствует замене в модели KZ(p) (1) ФНЧ-прототипа переменной p на 1/p [27, 32].
    (check this in PDF content)

  10. Start
    12600
    Prefix
    с характеристиками ФВЧ и частотно-симметричными характеристиками ПФ и ЗФ, вторые (например, преобразования Зданека) – в случае ПФ (ЗФ) с частотно-несимметричными характеристиками [24, 27]. На практике в основном применяются реактансные преобразования, являющиеся наиболее простыми. Согласно им переход к ФВЧ соответствует замене в модели KZ(p) (1) ФНЧ-прототипа переменной p на 1/p
    Exact
    [27, 32]
    Suffix
    . Выполняя необходимые преобразования, получаем передаточную функцию KZd(p) в виде (2), в которой: 1 aaZsd Zs11, =− nnZsd Zs11,= 11,Zd ZNN= 1 11; nZs CaZ sdZs= () 221 a aaZld Zl Zl Zl2 22 2, − =+ω () 221 Zld Zl Zl Zl2 22 2,a − ω =ω+ω 22,Zld Zlnn= 22,Zd ZNN= () 222 2 22; nZl CaZld Zl Zl=+ω () () () 1 333 33 3 33 01 0 0, 0 0 Zx ZxZd ZxdZxZd ZxZd a axd
    (check this in PDF content)

  11. Start
    13779
    Prefix
    NN N NZdZdZdZd Zd ZZ sdZ ldZ xdZ yd sdldxdyd CC C C C C ==== =∏∏∏∏ Переход к ПФ (ЗФ) достигается заменой в передаточной функции (1) переменной p на α(p + 1/p) ((α(p + 1/p))–1) (α – параметр преобразования)
    Exact
    [27, 32]
    Suffix
    . Выполняя последующие преобразования, в обоих случаях приходим к моделям в виде (2), параметры которых связаны с параметрами KZ(p) несложными соотношениями. Отсюда следует, что денормирование, преобразование ФНЧ º ФВЧ, ФНЧ º ПФ и ФНЧ º ЗФ приводят к совпадающим по форме передаточным функциям.
    (check this in PDF content)

  12. Start
    14714
    Prefix
    Таким образом, модель (1) полностью удовлетворяет предъявляемым требованиям. Она описывает все типы (не)минимально-фазовых линейных звеньев, в том числе с кратными полюсами и нулями передаточной функции, обеспечивает использование справочной литературы, например
    Exact
    [32]
    Suffix
    . Приводимые в последней математические модели ФНЧ-прототипов являются частным случаем выражения (1) при условии 340,Z ZyNa== ()441 1,.ZyZn yN== Как установлено, при всех преобразованиях моделей вновь получаемая передаточная функция по виду совпадает с исходной.
    (check this in PDF content)

  13. Start
    15729
    Prefix
    Понятно, что математическое описание последних должно обеспечивать простоту формирования и преобразования моделей; хорошо согласовываться с применяемыми методом моделирования и методом описания звеньев
    Exact
    [24, 28]
    Suffix
    . Известны различные методы описания континуальных детерминированных сигналов: во временной области, в частотной области, на комплексной плоскости [20, 22–26, 28, 33–35]. Предъявляемым требованиям больше других отвечает описание сигналов на основе (одностороннего, двустороннего) преобразования Лапласа – лапласовскими изображениями [20, 22, 23, 25].
    (check this in PDF content)

  14. Start
    15889
    Prefix
    Понятно, что математическое описание последних должно обеспечивать простоту формирования и преобразования моделей; хорошо согласовываться с применяемыми методом моделирования и методом описания звеньев [24, 28]. Известны различные методы описания континуальных детерминированных сигналов: во временной области, в частотной области, на комплексной плоскости
    Exact
    [20, 22–26, 28, 33–35]
    Suffix
    . Предъявляемым требованиям больше других отвечает описание сигналов на основе (одностороннего, двустороннего) преобразования Лапласа – лапласовскими изображениями [20, 22, 23, 25]. Отметим также, что при моделировании линейных искажений в качестве воздействий используются как периодические, так и непериодические (финитные, бесконечно протяженные) сигналы.
    (check this in PDF content)

  15. Start
    16083
    Prefix
    Известны различные методы описания континуальных детерминированных сигналов: во временной области, в частотной области, на комплексной плоскости [20, 22–26, 28, 33–35]. Предъявляемым требованиям больше других отвечает описание сигналов на основе (одностороннего, двустороннего) преобразования Лапласа – лапласовскими изображениями
    Exact
    [20, 22, 23, 25]
    Suffix
    . Отметим также, что при моделировании линейных искажений в качестве воздействий используются как периодические, так и непериодические (финитные, бесконечно протяженные) сигналы. С учетом изложенного введем в рассмотрение образующую действительную функцию φ(t), которая: определена на неограниченном полуоткрытом интервале [0, ∞); имеет все производные и ( )( )()1 0,uut ML u+φ≤ =∞ m ( )
    (check this in PDF content)

  16. Start
    17249
    Prefix
    i i t t i tt φ− −+− −  φ= −∞ − −+ −− ∞   ( ) ( )( )( )) (( )( )) 12 12 , 21 2, , 0, , 21 2 i t i it ii t t i it ii t φ − +− ∞ α= −∞ − + − ( ) ( )[) () () , 0, , , , iT i i tT t tT φ φ= φ +−∞ ∞ (4) где 120,ttT≤<≤ 0, 1, 2i=. Воздействия φ(t), φ0(t) Influence φ(t), φ0(t) Далее, основываясь на известной теореме
    Exact
    [22, 23]
    Suffix
    , устанавливаем, что при сформулированных требованиях к образующей функции φ(t) лапласовские изображения рассматриваемых непериодических и периодических сигналов представляются в виде [28] ( )( )( )( ) 02121 0, ptpt TTtp S pe S pe φ ⇔φ−−=− ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ) 12 1201212, pt TTtp S peS p − φ⇔φ=− ( )( )( )( )( ) 12 0001 2 00 limlim, tt tp SpSpSp →→ α ⇔α =−=−=−
    (check this in PDF content)

  17. Start
    17443
    Prefix
    Воздействия φ(t), φ0(t) Influence φ(t), φ0(t) Далее, основываясь на известной теореме [22, 23], устанавливаем, что при сформулированных требованиях к образующей функции φ(t) лапласовские изображения рассматриваемых непериодических и периодических сигналов представляются в виде
    Exact
    [28]
    Suffix
    ( )( )( )( ) 02121 0, ptpt TTtp S pe S pe φ ⇔φ−−=− ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ) 12 1201212, pt TTtp S peS p − φ⇔φ=− ( )( )( )( )( ) 12 0001 2 00 limlim, tt tp SpSpSp →→ α ⇔α =−=−=− (5) ( )( )( )( )( )( ) 12( ) 121212, pt tp S pe − α⇔α=− ( ) ( )( )( )( )( )() 1 0 1,20 1,20 1,21, pT tTppe −− φ⇔φ=φ− где функции комплексного переменного ( )( )0
    (check this in PDF content)

  18. Start
    17943
    Prefix
    2 00 limlim, tt tp SpSpSp →→ α ⇔α =−=−=− (5) ( )( )( )( )( )( ) 12( ) 121212, pt tp S pe − α⇔α=− ( ) ( )( )( )( )( )() 1 0 1,20 1,20 1,21, pT tTppe −− φ⇔φ=φ− где функции комплексного переменного ( )( )0 1,2Sp аналитичны в области pL> и стремятся к нулю при p º × равномерно относительно argp. Причем, согласно следствию из упомянутой теоремы
    Exact
    [22, 23]
    Suffix
    , если S0(p) – дробно-рациональная функция, то функции S1(2)(p) – тоже дробнорациональны, и многочлены их знаменателей совпадают с многочленом знаменателя функции S0(p). Учитывая последнее, модели (4) и (5), для расширения возможностей моделирования сигналы φiT(t), αi(t) и φi(t) целесообразно описывать с помощью операторных функций Si(p) (i = 0, 1, 2) вида ( ) ( ) ( ) ()() ()() 3443 01020201 2
    (check this in PDF content)

  19. Start
    20077
    Prefix
    При формировании сигналов, не сужая возможностей моделирования, достаточно использовать в качестве образующих элементарные функции: линейную y1( t ) = kt + b, степенную y2 ( t ) = tn, показательную y3( t ) = at, тригонометрическую y4( t ) = cos ( ωt + α )
    Exact
    [24, 33, 34]
    Suffix
    . При таком подходе лапласовские изображения сигналов представляются с помощью операторных функций вида (6). Дополнительно при формировании сигналов, как и в случае звеньев, широко применяются процедуры преобразования математических моделей.
    (check this in PDF content)

  20. Start
    20526
    Prefix
    Дополнительно при формировании сигналов, как и в случае звеньев, широко применяются процедуры преобразования математических моделей. Обычно их реализуют с помощью известных свойств (теорем) линейности, подобия, смещения, запаздывания, дифференцирования изображения, дифференцирования и интегрирования оригинала
    Exact
    [20, 24]
    Suffix
    . Последующий анализ показывает, что все упомянутые преобразования приводят к моделям сигналов, представляемым функциями (6). Для демонстрации этого возьмем низкочастотный сигнал f1( t ) = cos ( Ωt ) (типа α0(t); см. (5) и рисунок), имеющий изображение F1 (p) = p / (p2 + Ω2).
    (check this in PDF content)

  21. Start
    21708
    Prefix
    Моделирование линейных искажений в СТР основано на нахождении реакции Uвых(t) исследуемого звена (канала) на континуальное детерминированное воздействие Uвх(t). В общем случае это возможно осуществить методами решения дифференциальных уравнений, разностных рекуррентных соотношений, интеграла Дюамеля, спектральным и операционным методами
    Exact
    [20, 22–26, 33–35]
    Suffix
    . Методы отличаются используемым математическим аппаратом, каждый из них имеет свои преимущества и недостатки, степень проявления которых определяется конкретными условиями применения. Поэтому решение поставленной задачи во многом зависит от правильного выбора метода математического моделирования.
    (check this in PDF content)

  22. Start
    22226
    Prefix
    Применительно к предлагаемому описанию сигналов (6) и звеньев (1) целесообразно использовать операционный метод моделирования. Согласно ему реакция Uвых(t) находится обратным преобразованием Лапласа
    Exact
    [20]
    Suffix
    ( )( ) 1 , 2 aj pt aj U tU p e dp j +∞ −∞ = p вых∫вых (7) где ( )( ) ( )ZU p U pK p=выхвх – изображение реакции; путь интегрирования лежит правее особых точек функции ( )Upвых (целая трансцендентная функция ept аналитична во всей открытой комплексной плоскости).
    (check this in PDF content)

  23. Start
    22743
    Prefix
    Поскольку функции (1) и (6) являются мероморфными, вычисление интеграла (7) Римана – Меллина выполняется с помощью обобщенной теоремы разложения, то есть сводится к простой операции нахождения вычетов в полюсах функции ( )( )ptM p U pe=вых
    Exact
    [20, 24]
    Suffix
    . Поэтому аппарат операционного исчисления оптимально согласуется с предлагаемым описанием сигналов и звеньев. Он позволяет сравнительно просто получить точное аналитическое выражение реакции Uвых(t), для определения численных значений которой необходимы, как правило, небольшие объем оперативной памяти и машинное время.
    (check this in PDF content)

  24. Start
    26105
    Prefix
    Детальная реализация обобщенной модели (11) позволяет создать единый математический алгоритм и на его основе автоматизированную процедуру расчета частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ, ХРЗ, ХГВЗ) линейных звеньев, амплитудных и фазовых спектров сигналов и реакций. Рассмотрим характеристики во временной области. Согласно операционному методу
    Exact
    [20, 24, 33]
    Suffix
    временные характеристики (импульсная g(t), переходная h(t)) линейного звена и его реакций на непериодические финитные φiT(t) и непериодические бесконечно протяженные αi(t) воздействия представляются конечной суммой слагаемых (в замкнутом виде), число которых определяется количеством полюсов базовой функции R00(p) (8).
    (check this in PDF content)

  25. Start
    26679
    Prefix
    Что касается реакции на периодические воздействия φi(t), то они определяются суммой вычетов в бесконечном числе полюсов (нули уравнения 1 – e–pT = 0) и представляются тригонометрическим рядом Фурье (в незамкнутом виде)
    Exact
    [20]
    Suffix
    . При этом известно, что корректное применение ряда Фурье в задачах моделирования искажений, помимо значительных вычислительных затрат (обусловленных плохой сходимостью тригонометрических рядов вообще), сопряжено с проблемой оценки сходимости решения и его точности [35].
    (check this in PDF content)

  26. Start
    26955
    Prefix
    При этом известно, что корректное применение ряда Фурье в задачах моделирования искажений, помимо значительных вычислительных затрат (обусловленных плохой сходимостью тригонометрических рядов вообще), сопряжено с проблемой оценки сходимости решения и его точности
    Exact
    [35]
    Suffix
    . Получить такую математическую оценку в большинстве случаев затруднительно. Кроме того, при переходе от периодического воздействия к непериодическому модель реакции в форме ряда Фурье теряет силу и в этом смысле не обладает общностью.
    (check this in PDF content)

  27. Start
    27794
    Prefix
    Известные методы представления в замкнутом виде реакции линейной системы (звена) на периодическое воздействие основаны на преобразовании (сворачивании) тригонометрического ряда одним из методов гармонического синтеза
    Exact
    [35]
    Suffix
    либо на непосредственном решении векторного (скалярного) дифференциального уравнения пространства состояний и последующем представлении реакции сверткой воздействия и периодической функции Грина [36, 37] или в виде интегрального преобразования воздействия с ядром, содержащим матрицу перехода [38– 40].
    (check this in PDF content)

  28. Start
    28006
    Prefix
    виде реакции линейной системы (звена) на периодическое воздействие основаны на преобразовании (сворачивании) тригонометрического ряда одним из методов гармонического синтеза [35] либо на непосредственном решении векторного (скалярного) дифференциального уравнения пространства состояний и последующем представлении реакции сверткой воздействия и периодической функции Грина
    Exact
    [36, 37]
    Suffix
    или в виде интегрального преобразования воздействия с ядром, содержащим матрицу перехода [38– 40]. Они отличаются сложностью, громоздкими преобразованиями, значительными даже для простейших воздействий и невысоких порядков дифференциального уравнения (передаточной функции), плохим согласованием с используемым описанием свойств звеньев, поэтому практически не применяются.
    (check this in PDF content)

  29. Start
    28106
    Prefix
    ) тригонометрического ряда одним из методов гармонического синтеза [35] либо на непосредственном решении векторного (скалярного) дифференциального уравнения пространства состояний и последующем представлении реакции сверткой воздействия и периодической функции Грина [36, 37] или в виде интегрального преобразования воздействия с ядром, содержащим матрицу перехода
    Exact
    [38– 40]
    Suffix
    . Они отличаются сложностью, громоздкими преобразованиями, значительными даже для простейших воздействий и невысоких порядков дифференциального уравнения (передаточной функции), плохим согласованием с используемым описанием свойств звеньев, поэтому практически не применяются.
    (check this in PDF content)

  30. Start
    28452
    Prefix
    Они отличаются сложностью, громоздкими преобразованиями, значительными даже для простейших воздействий и невысоких порядков дифференциального уравнения (передаточной функции), плохим согласованием с используемым описанием свойств звеньев, поэтому практически не применяются. Отмеченных недостатков лишен метод, изложенный в
    Exact
    [22, 23]
    Suffix
    , который является дальнейшим развитием операционного метода. Применяя его к решаемой задаче, с учетом моделей (1), (4)−(6), (8) и (9) устанавливаем, что реакцию ψ0(t) линейного звена на периодическое воздействие φ0(t) (см. рисунок) можно представить в виде (12) где первая сумма вычетов берется по полюсам pSi функций Si(p), вторая и третья – по полюсам pKz функции KZ(p).
    (check this in PDF content)