The 7 reference contexts in paper V. Milyutin G., V. Loginov S., Виктор Милютин Геннадьевич, Владимир Логинов Степанович (2015) “ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ГРЕТЦА - НУССЕЛЬТА // APPROXIMATE SOLUTIONS OF GRETZ - NUSSELT PROBLEM” / spz:neicon:tumnig:y:2015:i:6:p:46-54

  1. Start
    2495
    Prefix
    теплообмена принимается стационарным; 2)жидкость считаетсянесжимаемой,и ее физические свойства постоянны (не зависят от температуры); 3)в потоке отсутствуют внутренние источники теплоты, а теплота трения пренебрежимо мала; 4)тепловым потоком вдоль трубы за счет теплопроводности можно пренебречь по сравнению с конвективным тепловым.После преобразований, приведенных в
    Exact
    [1]
    Suffix
    , уравнение энергии в безразмерном виде запишется 12( , )( , )(1)X RX RRR R RRX       ,(1) где 00 ст ст t t tt       , 0 r R r , 0 0 2 2 axx X r rPe d  ; с граничными условиями: при0X,01R 1 ,(2) при0X,0R0R  , при0X,1R0. (3) Решение системы (1), (2), (3) подробно приводится в [1, 2] 2 0 ( , )exp()( )nnn N X RAXr     
    (check this in PDF content)

  2. Start
    2827
    Prefix
    тепловым.После преобразований, приведенных в [1], уравнение энергии в безразмерном виде запишется 12( , )( , )(1)X RX RRR R RRX       ,(1) где 00 ст ст t t tt       , 0 r R r , 0 0 2 2 axx X r rPe d  ; с граничными условиями: при0X,01R 1 ,(2) при0X,0R0R  , при0X,1R0. (3) Решение системы (1), (2), (3) подробно приводится в
    Exact
    [1, 2]
    Suffix
    2 0 ( , )exp()( )nnn N X RAXr     ,(4) где( )(,)nnnRR  ; 2 2 0 ( )( )nn n RbR    ,(5) где01,b0;n20/ 41/ 4,1;bbn    2242222 11(),2; 2 bnnnbbn n   ,1 2 () n n nR A        . (6) Окончательно распределение температуры жидкости в потоке определяется формулой 2 000 ctexp( 2)( ).nnn
    (check this in PDF content)

  3. Start
    3575
    Prefix
    Таблица 1 Собственные значенияn nnnA 02,7043641,4764354 16,679031-0,8061239 210,673380,5887621 314,671078-0,4758504 418,6698720,4050218 522,669143-0,3557565 626,6686620,319169 730,668323-0,2907358 834,6680740,2678911 938,667883-0,2490625 1042,6677340,2332277 В литературе
    Exact
    [1, 2]
    Suffix
    отмечено, что «для большихnрасчет собственных значений nзатруднен», поэтому используется асимптотическое решение: n48 / 3n , (8) ( 1)2/32,84606n Ann   , (9) но не даны ни величина, ни порядок такихn.
    (check this in PDF content)

  4. Start
    7760
    Prefix
    Это означает, что 1 ( )cos()nn n RAR    .(16) Подставляя решения (6) и (9) в функцию (4), получим 2 1 ( , )cos()exp()nnn n X RDRX     , (17) где0nnDA A. ПостояннуюnDв уравнении (10) найдем из граничного условия (2) 1 1cos()nn n DR   . Это уравнение, как известно
    Exact
    [3]
    Suffix
    , есть разложение четной функции в ряд Фурье с заданными параметрамиn. Используя ортогональные свойства тригонометрических функций, находим 11 2 00 cos()cos ()nnnR dRDR dRили 1 0 1 2 0 cos() cos () n n n R dR D R dR      1 0 1 2 0 cos() 2sin cos () n nn n n R dR D R dR        .
    (check this in PDF content)

  5. Start
    9907
    Prefix
    ,02310,01850,01510,01360,0144 102E-212E-212E-212E-212E-211E-211E-211E-218E-227E-227E-22 1003E-2143E-2143E-2143E-2142E-2142E-2142E-2141E-2141E-2149E-2151E-214 100000000000000 1000000000000000 10000000000000000 X R В табл. 3 выделена область применения приближенного решения (19): 01R ,0.01X  . Подставим (18) в выражение для средней массовой температуры жидкости в безразмерной формеср
    Exact
    [1]
    Suffix
    : 11 2 000 срст24(1)x ст tt W RdRR RdR tt            ,(20) конечный вид1срне приводится ввиду громоздкости.Анализ полученного выражения для1српоказывает, что при10срX вне зависимости отn; при101срX  .
    (check this in PDF content)

  6. Start
    10677
    Prefix
    ,76230,48890,00583E-220000 20,99520,99410,98290,8870,49120,00583E-220000 30,98970,98860,97810,88540,49120,00583E-220000 40,99930,9980,98560,88630,49120,00583E-220000 50,99760,99640,98450,88630,49120,00583E-220000 60,99970,99840,98560,88630,49120,00583E-220000 n X Подставим полученные значения (20) и значения дифференциальной производной поR(при1R) решения (18) в уравнение для числа Нуссельта
    Exact
    [1]
    Suffix
    : 1 2 срR d Nu R            , (21) где—коэффициент теплоотдачи,—коэффициент теплопроводности среды, d—характерный размер (в нашем случае—диаметр трубы).
    (check this in PDF content)

  7. Start
    11879
    Prefix
    Константы1Си2Сопределим из граничных условий 22 d C R dR  ; при0R0 d dR  , при1R10C; 2   ( )2(1)RCR.(22) Положим, что 2 2 1 d dR  (здесь взят знак минус из физических соображений представленных в
    Exact
    [1]
    Suffix
    ), получим212C ,2 1 2 C. Тогда (22) запишется как ( )12(1) 2   RR. (23) Подставим полученное( )Rв (14) 2 22 1 22(1)(1) 02CRR       , откуда выразим 2 2 2 2 4 (1)R   , при0R2, при1R .
    (check this in PDF content)