The 20 reference contexts in paper A. Solonar S., S. Yarmolik N., A. Khramenkov S., A. Mikhalkovski A., А. Солонар С., С. Ярмолик Н., А. Храменков С., А. Михалковский А. (2017) “ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ // FEATURES OF USE OF MONTE-CARLO METHOD FOR APPROXIMATION OF STATISTICAL DISTRIBUTIONS OF RESULTS OF NONLINEAR TRANSFORMATIONS IN RADAR-TRACKING PROBLEMS” / spz:neicon:vestift:y:2016:i:4:p:91-98

  1. Start
    4637
    Prefix
    Методом Монте-Карло принято называть совокупность численных методов реше-ом Монте-Карло принято называть совокупность численных методов реше-м Монте-Карло принято называть совокупность численных методов решения математических задач с использованием моделирования случайных величин и процессов
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Возникновение данного метода связывают с именами американских ученых, работавших в 40-х годах ХХ в. в Лос-Аламосе (США): Дж. Неймана, С. Улама, Н. Метроиолиса, а также Г. Кана и Э. Ферми.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    5376
    Prefix
    Очевидно, что в ряде практически важных случаев вместо вычисления сложных аналитических выражений более предпочтительно определять эквивалентные значения соответствующих вероятностей или параметров статистических распределений
    Exact
    [2]
    Suffix
    . В свою очередь повышение производительности вычислительных средств привело к возрастанию популярности численных методов. Наибольшее распространение метод Монте-Карло получил для оценивания показателей качества функционирования сложных систем путем многократного повторения моделируемого процесса [3].
    (check this in PDF content)

  3. Start
    5684
    Prefix
    В свою очередь повышение производительности вычислительных средств привело к возрастанию популярности численных методов. Наибольшее распространение метод Монте-Карло получил для оценивания показателей качества функционирования сложных систем путем многократного повторения моделируемого процесса
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Выявление фундаментальных статистических закономерностей в нестандартных условиях аналитическими методами, как правило, является весьма сложной для исследователей задачей. В связи с этим в настоящее время все большее распространение получают методы компьютерного моделирования и анализа статистических закономерностей.
    (check this in PDF content)

  4. Start
    6124
    Prefix
    В связи с этим в настоящее время все большее распространение получают методы компьютерного моделирования и анализа статистических закономерностей. Вместе с этим метод Монте-Карло широко используется для приближенного вычисления интегралов от неслучайной функции
    Exact
    [1, 2]
    Suffix
    . Наибольший интерес представляют численные методы вычисления интегралов высокой кратности, которые относительно легко реализуются на современных ЭВМ. В основе численного интегрирования методом Монте-Карло лежит моделирование случайных величин и использование следующего приближения: ( ) 1( ) 1 ()N n Ni Rii g I gd I αNq= =≅=∑∫ α αα α , (1) где nR α – область интегрирования неслучайной функ
    (check this in PDF content)

  5. Start
    6998
    Prefix
    Совокупность случайных отсчетов, распределенных в соответствии с плотностью ()qα, называют значимой выборкой (Importance Sampling), а саму плотность вероятности ()qα – значимой плотностью вероятности (Importance Density)
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Для независимых отсчетов iα оценка NI является несмещенной и в соответствии с законом больших чисел сходящейся по вероятности к истинному значению I. Дисперсия ошибки оценки искомого интеграла определяется выражением [1]: ( ) ( ) 2 1 1Ni NN ii g DI Nq=  =−  ∑ α α . (2) Следует отметить, что выбор плотности вероятности ()qα случайных отсчетов диктуется требованием минимизац
    (check this in PDF content)

  6. Start
    7219
    Prefix
    Для независимых отсчетов iα оценка NI является несмещенной и в соответствии с законом больших чисел сходящейся по вероятности к истинному значению I. Дисперсия ошибки оценки искомого интеграла определяется выражением
    Exact
    [1]
    Suffix
    : ( ) ( ) 2 1 1Ni NN ii g DI Nq=  =−  ∑ α α . (2) Следует отметить, что выбор плотности вероятности ()qα случайных отсчетов диктуется требованием минимизации дисперсии (2). На практике наиболее распространено правило выбора плотности ( ),qα предложенное Г.
    (check this in PDF content)

  7. Start
    7486
    Prefix
    Дисперсия ошибки оценки искомого интеграла определяется выражением [1]: ( ) ( ) 2 1 1Ni NN ii g DI Nq=  =−  ∑ α α . (2) Следует отметить, что выбор плотности вероятности ()qα случайных отсчетов диктуется требованием минимизации дисперсии (2). На практике наиболее распространено правило выбора плотности ( ),qα предложенное Г. Каном
    Exact
    [1]
    Suffix
    : функция ()qα считается допустимой по отношению к функции ( ),qα если выполняется следующее условие: () 0q>α для всех ,nR α ∈α в которых g() 0>α. Область разброса случайных значений плотности ()qα должна перекрывать область всех возможных значений интегрируемой функции ()qα.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    9953
    Prefix
    Цель данной статьи – рассмотрение особенностей использования метода Монте-Карло для аппроксимации статистических распределений результатов нелинейных преобразований в задачах радиолокационного наблюдения. Аппроксимация плотности вероятности методом Монте-Карло. Задачи радиолокационного наблюдения сигналов имеют статистический характер и решаются соответствующими методами
    Exact
    [4]
    Suffix
    . Ограниченность времени наблюдения сигналов, их флуктуации и наличие случайных шумов и помех определяют используемые критерии оптимальности и во многом специфику обработки полученных данных. Наличие нелинейных преобразователей в тракте обработки радиолокационных сигналов существенно затрудняет процесс расчета показателей качества функционирования рассматриваемых систем.
    (check this in PDF content)

  9. Start
    10765
    Prefix
    В большинстве практически важных случаев аналитическое решение рассматриваемой задачи вызывает серьезные математические затруднения либо не представляется возможным. Кроме того, ограничение длительности выборки наблюдаемых данных обусловливают асимптотический характер получаемых результатов
    Exact
    [4]
    Suffix
    . Необходимо отметить, что применение численного метода Монте-Карло позволяет перейти от непосредственного анализа сложных статистических распределений, являющихся результатом нелинейных преобразований распределений обрабатываемых данных, к анализу их статистических аппроксимаций.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    11282
    Prefix
    В основу методики аппроксимации плотности вероятности методом Монте-Карло положен известный подход к приближенному представлению непрерывной функции последовательностью ее дискретных значений, рассовмещенных по области определения
    Exact
    [5]
    Suffix
    . Полагая, что неслучайная функция ()gα является плотностью вероятности дискретной случайной величины α, рассматриваемый подход позволяет получить эквивалентную дискретную плотность вероятности, определенную в узловых точках распределения iα [6]: () 1 ()lim N ii Ni g →∞=  ≈ωδ −  α∑αα, (4) где iω – нормированные веса.
    (check this in PDF content)

  11. Start
    11529
    Prefix
    Полагая, что неслучайная функция ()gα является плотностью вероятности дискретной случайной величины α, рассматриваемый подход позволяет получить эквивалентную дискретную плотность вероятности, определенную в узловых точках распределения iα
    Exact
    [6]
    Suffix
    : () 1 ()lim N ii Ni g →∞=  ≈ωδ −  α∑αα, (4) где iω – нормированные веса. Аналогичный результат можно получить на основании выражения (1). Вычислив методом Монте-Карло интеграл от плотности вероятности ()gα, запишем 1111 1 11 1()11 1, ()1 NNNN N iii NiiNN iiii ii ii ii g I NqNN N ===== == ωω == ω=== ω≅ ωω ∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑    α α (5) где () ()i iigqω=αα –
    (check this in PDF content)

  12. Start
    12425
    Prefix
    Исходя из свойств плотности вероятности, интеграл NI по области определения nα R плотности вероятности ()gα равен 1 и представляет собой сумму нормированных весов iω ),1(Ni=, определенных в случайных точках (отсчетах аргумента) iα. При этом соблюдается строгое однозначное соответствие пар {, }iiωα для всех Ni,1=. В зарубежных источниках эти пары принято называть частицами (particle)
    Exact
    [2, 6]
    Suffix
    . Однозначное соответствие пар {, }iiωα и равенство единице суммы нормированных весов ωi позволяют утверждать, что для вычисления интеграла (1) методом Монте-Карло исходную плотность вероятности ()gα заменяют эквивалентной дискретной плотностью вероятности, определенной в случайных точках iα.
    (check this in PDF content)

  13. Start
    12869
    Prefix
    единице суммы нормированных весов ωi позволяют утверждать, что для вычисления интеграла (1) методом Монте-Карло исходную плотность вероятности ()gα заменяют эквивалентной дискретной плотностью вероятности, определенной в случайных точках iα. Представление плотности вероятности ()gα ее дискретным аналогом принято называть аппроксимацией плотности вероятности методом МонтеКарло
    Exact
    [6]
    Suffix
    : () 1 () N ii i g = α≈ ωδ −∑αα. (6) Полученная численным методом Монте-Карло аппроксимация плотности вероятности сохраняет все требуемые характеристики исходного распределения [1, 6]. Рассмотренный подход, основанный на возможности аппроксимации произвольной плотности вероятности набором N случайных точек, распределенных по объему интегрирования, позволяет относительно просто учитывать сло
    (check this in PDF content)

  14. Start
    13041
    Prefix
    Представление плотности вероятности ()gα ее дискретным аналогом принято называть аппроксимацией плотности вероятности методом МонтеКарло [6]: () 1 () N ii i g = α≈ ωδ −∑αα. (6) Полученная численным методом Монте-Карло аппроксимация плотности вероятности сохраняет все требуемые характеристики исходного распределения
    Exact
    [1, 6]
    Suffix
    . Рассмотренный подход, основанный на возможности аппроксимации произвольной плотности вероятности набором N случайных точек, распределенных по объему интегрирования, позволяет относительно просто учитывать сложные нелинейные преобразования над исходным распределением, а также производить интегрирование полученных распределений.
    (check this in PDF content)

  15. Start
    14223
    Prefix
    задач радиолокационного наблюдения предполагает некоторые особенности использования метода Монте-Карло для аппроксимации плотности распределения результатов нелинейных преобразований входных случайных данных. Применительно к задачам радиолокационного наблюдения исходной плотностью вероятности обрабатываемых данных в силу центральной предельной теоремы часто является закон распределения Гаусса
    Exact
    [4, 6]
    Suffix
    . В связи с этим целесообразно для метода Монте-Карло выбор значимой плотности и ее параметров проанализировать применительно к исходному распределению Гаусса: 2 2 () ()12 2 m ge α α −α− σ α α= π⋅σ , (8) где αm и 2ασ – параметры исходного распределения (математическое ожидание и дисперсия).
    (check this in PDF content)

  16. Start
    16139
    Prefix
    Аналогичные закономерности проявляются при аппроксимации многомерных распределений. Результаты статистической аппроксимации совместной плотности вероятности квадратурных составляющих комплексной огибающей отраженного радиолокационного сигнала (,)MMpx y
    Exact
    [7]
    Suffix
    приведены на рис. 2, а. При этом каждая из анализируемых квадратурных составляющих ()(Mxp и )(Myp) характеризуется одномерным распределением Гаусса (рис. 2, б). Рис. 1. Закон распределения Гаусса и его статистическая аппроксимация методом Монте-Карло: а, б – значимая плотность вероятности в виде равномерного закона распределения и закона распределения Гаусса соответственно Рис. 2.
    (check this in PDF content)

  17. Start
    17561
    Prefix
    При этом необходимо обеспечить расположение большинства (более 90%) генерируемых случайных отсчетов iα в области высокой вероятности аппроксимируемой плотности ()gα при одновременном размещении достаточного количества (более 10%) случайных отсчетов вне области высокой вероятности. В противном случае имеет место явление «оскудения»
    Exact
    [6]
    Suffix
    случайной выборки, что приведет к возрастанию погрешности аппроксимации. Статистическая аппроксимация результата нелинейных преобразований исходной плотности вероятностей. Проиллюстрируем использование метода Монте-Карло для статистической аппроксимации распределений, образующихся в результате типовых нелинейных преобразований исходной плотности вероятности радиолокационных данных.
    (check this in PDF content)

  18. Start
    18600
    Prefix
    Ожидаемые законы распределения наблюдаемых радиолокационных данных [ ]()()hphg=αα приведены после типовых нелинейных преобразований: вычисление амплитуды (рис. 3, а), фазы (рис. 3, б) и мгновенной мощности (рис. 3, в) отраженного сигнала
    Exact
    [7]
    Suffix
    , а также результаты их статистической аппроксимации методом Монте-Карло в виде гистограмм. Графики (рис. 3, а, б, в) позволяют утверждать, что результаты статистической аппроксимации соответствуют ожидаемым распределениям амплитуды ()(cEp – распределение Рэлея), фазы ()(cφp – равномерное распределение) и мгновенной мощности отраженного сигнала ()(cPp – экспоненциальное распределение) согласно к
    (check this in PDF content)

  19. Start
    20832
    Prefix
    Число effN определяется подсчетом частиц координаты, которые попали в область )9,0(α∆V. В 1994 г. А. Конг в качестве способа предотвращения эффекта «оскуднения» частиц предложил использовать перевыборку (Resampling)
    Exact
    [6]
    Suffix
    . Этот способ заключается в группировке частиц выборки в окрестности наиболее значимых частиц, находящихся в области высокой вероятности, с последующим приданием им одинаковых весов. Алгоритм перевыборки подробно описан в [6, 8].
    (check this in PDF content)

  20. Start
    21058
    Prefix
    Этот способ заключается в группировке частиц выборки в окрестности наиболее значимых частиц, находящихся в области высокой вероятности, с последующим приданием им одинаковых весов. Алгоритм перевыборки подробно описан в
    Exact
    [6, 8]
    Suffix
    . В результате перевыборки случайное множество частиц {, }iiωα отображается в новое случайное множество {,1/ }newiNα с одинаковыми весами N/1. Перевыборку имеет смысл проводить в тех случаях, когда после нелинейного преобразования наблюдается «оскуднение» выборки, т. е. когда значение effN становится ниже величины некоторого порога thrN.
    (check this in PDF content)