The 21 reference contexts in paper O. Shved L., О. Швед Л. (2017) “ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ТЕЧЕНИИ НЕЛИНЕЙНО УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА // SETTING DETERMINING EQUATIONS FOR THE FLOW NONLINEAR ELASTIC-PLASTIC MATERIAL” / spz:neicon:vestift:y:2017:i:3:p:47-55

  1. Start
    5053
    Prefix
    Seryya fizika-technichnych navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physical-technical series, 2017, no. 3, pp. 47–55 (in Russian). © Швед О. Л., 2017 Введение. Представленная в
    Exact
    [1]
    Suffix
    модель нелинейно упругопластического материала является обобщением модели нелинейно упругого материала Мурнагана [2, 3] с привлечением принципа потенциальности определяющего уравнения в скоростях напряжений.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    5170
    Prefix
    Physical-technical series, 2017, no. 3, pp. 47–55 (in Russian). © Швед О. Л., 2017 Введение. Представленная в [1] модель нелинейно упругопластического материала является обобщением модели нелинейно упругого материала Мурнагана
    Exact
    [2, 3]
    Suffix
    с привлечением принципа потенциальности определяющего уравнения в скоростях напряжений. Для упрощения будем предполагать материал идеально упругопластическим. Определяющие уравнения модели включают пять уравнений: для удельной потенциальной энергии упругой деформации – потенциала напряжений, напряжений в конечном и дифференциальном видах, а также уравнение для параметров анизотропии в
    (check this in PDF content)

  3. Start
    5970
    Prefix
    В этом уравнении предусмотрена возможность минимизации данного скаляра – параметра роста упругой анизотропии. Такая оптимизация необходима, потому что согласно полученному критерию причиной разрушения является упругая анизотропия
    Exact
    [4]
    Suffix
    . В [5] предложена процедура минимизации для общего триклинного упругопластического материала. В дифференциальные уравнения для потенциала напряжений и напряжений в конечном и дифференциальном видах входят еще два параметра, требующие допустимого и рационального их определения.
    (check this in PDF content)

  4. Start
    5977
    Prefix
    В этом уравнении предусмотрена возможность минимизации данного скаляра – параметра роста упругой анизотропии. Такая оптимизация необходима, потому что согласно полученному критерию причиной разрушения является упругая анизотропия [4]. В
    Exact
    [5]
    Suffix
    предложена процедура минимизации для общего триклинного упругопластического материала. В дифференциальные уравнения для потенциала напряжений и напряжений в конечном и дифференциальном видах входят еще два параметра, требующие допустимого и рационального их определения.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    6790
    Prefix
    Требуется исследовать возможность ограничения роста анизотропии при существовании зависимости для этих параметров и при ее отсутствии. Определяющие уравнения и базовые эксперименты. Удельная потенциальная энергия упругой деформации представляется в виде
    Exact
    [1]
    Suffix
    023,ээ э э с=+++ (1) где э2, э3 – анизотропные структуры второй и третьей степени; c – минимальная постоянная, обеспечивающая условие э ≥ 0, начальные значения параметров анизотропии 0jδ= (1, 77j=), и тогда э с точностью до постоянной переходит в изотропный потенциал э0 1112 012 3112 31 13 2 32 2 3121 2 31 33 4 (4 ( 12 8 9 18 8 ) 4 (2 4 3 10 8 )
    (check this in PDF content)

  6. Start
    7456
    Prefix
    3112 31 13 2 32 2 3121 2 31 33 4 (4 ( 12 8 9 18 8 ) 4 (2 4 3 10 8 ) (2 3 4) ( 2) 12( 6 8) 2 ), эII IIII I −−− − =− λ− μ+ ν + ν + ν +λ+ μ− ν − ν − ν + +−μ+ν+ν −ν+ν + ν+ν+ν +ν (2) где ,λμ– постоянные Ляме второго и 123,,ννν– третьего порядков, 123,,III – первый, второй и третий главные инварианты мер Коши – Грина G и Фигнера F. В
    Exact
    [5]
    Suffix
    приведены представления э2, э3 для общего триклинного обобщенного материала Мурнагана. Из (1) получаем определяющее уравнение для тензора напряжений Коши [1]: 1 T0231 T1T 30033 () 22,2,eejjee jee j ээээ LLL−−− ∂∂∂+ = ⋅ ⋅ = +δ= ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ∂∂∂ T F F T∑TT F FT FF GGG (3) где T,ee= ⋅FGF неособенный тензор Te⋅=FVO (согласно полярному разложению [3]) заменяет де
    (check this in PDF content)

  7. Start
    7613
    Prefix
    λ− μ+ ν + ν + ν +λ+ μ− ν − ν − ν + +−μ+ν+ν −ν+ν + ν+ν+ν +ν (2) где ,λμ– постоянные Ляме второго и 123,,ννν– третьего порядков, 123,,III – первый, второй и третий главные инварианты мер Коши – Грина G и Фигнера F. В [5] приведены представления э2, э3 для общего триклинного обобщенного материала Мурнагана. Из (1) получаем определяющее уравнение для тензора напряжений Коши
    Exact
    [1]
    Suffix
    : 1 T0231 T1T 30033 () 22,2,eejjee jee j ээээ LLL−−− ∂∂∂+ = ⋅ ⋅ = +δ= ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ∂∂∂ T F F T∑TT F FT FF GGG (3) где T,ee= ⋅FGF неособенный тензор Te⋅=FVO (согласно полярному разложению [3]) заменяет деформационный градиент, T–1,=OO O – собственно ортогональный тензор поворота, сопровождающий упругую деформацию, L3 – третий главный инвариант меры упругих иска
    (check this in PDF content)

  8. Start
    7824
    Prefix
    Из (1) получаем определяющее уравнение для тензора напряжений Коши [1]: 1 T0231 T1T 30033 () 22,2,eejjee jee j ээээ LLL−−− ∂∂∂+ = ⋅ ⋅ = +δ= ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ∂∂∂ T F F T∑TT F FT FF GGG (3) где T,ee= ⋅FGF неособенный тензор Te⋅=FVO (согласно полярному разложению
    Exact
    [3]
    Suffix
    ) заменяет деформационный градиент, T–1,=OO O – собственно ортогональный тензор поворота, сопровождающий упругую деформацию, L3 – третий главный инвариант меры упругих искажений V, 2 IL33,= и по (2), (3) 122 030120 03 1 0 11 21 32 2 0 11 111 0301 2 3 11 2 1 11 21 232 302 31 3 2( ) ()(,,), 2 ,16 ( 12 8 9 18 8 ),8 (2 3 4 ), 16 ( 2 ),4 ( 2 ),4 (2
    (check this in PDF content)

  9. Start
    8618
    Prefix
    bI bI bI c cI abb bbссb − −−− − −− =φ +φ +φ φ =φ = + + +φ = + = ν= − λ− μ+ ν + ν + ν=λ− ν − ν = ν+ν=− ν+ν= μ−ν−ν =− TEFF (4) Соотношения (1), (3) являются определяющими уравнениями в конечном виде, которые всегда имеют место. Материалы и некоторые данные по ним об упругих постоянных для закона Мурнагана, входящих в выражение для 0T, представлены в
    Exact
    [3, с. 157–159]
    Suffix
    . В численных экспериментах использован рекристаллизованный вольфрам. Напряжение текучести при растяжении и сжатии составляет 450 МПа. По нему определяется переход материала в пластическое состояние в остальных случаях нагружений.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    9137
    Prefix
    По нему определяется переход материала в пластическое состояние в остальных случаях нагружений. Введем дифференциальные определяющие уравнения при течении в регулярной точке девиаторного сечения поверхности текучести. Уравнение для тензора напряжений Коши имеет вид
    Exact
    [1]
    Suffix
    (),K Ω T Q Q NN=− ⋅⋅ (5) где Ω T– объективная производная по времени тензора T; K – не зависящий от тензора скорости деформаций D малый (при 0⋅⋅ ≥TD) положительный скаляр; Q = Q(D) – девиатор, определяющий критерий течения; N – нормированный вектор нормали к поверхности текучести при векторной интерпретации симметричного девиат
    (check this in PDF content)

  11. Start
    9609
    Prefix
    5) где Ω T– объективная производная по времени тензора T; K – не зависящий от тензора скорости деформаций D малый (при 0⋅⋅ ≥TD) положительный скаляр; Q = Q(D) – девиатор, определяющий критерий течения; N – нормированный вектор нормали к поверхности текучести при векторной интерпретации симметричного девиатора тензора второго ранга. При 0⋅⋅T D< скаляр K определяется, как указано в
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Критерий текучести можно формулировать как в виде 0⋅⋅Q N>, так и в более простом виде DN⋅⋅ >0, поскольку тензор ⋅QD является положительным [3]. Однако вычислять тензор Q = Q(D) необходимо для определения величины N и использования его в (5).
    (check this in PDF content)

  12. Start
    9753
    Prefix
    скаляр; Q = Q(D) – девиатор, определяющий критерий течения; N – нормированный вектор нормали к поверхности текучести при векторной интерпретации симметричного девиатора тензора второго ранга. При 0⋅⋅T D< скаляр K определяется, как указано в [1]. Критерий текучести можно формулировать как в виде 0⋅⋅Q N>, так и в более простом виде DN⋅⋅ >0, поскольку тензор ⋅QD является положительным
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Однако вычислять тензор Q = Q(D) необходимо для определения величины N и использования его в (5). Уравнение для удельной потенциальной энергии упругой деформации полагаем 1 (3) (1 )(0)Lэ −⋅= −α ⋅⋅⋅⋅ ≥TD TD, 1 (3)(0)Lэ −⋅= ⋅⋅⋅⋅TD TD<, (6) где α – близкая к единице относительная часть величины рассеиваемой удельной мощности деформации, определяемая в одноосных экспериментах.
    (check this in PDF content)

  13. Start
    11357
    Prefix
    Для удобства записи системы первые шесть уравнений умножаем на 2–1L3, а последнее – на L3. Решение системы находим по методу Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы уравнений, Ai (1, 7i=) – алгебраические дополнения седьмого столбца матрицы. В
    Exact
    [5]
    Suffix
    для триклинного упругопластического материала определена процедура максимизации величины Δ, и значение β получается минимальным по всем наборам kj. При векторной интерпретации симметричного тензора второго ранга девиаторы 1=W 1 ( 6) ( 3 ),33 =−−E cc 1 22 2 11( 2) (), W=−−cc cc1 312 21( 2) (), W=−+cc cc 1 413 31( 2) (), W=−+cc cc 1 523 32( 2) () W=−+cc cc образуют ортон
    (check this in PDF content)

  14. Start
    12160
    Prefix
    Согласно указанным соотношениям, включая процедуру минимизации, выполнено численное моделирование базовых экспериментов – простого растяжения и простого сжатия, проведенных до момента разрушения согласно предложенному в
    Exact
    [4]
    Suffix
    критерию. На рис. 1 изображены начальные и конечные кривые пластичности. Критериальную функцию разрушения Φ=Φ φ ≤φ≤ π( ),02 будет удобнее выписать ниже. Она вычисляется по кривым пластичности.
    (check this in PDF content)

  15. Start
    13216
    Prefix
    Скаляр K в одноосных экспериментах найти нельзя, поэтому возникает вопрос об его определении. Необходимо также определить скаляр α для произвольного нагружения. Как показали результаты численного моделирования в
    Exact
    [6]
    Suffix
    , стандартное задание α постоянной величиной является неудовлетворительным. Отметим, что описать зависимость этой величины от напряженно-деформированного состояния и тем более от истории нагружения затруднительно.
    (check this in PDF content)

  16. Start
    14496
    Prefix
    в матричной форме 11 22 335 44 55 , qd qd qdM qd qd        =         1 22 368 2 1 24 7 9 53451213 67121014 89131411 23 32 , pp p ppp p p pppp Mp p ppp p p ppp p p ppp +  −+ =     (8) где pn – вычисляемые скаляры. Матрица M5 используется для определения вектора N, который является одним из ее собственных векторов
    Exact
    [1, 7]
    Suffix
    . Для ортотропного материала ненулевыми в (8) могут быть только величины 1 2 5 10 11, , , , .pppp p Критериальная функция разрушения контролирует появление недопустимых кратных собственных значений: 222222222 212 55 212 1010 212 11 11 223 12 (4)(4 )(4 ) (). ( 3) p p pp p p p pp p p p pp p pp −− + −− + −− + Φφ = + (9) Величина в знаменателе (
    (check this in PDF content)

  17. Start
    18778
    Prefix
    Считаем, что v2 = 1 (в двухосном растяжении) либо v2 = –1 (в двухосном сжатии). Величину v3 = v3(v2) будем задавать, и она тоже будет постоянной. Значение v3 = 0 соответствует условиям по двухосному сжатию в экспериментах Бриджмена
    Exact
    [8]
    Suffix
    . По второй оси происходит сжатие, по третьей оси приложены гладкие штампы, а поверхности ортогональные первой оси являются свободными (рис. 2). Величина v1 является неизвестной и находится с использованием принципа стационарности в варьируемой актуальной конфигурации [3].
    (check this in PDF content)

  18. Start
    19052
    Prefix
    По второй оси происходит сжатие, по третьей оси приложены гладкие штампы, а поверхности ортогональные первой оси являются свободными (рис. 2). Величина v1 является неизвестной и находится с использованием принципа стационарности в варьируемой актуальной конфигурации
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Функционал этого принципа для данной задачи имеет вид 1T2, V ψ =−dVΘ⋅⋅∇∫v где V – объем, занимаемый телом; dV – элемент объема; тензор Θ= + ∇⋅ −∇ ⋅vTTTv T заменяет тензор напряжений Коши в этой конфигурации.
    (check this in PDF content)

  19. Start
    22043
    Prefix
    The divisions along the abscissa axis correspond to the increment of the angle 9–1π Соотношение (14) задает величину скорости перемещения материала по оси c1. Пусть для регулярной точки поверхности выполняется условие (0) (0),⋅⋅ ≥ ∧ ⋅⋅ >DNDT то есть реализуется первый случай в дифференциальных определяющих уравнениях
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Вектор N выбирается из N1, N2 – двух собственных векторов оператора Q [7]. Полагаем 1 1 112 2 0,000001,(1 )2 ( arccos(() ),). ii p pp p K− − =α = α + − α θπ θ=⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅+ ⋅⋅ND D DD DNN DNN (15) В (15) величина α будет минимальной при θ = 0 и максимальной при θ = 2–1π.
    (check this in PDF content)

  20. Start
    22117
    Prefix
    Пусть для регулярной точки поверхности выполняется условие (0) (0),⋅⋅ ≥ ∧ ⋅⋅ >DNDT то есть реализуется первый случай в дифференциальных определяющих уравнениях [1]. Вектор N выбирается из N1, N2 – двух собственных векторов оператора Q
    Exact
    [7]
    Suffix
    . Полагаем 1 1 112 2 0,000001,(1 )2 ( arccos(() ),). ii p pp p K− − =α = α + − α θπ θ=⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅+ ⋅⋅ND D DD DNN DNN (15) В (15) величина α будет минимальной при θ = 0 и максимальной при θ = 2–1π.
    (check this in PDF content)

  21. Start
    22435
    Prefix
    Полагаем 1 1 112 2 0,000001,(1 )2 ( arccos(() ),). ii p pp p K− − =α = α + − α θπ θ=⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅+ ⋅⋅ND D DD DNN DNN (15) В (15) величина α будет минимальной при θ = 0 и максимальной при θ = 2–1π. Случай, когда удельная мощность деформации отрицательная величина с учетом (6), рассмотрен в
    Exact
    [1]
    Suffix
    . На верхнем правом участке кривой пластичности (рис. 2, a) выбраны четыре точки: близкая к левой сингулярной, соответствующая двухосному растяжению (между ними реализуется двухосное состояние растяжение – растяжение), соответствующая одноосному растяжению по второй оси и близкая к правой сингулярной (между ними реализуется двухосное состояние растяжение – сжатие).
    (check this in PDF content)