The 36 reference contexts in paper V. Kot A., В. Кот А. (2016) “МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛА ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА // A METHOD OF BOUNDARY CHARACTERISTICS BASED ON THE HEAT-BALANCE INTEGRAL IN HEAT-CONDUCTION PROBLEMS” / spz:neicon:vestift:y:2016:i:2:p:54-65

  1. Start
    1736
    Prefix
    The method proposed surpasses the known integral methods in accuracy and convergence of solutions by several orders of magnitude. Keywords: heat conduction equation, approximate method, integral identities, front of a disturbance. Введение. Интегральный метод теплового баланса (Heat Balance Integral Method – HBIM)
    Exact
    [1]
    Suffix
    является одним из наиболее мощных и эффективных методов приближенного решения задач тепломассопереноса. Среди других приближенных методов, например, таких как численные методы [2, 3], метод возмущений [4], метод луча [5] и др.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    1919
    Prefix
    Интегральный метод теплового баланса (Heat Balance Integral Method – HBIM) [1] является одним из наиболее мощных и эффективных методов приближенного решения задач тепломассопереноса. Среди других приближенных методов, например, таких как численные методы
    Exact
    [2, 3]
    Suffix
    , метод возмущений [4], метод луча [5] и др., HBIM занимает достойное место. Концеп-HBIM занимает достойное место. Концеп- занимает достойное место. Концепция метода заключается в следующем: в результате теплового воздействия на тело в нем образуется область с фронтом возмущения ()Rt, за пределами которой температура тела (,)Txt(либо иная полевая функция) остается неизменной.
    (check this in PDF content)

  3. Start
    1943
    Prefix
    Интегральный метод теплового баланса (Heat Balance Integral Method – HBIM) [1] является одним из наиболее мощных и эффективных методов приближенного решения задач тепломассопереноса. Среди других приближенных методов, например, таких как численные методы [2, 3], метод возмущений
    Exact
    [4]
    Suffix
    , метод луча [5] и др., HBIM занимает достойное место. Концеп-HBIM занимает достойное место. Концеп- занимает достойное место. Концепция метода заключается в следующем: в результате теплового воздействия на тело в нем образуется область с фронтом возмущения ()Rt, за пределами которой температура тела (,)Txt(либо иная полевая функция) остается неизменной.
    (check this in PDF content)

  4. Start
    1959
    Prefix
    Интегральный метод теплового баланса (Heat Balance Integral Method – HBIM) [1] является одним из наиболее мощных и эффективных методов приближенного решения задач тепломассопереноса. Среди других приближенных методов, например, таких как численные методы [2, 3], метод возмущений [4], метод луча
    Exact
    [5]
    Suffix
    и др., HBIM занимает достойное место. Концеп-HBIM занимает достойное место. Концеп- занимает достойное место. Концепция метода заключается в следующем: в результате теплового воздействия на тело в нем образуется область с фронтом возмущения ()Rt, за пределами которой температура тела (,)Txt(либо иная полевая функция) остается неизменной.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    3617
    Prefix
    А., 2016 54 В аналитической теории теплопроводности методы, в которых используется понятие фронта температурного возмущения, имеют широкий спектр разных подходов: HBIM, метод экви-HBIM, метод экви-, метод эквивалентных источников
    Exact
    [6]
    Suffix
    , методы М. Био [7], Г. И. Баренблатта [8], А. А. Дородницына [9] и др. Применение данных методов чрезвычайно широко: от линейных и нелинейных задач нагрева тел с нелинейными (а также с зависящими от времени) граничными условиями до задач с фазовыми переходами (так называемые стефановские задачи); от задач ламинарного обтекания пластины до задач течения жидкостей в каналах и гидродинамики нен
    (check this in PDF content)

  6. Start
    3636
    Prefix
    А., 2016 54 В аналитической теории теплопроводности методы, в которых используется понятие фронта температурного возмущения, имеют широкий спектр разных подходов: HBIM, метод экви-HBIM, метод экви-, метод эквивалентных источников [6], методы М. Био
    Exact
    [7]
    Suffix
    , Г. И. Баренблатта [8], А. А. Дородницына [9] и др. Применение данных методов чрезвычайно широко: от линейных и нелинейных задач нагрева тел с нелинейными (а также с зависящими от времени) граничными условиями до задач с фазовыми переходами (так называемые стефановские задачи); от задач ламинарного обтекания пластины до задач течения жидкостей в каналах и гидродинамики неньютоновских жидкост
    (check this in PDF content)

  7. Start
    3659
    Prefix
    А., 2016 54 В аналитической теории теплопроводности методы, в которых используется понятие фронта температурного возмущения, имеют широкий спектр разных подходов: HBIM, метод экви-HBIM, метод экви-, метод эквивалентных источников [6], методы М. Био [7], Г. И. Баренблатта
    Exact
    [8]
    Suffix
    , А. А. Дородницына [9] и др. Применение данных методов чрезвычайно широко: от линейных и нелинейных задач нагрева тел с нелинейными (а также с зависящими от времени) граничными условиями до задач с фазовыми переходами (так называемые стефановские задачи); от задач ламинарного обтекания пластины до задач течения жидкостей в каналах и гидродинамики неньютоновских жидкостей и т. д. [10].
    (check this in PDF content)

  8. Start
    3682
    Prefix
    А., 2016 54 В аналитической теории теплопроводности методы, в которых используется понятие фронта температурного возмущения, имеют широкий спектр разных подходов: HBIM, метод экви-HBIM, метод экви-, метод эквивалентных источников [6], методы М. Био [7], Г. И. Баренблатта [8], А. А. Дородницына
    Exact
    [9]
    Suffix
    и др. Применение данных методов чрезвычайно широко: от линейных и нелинейных задач нагрева тел с нелинейными (а также с зависящими от времени) граничными условиями до задач с фазовыми переходами (так называемые стефановские задачи); от задач ламинарного обтекания пластины до задач течения жидкостей в каналах и гидродинамики неньютоновских жидкостей и т. д. [10].
    (check this in PDF content)

  9. Start
    4045
    Prefix
    Применение данных методов чрезвычайно широко: от линейных и нелинейных задач нагрева тел с нелинейными (а также с зависящими от времени) граничными условиями до задач с фазовыми переходами (так называемые стефановские задачи); от задач ламинарного обтекания пластины до задач течения жидкостей в каналах и гидродинамики неньютоновских жидкостей и т. д.
    Exact
    [10]
    Suffix
    . Главным недостатком интегральных методов, использующих понятие фронта возмущения, является их относительно низкая точность. В первую очередь, это связано с тем, что в основу этих методов положено построение интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах фронта возмущения.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    4499
    Prefix
    В первую очередь, это связано с тем, что в основу этих методов положено построение интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах фронта возмущения. Имеется несколько разных подходов для решения проблемы точности HBIM. Это, в частности, RIM (Refined Integral Method)
    Exact
    [11, 12]
    Suffix
    , CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптим
    (check this in PDF content)

  11. Start
    4540
    Prefix
    В первую очередь, это связано с тем, что в основу этих методов положено построение интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах фронта возмущения. Имеется несколько разных подходов для решения проблемы точности HBIM. Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method)
    Exact
    [13]
    Suffix
    , схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [1
    (check this in PDF content)

  12. Start
    4571
    Prefix
    первую очередь, это связано с тем, что в основу этих методов положено построение интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах фронта возмущения. Имеется несколько разных подходов для решения проблемы точности HBIM. Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксим
    (check this in PDF content)

  13. Start
    4590
    Prefix
    Имеется несколько разных подходов для решения проблемы точности HBIM. Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-)
    Exact
    [11, 12]
    Suffix
    , CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [
    (check this in PDF content)

  14. Start
    4631
    Prefix
    Имеется несколько разных подходов для решения проблемы точности HBIM. Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method)
    Exact
    [13]
    Suffix
    , схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничны
    (check this in PDF content)

  15. Start
    4662
    Prefix
    Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23].
    (check this in PDF content)

  16. Start
    4710
    Prefix
    Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method)
    Exact
    [13]
    Suffix
    , схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23].
    (check this in PDF content)

  17. Start
    4741
    Prefix
    Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23].
    (check this in PDF content)

  18. Start
    4787
    Prefix
    Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method)
    Exact
    [13]
    Suffix
    , схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23].
    (check this in PDF content)

  19. Start
    4818
    Prefix
    Это, в частности, RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23].
    (check this in PDF content)

  20. Start
    4861
    Prefix
    , RIM (Refined Integral Method) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method)
    Exact
    [13]
    Suffix
    , схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23]. Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.
    (check this in PDF content)

  21. Start
    4892
    Prefix
    ) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23]. Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.
    (check this in PDF content)

  22. Start
    4911
    Prefix
    (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-)
    Exact
    [13]
    Suffix
    , схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23]. Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.
    (check this in PDF content)

  23. Start
    4942
    Prefix
    ], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [11, 12], CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда
    Exact
    [14, 15]
    Suffix
    , оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий [19–23]. Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.
    (check this in PDF content)

  24. Start
    4998
    Prefix
    CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома
    Exact
    [16–18]
    Suffix
    , метод дополнительных граничных условий [19–23]. Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.
    (check this in PDF content)

  25. Start
    5047
    Prefix
    – Лангфорда [14, 15], оптими-CIM (Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими- ( Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-Combined Integral Method) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптими-) [13], схема Майера – Лангфорда [14, 15], оптимизация формы аппроксимирующего полинома [16–18], метод дополнительных граничных условий
    Exact
    [19–23]
    Suffix
    . Однако получаемые данными методами решения, как правило, затрагивают лишь самые простые случаи: медленно и монотонно изменяющееся во времени тепловое воздействие, отсутствие существенных нелинейностей и т. д.
    (check this in PDF content)

  26. Start
    7447
    Prefix
    d ∂∂ , (4) ( ,0) 0Tx=, (5) T t ht0,( )=. (6) ( ) 55 Условия на фронте возмущения принимают вид ()()( ), 0;( ), 0 T T tttt x ∂ d= d= ∂ . (7) Представим искомый температурный профиль в виде полинома N-й степени Nj x  ()() () T ht a t = + d ∑. (8) j j =t 1 Запишем известное решение, которое использует краевые условия (5)–(7) и интеграл теплового баланса Т. Гудмена
    Exact
    [1]
    Suffix
    : ()() 0 2 2 0 (0, ) tt T T Tt tx x dd ∂∂∂ = ∂ =∫∫∂∂ . (9) В случае представления решения в виде полинома второй степени при () 1ht= имеем [1] 2 (,) 1 () x Txt t  = - d . (10) Подставив выражение (10) в формулу (9) и введя переменную 2() ()tts=d, получим ( ) 12t′s=.
    (check this in PDF content)

  27. Start
    7576
    Prefix
    d= ∂ . (7) Представим искомый температурный профиль в виде полинома N-й степени Nj x  ()() () T ht a t = + d ∑. (8) j j =t 1 Запишем известное решение, которое использует краевые условия (5)–(7) и интеграл теплового баланса Т. Гудмена [1]: ()() 0 2 2 0 (0, ) tt T T Tt tx x dd ∂∂∂ = ∂ =∫∫∂∂ . (9) В случае представления решения в виде полинома второй степени при () 1ht= имеем
    Exact
    [1]
    Suffix
    2 (,) 1 () x Txt t  = - d . (10) Подставив выражение (10) в формулу (9) и введя переменную 2() ()tts=d, получим ( ) 12t′s=. Отсюда при начальном условии (0) 0s= находим ( ) 12tts=. В итоге приходим к искомому решению для первой стадии процесса в первом приближении [1] () 2 Txt(,) 1 /12tx= -. (11) Положив 11() () 1tts=d=, найдем время окончания первой стадии:11/12 0,08333t=
    (check this in PDF content)

  28. Start
    7846
    Prefix
    T Tt tx x dd ∂∂∂ = ∂ =∫∫∂∂ . (9) В случае представления решения в виде полинома второй степени при () 1ht= имеем [1] 2 (,) 1 () x Txt t  = - d . (10) Подставив выражение (10) в формулу (9) и введя переменную 2() ()tts=d, получим ( ) 12t′s=. Отсюда при начальном условии (0) 0s= находим ( ) 12tts=. В итоге приходим к искомому решению для первой стадии процесса в первом приближении
    Exact
    [1]
    Suffix
    () 2 Txt(,) 1 /12tx= -. (11) Положив 11() () 1tts=d=, найдем время окончания первой стадии:11/12 0,08333t= ≈. Результаты расчета, согласно (13), в сравнении с точным решением [24] приведены на рис. 1, а.
    (check this in PDF content)

  29. Start
    8028
    Prefix
    В итоге приходим к искомому решению для первой стадии процесса в первом приближении [1] () 2 Txt(,) 1 /12tx= -. (11) Положив 11() () 1tts=d=, найдем время окончания первой стадии:11/12 0,08333t= ≈. Результаты расчета, согласно (13), в сравнении с точным решением
    Exact
    [24]
    Suffix
    приведены на рис. 1, а. Отклонения безразмерных температур, найденных по приближенной формуле (11), от точных значений дости гают существенных величин. Для повышения точности аппроксимационного решения необходимо увеличить степень полинома.
    (check this in PDF content)

  30. Start
    13378
    Prefix
    Подстановка функции ()td в (25) даст решение 223 (,)1 0,2036733/21 0,157343 0,107104 0,02389216 xxxx tttt Txt=  - --+  . (28) Для полинома восьмой степени следующие два уравнения будут 00 4455,ttTT≡Γ≡Γ. (29) { }( ){ }( ) В качестве третьего уравнения воспользуемся условием, введенным в расчетную практику Т. Гуд меном
    Exact
    [1]
    Suffix
    и отражающим выполнение дифференциального уравнения теплопроводности в точке 0x=, откуда получим 2 2 00 () 0 xx TT dh t xtdt== ∂∂ === ∂∂ . (30) Тождественные равенства (21)–(23), (29) совместно с уравнением (30) позволяют определить восемь коэффициентов ( ), 1,8jat j=, температурного профиля (8).
    (check this in PDF content)

  31. Start
    14031
    Prefix
    В данном случае решение будет следующим: 3 45 3/225/2 678 6 37/24 ( , ) 1 0,564220,04671730,002312820,0066571 0,00170660,0001817,224365 10. xx xx Txt tt tt xxx ttt =-+ + - + + - +⋅ (31) При этом 36,20 1(6)4ttd=. Время окончания первой стадии процесса 10,0276t=. Результаты расчетов температуры, согласно формуле (31), для 5N= в сравнении с точным решением
    Exact
    [24]
    Suffix
    приведены на рис. 1, б. Отличие приближенного решения от точного при t0,04148< не превышает 0,3%. Для температурного профиля (31) с полиномом 8N= максимальное отклонение приближенного решения от точного уменьшается (по сравнению с предыдущим значением) почти на порядок, составляя около 0,03%.
    (check this in PDF content)

  32. Start
    14406
    Prefix
    Для температурного профиля (31) с полиномом 8N= максимальное отклонение приближенного решения от точного уменьшается (по сравнению с предыдущим значением) почти на порядок, составляя около 0,03%. Отметим, что в известном методе дополнительных граничных условий
    Exact
    [21]
    Suffix
    получаем при той же степени полинома 8N= максимальное отклонение примерно 0,75%. Проведенный анализ показал, что для достижения точности аппроксимационного решения, достигаемой предлагаемым методом при полиноме пятой степени, в известном методе дополнительных граничных условий требуется полином 29-й степени, а для достижения примерной точности, которая отвечает предложенному мет
    (check this in PDF content)

  33. Start
    16455
    Prefix
    Применив к уравнению (32) интеграл теплового баланса 11 00 T d(1, )Tt dx Tdx t dtx ∂∂ == ∂∂ ∫∫, (35) получим обыкновенное дифференциальное уравнение '3 3qq+=, решение которого при начальном условии 1() 0qt= имеет вид 1( ) 1 exp[ 3( )]qtt t=- --. Отклонение приближенного решения от точного в данном случае достигает 8–9%
    Exact
    [21]
    Suffix
    . Для повышения точности аппроксимационного решения увеличим степень полинома с привлечением дополнительных уравнений. Таковыми являются уравнения, образующие ниже доказанную последовательности из тождественных равенств.
    (check this in PDF content)

  34. Start
    23938
    Prefix
    () 0(), (), ()0() 0(),(0)GtGtGtp tpptttq′′′========. (68) Отсюда на основании уравнения (67) и условий (68) приходим к задаче Коши для функции pt(3))(Gt= с нулевыми начальными условиями. Запишем характеристическое уравнение 4 1275 94410 1669680 3564000 0432++m +m+m=m, (69) корни которого определяют собственные значения:12,467401m= (точное значение *12,467401m=
    Exact
    [24]
    Suffix
    ), 222,1410m= (*222,2066m=[24]), 374,13041m=, 4220,01121m=. Первое вычисленное собственное значение совпадает с точным значением вплоть до шестого знака после запятой. Следует отметить, что известный интегральный метод дополнительных граничных условий [18–20] для приближенного решения с тем же полиномом пятой степени ( 5)N= позволяет получить лишь два собственных значения, причем с более низко
    (check this in PDF content)

  35. Start
    23968
    Prefix
    Запишем характеристическое уравнение 4 1275 94410 1669680 3564000 0432++m +m+m=m, (69) корни которого определяют собственные значения:12,467401m= (точное значение *12,467401m= [24]), 222,1410m= (*222,2066m=
    Exact
    [24]
    Suffix
    ), 374,13041m=, 4220,01121m=. Первое вычисленное собственное значение совпадает с точным значением вплоть до шестого знака после запятой. Следует отметить, что известный интегральный метод дополнительных граничных условий [18–20] для приближенного решения с тем же полиномом пятой степени ( 5)N= позволяет получить лишь два собственных значения, причем с более низкой точностью.
    (check this in PDF content)

  36. Start
    24195
    Prefix
    94410 1669680 3564000 0432++m +m+m=m, (69) корни которого определяют собственные значения:12,467401m= (точное значение *12,467401m= [24]), 222,1410m= (*222,2066m=[24]), 374,13041m=, 4220,01121m=. Первое вычисленное собственное значение совпадает с точным значением вплоть до шестого знака после запятой. Следует отметить, что известный интегральный метод дополнительных граничных условий
    Exact
    [18–20]
    Suffix
    для приближенного решения с тем же полиномом пятой степени ( 5)N= позволяет получить лишь два собственных значения, причем с более низкой точностью. Решение системы (67)–(68) и последующее трехкратное дифференцирование по t найденной функции ()pt дает искомую граничную функцию в следующем виде: qt() 11,27324 e2,46740122,1409874,13041220,011210,41846 e0,38808 e2,4668 etttt- - --= -+-- (
    (check this in PDF content)