The 20 reference contexts in paper A. Kravchuk S., A. Kravchuk I., Y. Tamila V., I. Tarasyuk A., А. Кравчук С., А. Кравчук И., Е. Томило В., И. Тарасюк А. (2016) “Колебания чистого изгиба композиционной структурно-неоднородной призматической балки постоянного сечения // Vibration of pure bending of composite prismatic beams with constant cross section and structural non-uniformity” / spz:neicon:vestift:y:2015:i:2:p:65-71

  1. Start
    830
    Prefix
    Однако многие колебательные процессы до настоящего времени в математическом смысле изучены недостаточно (например, влияние вязких свойств материала на процесс колебаний) либо имели ошибочное математическое описание
    Exact
    [1]
    Suffix
    . В данной статье впервые получено дифференциальное уравнение поперечных изгибных колебаний призматической балки конечной длины из однородного линейно-упругого и вязкоупругого однородно стареющего материала, решением которого является функция Вебера.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    1861
    Prefix
    уравнения свободных изгибных колебаний балки и определения ее собственных частот для структурно-однородного материала на случай структурно-неоднородных компози- ционных упругого и вязкоупругого однородно стареющего материалов балки. Анализ уравнений изгибных колебаний, полученных ранее. Истинность вывода уравнения изгибных колебаний балки, изложенного в известной монографии В. Л. Бидермана
    Exact
    [1]
    Suffix
    , вызывает сомнения, так как дифференциальное уравнение изгибных колебаний получено из уравнения изогнутой оси балки, выведенного С. П. Тимошенко [2], в случае статического изгиба распределенной нагрузкой q постоянной интенсивности, приложенной на всей длине балки: 222 2 2 4 , 252 du qx c dxEi -ν =++   (1) где u – перемещение вдоль оси 0y нейтрального слоя прямоугольной балки
    (check this in PDF content)

  3. Start
    2012
    Prefix
    Истинность вывода уравнения изгибных колебаний балки, изложенного в известной монографии В. Л. Бидермана [1], вызывает сомнения, так как дифференциальное уравнение изгибных колебаний получено из уравнения изогнутой оси балки, выведенного С. П. Тимошенко
    Exact
    [2]
    Suffix
    , в случае статического изгиба распределенной нагрузкой q постоянной интенсивности, приложенной на всей длине балки: 222 2 2 4 , 252 du qx c dxEi -ν =++   (1) где u – перемещение вдоль оси 0y нейтрального слоя прямоугольной балки,E– модуль упругости материала, ν– коэффициент Пуассона, i– момент инерции прямоугольного сечения балки шириной единица, – половина длины балки, 3 3
    (check this in PDF content)

  4. Start
    2402
    Prefix
    статического изгиба распределенной нагрузкой q постоянной интенсивности, приложенной на всей длине балки: 222 2 2 4 , 252 du qx c dxEi -ν =++   (1) где u – перемещение вдоль оси 0y нейтрального слоя прямоугольной балки,E– модуль упругости материала, ν– коэффициент Пуассона, i– момент инерции прямоугольного сечения балки шириной единица, – половина длины балки, 3 3 2 сi=
    Exact
    [2]
    Suffix
    . В монографии С. П. Тимошенко после уравнения (1) дается комментарий, что оно верно и в случае, когда q является функцией от x, т. е. верна следующая формула: 2()222 2 4 . 252 duqxx c dxEi -ν =++   (2) 111 1 2 2 Однако в монографии В.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    2652
    Prefix
    Тимошенко после уравнения (1) дается комментарий, что оно верно и в случае, когда q является функцией от x, т. е. верна следующая формула: 2()222 2 4 . 252 duqxx c dxEi -ν =++   (2) 111 1 2 2 Однако в монографии В. Л. Бидермана
    Exact
    [1]
    Suffix
    дифференцирование уравнения (2) приводит, очевидно, к ошибочному выражению ( ) 22 22. ddu Eiq x dxdx  =   Далее q(x) заменяется инерционной переменной по x нагрузкой 2 02 du m dx -, что неверно, так как при получении этого уравнения автор предполагает пренебречь силами инерции, действующими вдоль оси 0y, более того, в случае изгибных колебаний у балки рассматривается масса единицы длин
    (check this in PDF content)

  6. Start
    3815
    Prefix
    Произвольная замена константы q на функцию ()qх неверна, так как в случае функции ()qх в описании перемещений и должны участвовать комбинации коэффициентов ряда Фурье разложения ()qх, как это получается при решении задачи для прямоугольника, нагруженного произвольной нагрузкой
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Таким образом, адекватных уравнений, определяющих свободные изгибные колебания балки, до настоящего времени не было получено. Кроме того, без внимания остались вопросы влияния структуры композиционного тела на собственные частоты.
    (check this in PDF content)

  7. Start
    4079
    Prefix
    Таким образом, адекватных уравнений, определяющих свободные изгибные колебания балки, до настоящего времени не было получено. Кроме того, без внимания остались вопросы влияния структуры композиционного тела на собственные частоты. Аналогичный В. Л. Бидерману
    Exact
    [1]
    Suffix
    результа т получен в учебнике С. П. Стрелкова [4] с использованием перерезывающей силы, что также противоречит гипотезе отсутствия взаимодействия волокон в балке при выводе уравнений технической теории изгиба.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    4130
    Prefix
    Таким образом, адекватных уравнений, определяющих свободные изгибные колебания балки, до настоящего времени не было получено. Кроме того, без внимания остались вопросы влияния структуры композиционного тела на собственные частоты. Аналогичный В. Л. Бидерману [1] результа т получен в учебнике С. П. Стрелкова
    Exact
    [4]
    Suffix
    с использованием перерезывающей силы, что также противоречит гипотезе отсутствия взаимодействия волокон в балке при выводе уравнений технической теории изгиба. Уравнение свободных изгибных колебаний балки.
    (check this in PDF content)

  9. Start
    4652
    Prefix
    При построении обобщенной технической теории чистого изгиба призматическую балку постоянной толщины можно разделить на элементарные призматические волокна. Под чистым изгибом будем понимать изгиб, при котором продольные призматические волокна в балке не взаимодействуют друг с другом в поперечном направлении
    Exact
    [5]
    Suffix
    . Предполагается, что призматическая балка имеет прямоугольное сечение с постоянной вы- сотой h и толщиной, равной ∆. Будем полагать, что у призматической балки постоянной толщины при чистом изгибе существует нейтральный слой, т. е. слой, длина которого не изме- няется при изгибе.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    5158
    Prefix
    Рассматривается балка длины . Воспользуемся способом, известным из уравнений математической физики (например, крутильных колебаний стержня). Будем использовать приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
    Exact
    [5]
    Suffix
    с учетом выбора осей координат (рис. 1): 2 2. x x uM xEJ ∂ = ∂ (3) Здесь xJ– момент инерции прямоугольного сечения балки. Рассмотрим фрагмент изогнутой балки между точками (, )12xx (рис. 1).
    (check this in PDF content)

  11. Start
    6984
    Prefix
    Подставляя (),iu xt в (9), находим () () () () 22 22 22 11 . ii ii d t dX x dtdx axtXx Θ = Θ (11) Очевидно, что равенство уравнения (11) возможно только тогда, когда i∀ обе части уравнения равны некоторой константе 2i-l
    Exact
    [6]
    Suffix
    . Таким образом, из (11) получаем два независимых уравнения для определения ()iXx и ()itΘ [7]: () () 2 22 20, i ii dX x xX x dx +l= (12) () () 2 22 20. i ii dt at dt Θ +l Θ = Решениями уравнений (12), исходя из краевого условия неподвижности левого края изгибаемой балки (00xu==) и начального условия 0 0 t u t= ∂ = ∂ , являются следующие функции [8]: ()()()()() 1434 1,11 22 Xx С Diix121
    (check this in PDF content)

  12. Start
    7078
    Prefix
    Подставляя (),iu xt в (9), находим () () () () 22 22 22 11 . ii ii d t dX x dtdx axtXx Θ = Θ (11) Очевидно, что равенство уравнения (11) возможно только тогда, когда i∀ обе части уравнения равны некоторой константе 2i-l [6]. Таким образом, из (11) получаем два независимых уравнения для определения ()iXx и ()itΘ
    Exact
    [7]
    Suffix
    : () () 2 22 20, i ii dX x xX x dx +l= (12) () () 2 22 20. i ii dt at dt Θ +l Θ = Решениями уравнений (12), исходя из краевого условия неподвижности левого края изгибаемой балки (00xu==) и начального условия 0 0 t u t= ∂ = ∂ , являются следующие функции [8]: ()()()()() 1434 1,11 22 Xx С Diix1212 ,iix Dx - =- l- - l   (13) ()()1,cos, t Θ= liiit Сat где ()1 2 Dz – ком
    (check this in PDF content)

  13. Start
    7310
    Prefix
    Таким образом, из (11) получаем два независимых уравнения для определения ()iXx и ()itΘ [7]: () () 2 22 20, i ii dX x xX x dx +l= (12) () () 2 22 20. i ii dt at dt Θ +l Θ = Решениями уравнений (12), исходя из краевого условия неподвижности левого края изгибаемой балки (00xu==) и начального условия 0 0 t u t= ∂ = ∂ , являются следующие функции
    Exact
    [8]
    Suffix
    : ()()()()() 1434 1,11 22 Xx С Diix1212 ,iix Dx - =- l- - l   (13) ()()1,cos, t Θ= liiit Сat где ()1 2 Dz – комплекснозначная функция параболического цилиндра (функция Вебера) [8], 1, x Сi, 2, t Сi – произвольные вещественные константы.
    (check this in PDF content)

  14. Start
    7497
    Prefix
    at dt Θ +l Θ = Решениями уравнений (12), исходя из краевого условия неподвижности левого края изгибаемой балки (00xu==) и начального условия 0 0 t u t= ∂ = ∂ , являются следующие функции [8]: ()()()()() 1434 1,11 22 Xx С Diix1212 ,iix Dx - =- l- - l   (13) ()()1,cos, t Θ= liiit Сat где ()1 2 Dz – комплекснозначная функция параболического цилиндра (функция Вебера)
    Exact
    [8]
    Suffix
    , 1, x Сi, 2, t Сi – произвольные вещественные константы. Учитывая, что хотя функция()1 2 Dz является комплекснозначной, но величина мощности (())()() 1434 11 22 Im1 21 2iiDxDx - - l- - l  меньше значения мощности ()()(() 14 11 22 Re1 2iiDxx - - l- - l  (())()() 1434 11 22 Re1 21 2iiDxDx - - l- - l  , то функция ()()()()() (())()()
    (check this in PDF content)

  15. Start
    8339
    Prefix
    Для удовлетворения второго краевого условия ux==0 достаточно, чтобы было выполнено уравнение (())()() 1434 11 22 Re1 21 20.iiDD - - l- - l =   (14) Отметим, что уравнение (14) имеет бесконечное число корней iμ
    Exact
    [8]
    Suffix
    . Отсюда следует, что для удовлетворения условия неподвижности правого края изгибаемой балки (0xu==) достаточно положить 2 22 i i μ l=  . Отметим, что с помощью непосредственных вычислений можно определить серию значений []Reiiμ≈ μ: 1 3,3352...μ≈, 2 4,86051...μ≈, 3 6,01411...μ≈ Таким образом, исходя из (13), собственные частоты свободных изгибных колебаний балок прямоугольного сечения опре
    (check this in PDF content)

  16. Start
    9321
    Prefix
    Рассматривается установившаяся ползучесть бруса. В соответствии с наследственной теорией ползучести для призматического бруса из одного однородно стареющего материала, подверженного чистому изгибу, будем рассматривать уравнение состояния
    Exact
    [9, 10]
    Suffix
    : ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 1 ,, ,, t zzzytyty t d Et  e=s+ s tΓ t t  ∫ (16) (( )Et– мгновенный модуль упругости, ( ),tΓt– ядро ползучести). В случае квазистатической ползучести приближенное дифференциальное уравнение перемещений балки будет иметь вид при постоянном изгибающем моменте [5, 10]: ( ) 2 2 1 , u xt ∂ = ∂r (17) где ( )( ) ( ) 0 1 1 ,. t x x M td t JEt  =+Γ t
    (check this in PDF content)

  17. Start
    9617
    Prefix
    материала, подверженного чистому изгибу, будем рассматривать уравнение состояния [9, 10]: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 1 ,, ,, t zzzytyty t d Et  e=s+ s tΓ t t  ∫ (16) (( )Et– мгновенный модуль упругости, ( ),tΓt– ядро ползучести). В случае квазистатической ползучести приближенное дифференциальное уравнение перемещений балки будет иметь вид при постоянном изгибающем моменте
    Exact
    [5, 10]
    Suffix
    : ( ) 2 2 1 , u xt ∂ = ∂r (17) где ( )( ) ( ) 0 1 1 ,. t x x M td t JEt  =+Γ t t r ∫ Не повторяя дословно вывод уравнения (9), получаем уравнение, учитывающее ползучесть балки при изгибных колебаниях: ( ) 22 2 222 1 , uu at txx ∂∂ = ∂∂ (18) где ( )( )( ) 0 1, t at EtJ Sxxt d  =r +Γ t t   ∫.
    (check this in PDF content)

  18. Start
    10570
    Prefix
    , значительно упрощает результирующее уравнение (18) и позволяет получить аналитические выражения для собственных частот (19), в теоретическом смысле наследственную теорию ползучести приравнивает технической теории старения. Методика решения задачи изгиба композиционной призматической балки. Собственно методика решения задач чистого изгиба композиционных призматических балок изложена в
    Exact
    [10, 11]
    Suffix
    . Все допущения относительно линейных размеров ′ макроточек композиционных материалов (21xx′<-), а также применения гипотез Фойгта и Рейсса в данном случае также верны. Необходимо отметить, что из условия наличия неоднородностей в материале стержня Рис. 2.
    (check this in PDF content)

  19. Start
    11579
    Prefix
    утверждать, что количеством N достоверно вычисленных частот для композиционной призматической балки является значение, удовлетворяющее неравенству , N >>′   т. е. длина волны /N должна быть больше размера неоднородности композиционной балки как минимум в 10 раз. Изгибные колебания композиционной балки без учета временных эффектов. Фактически в уравнении (9) в соответствии с результатами
    Exact
    [11, 12]
    Suffix
    при вычислении коэффициента а модуль упругости однородного материала необходимо заменить эффективным значением Хилла для структурно-неоднородного композиционного материала, состоящего из n компонент, а плотность однородного материала – ее средним значением в соответствии с объемными долями kγ (концентрациями) указанных компонент: , Хx x EJ a S = r (20) где 1 11 1 2 nn k Хk
    (check this in PDF content)

  20. Start
    12440
    Prefix
    Соответственно собственные частоты структурно-неоднородного материала будут определяться уравнением, аналогичным (15) (рис. 3): 2 22. ixХ i x EJ S μ ω= r (21) Изгибные колебания композиционной балки с учетом эффективных вязкоупругих свойств материала. Аналогично в (18) и (19) вносим изменения в соответствии с работами
    Exact
    [10, 12]
    Suffix
    : ( )( )( ) 0 1, , t at Et JХХxxSt d  =r +Γt t  ∫ Рис. 3. Зависимость низших собственных частот 1ω (штрихпунктирная линия), 2ω (штриховая линия), 3ω (сплошная линия) (21) композиционной структурно-неоднородной призматической балки длиной 1=м от концентрации γ первого материала в двухкомпонентной смеси (1112 10E= ⋅Па, 1120,7 10E= ⋅Па, 17850r=кг/м3, 28330r=кг/м3 при0,
    (check this in PDF content)