The 12 reference contexts in paper A. Kravchuk S., Y. Tamila V., А. Кравчук С., Е. Томило В. (2016) “Чистый изгиб слоистых и композиционных призматических брусьев из линейно-упругих материалов // Pure bending of layered composite prismatic beams from linear plastic materials” / spz:neicon:vestift:y:2014:i:3:p:15-20

  1. Start
    1268
    Prefix
    При построении обобщенной технической теории чистого изгиба призматическую балку постоянной толщины можно разделить на элементарные призматические волокна (рис. 1�. Под чистым изгибом будем понимать изгиб, при котором продольные призматические волокна в балке не взаимодействуют в поперечном направлении
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Предполагается, что брус имеет прямоугольное сечение с постоянной высотой h и толщиной, равной Δ. Это значит, что отклонения в размерах поперечного сечения малы по сравнению с радиусом кривизны бруса и при его нагружениии не вносят существенной поправки в определение перемещения бруса и его напряженного состояния.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    2127
    Prefix
    Исследование деформации и распределения напряжений прямоугольного бруса в условиях чистого изгиба. Будем предполагать, что брус разделен поперечными плоскостями на конечное число поперечных элементов длиной нейтрального слоя .dz Следуя
    Exact
    [1]
    Suffix
    , рассмотрим деформацию любого поперечного элемента бруса. Исходя из очевидных рассуждений о геометрическом подобии длин элементарных волокон длине нейтрального слоя, можно установить, что деформации элементарных волокон относительно геометрического положения нейтрального слоя распределены следующим образом [1]: z y-d e= r , (1� где d – координата нейтрального слоя относительно середины б
    (check this in PDF content)

  3. Start
    2447
    Prefix
    Исходя из очевидных рассуждений о геометрическом подобии длин элементарных волокон длине нейтрального слоя, можно установить, что деформации элементарных волокон относительно геометрического положения нейтрального слоя распределены следующим образом
    Exact
    [1]
    Suffix
    : z y-d e= r , (1� где d – координата нейтрального слоя относительно середины бруса, r – радиус кривизны нейтрального слоя. В этом случае для однородного линейно-упругого материала имеем z y E -d s= r , (2� где E – модуль упругости.
    (check this in PDF content)

  4. Start
    2846
    Prefix
    В этом случае для однородного линейно-упругого материала имеем z y E -d s= r , (2� где E – модуль упругости. Исходя из того, что касательные напряжения, по нашему предположению, отсутствуют и чистый изгиб происходит в плоскости YОZ, необходимо удовлетворить три уравнения равновесия
    Exact
    [1]
    Suffix
    : 22 22 0 h z h dxdy D --D ∫∫s=, ( ) 22 22 h zx h y dxdy M D --D ∫∫s=, ( ) 22 22 0 h z h x dxdy D --D ∫∫s=. (3� Подставляя выражение (2� в уравнения (3�, получаем два уравнения, определяющие в общем случае положение нейтрального слоя d относительно середины высоты бруса (рис. 1� и радиус кривизны r.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    3327
    Prefix
    Для однослойного упругого однородного бруса уравнения равновесия (3� преобразуются к виду () 2 2 0 h h ydy ∫-d =, () 2 2 . h x h EM yydy -d = rD ∫ (4� Окончательно можно получить известное решение: 0,d= 3 1 12x M hE = rD
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Рассмотрим деформацию призматического горизонтально-слоистого упругого бруса постоянной толщины и ширины размером hD× ×, состоящего из N слоев. При этом k-й слой (1,kN=� имеет высоту kh и модуль упругости kE материала слоя (рис. 2, а�.
    (check this in PDF content)

  6. Start
    6993
    Prefix
    : если композиционный материал состоит из N компонент (фаз� и в среднем изотропен (например, имеет место хаотическое армирование и т. п.�, то в первом случае можно использовать гипотезу Фойгта для призматического стержня о том, что в простейших опытах на чистый изгиб предполагается, что деформация макроточки композиционного материала призматического стержня однородна по переменной y
    Exact
    [2]
    Suffix
    . Второй предельный случай (гипотеза Рейсса� заключается в том, что в тех же простейших экспериментах на чистый изгиб предполагается, что напряженное состояние макроточки композиционного материала призматического стержня однородно по переменной y [3].
    (check this in PDF content)

  7. Start
    7245
    Prefix
    Второй предельный случай (гипотеза Рейсса� заключается в том, что в тех же простейших экспериментах на чистый изгиб предполагается, что напряженное состояние макроточки композиционного материала призматического стержня однородно по переменной y
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Формулы, полученные на основании этих гипотез, имеют практическую ценность, так как являются соответственно верхней и нижней оценками истинных модулей композиционного материала [4]. Исходные данные для получения усредненных характеристик композиционного призматического бруса.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    7427
    Prefix
    Рейсса� заключается в том, что в тех же простейших экспериментах на чистый изгиб предполагается, что напряженное состояние макроточки композиционного материала призматического стержня однородно по переменной y [3]. Формулы, полученные на основании этих гипотез, имеют практическую ценность, так как являются соответственно верхней и нижней оценками истинных модулей композиционного материала
    Exact
    [4]
    Suffix
    . Исходные данные для получения усредненных характеристик композиционного призматического бруса. Предполагается, что значения объемных долей kg (1,kN=� (концентраций� компонент композиционного материала известны для бруса в целом, они же являются объемными долями компонент для каждого из призматических поперечных элементов бруса длиной dz (рис. 1�.
    (check this in PDF content)

  9. Start
    8069
    Prefix
    При усреднении упругих характеристик композиционного материала бруса предполагается, что модули упругости kE известны для каждой компоненты k (1,kN=�. Применение гипотезы Фойгта для вычисления эффективных коэффициентов линейно-упругого материала из N компонент для призматического бруса
    Exact
    [2]
    Suffix
    . В данном случае следует решить задачу усреднения параметров материалов, исходя из чистого изгиба вертикально продольно-слоистого призматического поперечного элемента бруса длиной dz (рис. 2, б�, так как при таком нагружении гипотеза об однородной деформации каждого слоя многокомпонентного бруса удовлетворяется по определению.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    9207
    Prefix
    -слоистом пакете не имеет значения и можно записать среднюю величину напряжения Фzs , действующую на все вертикальные продольные слои: Ф ФФ, 11Ф 1 , NNk zzkkk kk hyy hEE hh== -d-d s = s D== Drr ∑∑ (10� где Ф 1 . N kk k EE = = g∑ Из формулы (10� в отличие от выражения (8� получаем Ф0,d= а Фr находится из уравнения: 3Ф Ф12.x E h M r= D (11� Применение гипотезы Рейсса
    Exact
    [3]
    Suffix
    при вычислении эффективных параметров деформирования композиционного бруса. В данном случае следует воспользоваться решением задачи усреднения модулей упругости поперечно-слоистого бруса постоянной толщины (рис. 2, в�, так как при таком нагружении гипотеза об однородном напряженном состоянии всех компонент многокомпонентного бруса удовлетворяется по определению.
    (check this in PDF content)

  11. Start
    10367
    Prefix
    деформации для всего пакета поперечных слоев призматического поперечного элемента, получаем РРР Р z, y E -d s= r  (13� где 1 Р1, Nk kk E E = g =  ∑ РР 1 0, Nk k kk= d d=r g = r ∑ Рr находится из следующего уравнения: 3РР12. x E h M r= D (14� Для вычисления эффективных параметров чистого изгиба призматического бруса, исходя из (10�, (13 � и следуя гипотезе Хилла
    Exact
    [4, 5]
    Suffix
    , для рассматриваемой модели структурно-неоднородного призматического бруса постоянного поперечного сечения можно записать XX X z, y s=E r где ()Х РФ 1 , 2 E EE=+ (15� ФР X X ФР РФ . E EE rr r= r+ r (16� Установлено, что радиус кривизны изгибаемого бруса существенно зависит от концентраций компонент (рис. 3�.
    (check this in PDF content)

  12. Start
    11257
    Prefix
    Определены эффективные значения модулей упругости (15� и радиуса кривизны нейтрального слоя (16� изгибаемого бруса. Установлено, что эффективные значения по Хиллу модулей упругости (15� при изгибе и при одноосном растяжении/сжатии
    Exact
    [5]
    Suffix
    композиционных стержней из линейно-упругих материалов совпадают.
    (check this in PDF content)