The 27 references with contexts in paper A. Guskov M., D. Vakhlyarskiy S., M. Basarab A., V. Matveev A., А. Гуськов М., В. Матвеев А., Д. Вахлярский С., М. Басараб А. (2016) “Использование метода конечных элементов совместно с методом возмущений в задаче вычисления расщепления частоты оболочки с дефектом формы срединной поверхности // Using a Combination of FEM and Perturbation Method in Frequency Split Calculation of a Nearly Axisymmetric Shell with Middle Surface Shape Defect” / spz:neicon:technomag:y:2016:i:5:p:152-174

1
Heidari A., Chan M-L., Yang H-A., Jaramillo G., Taheri-Tehrani P., Fonda P., Najar N., Yamazaki K., Lin L., Horsley D. A. Hemispherical wineglass resonators fabricated from the microcrystalline diamond // Journal of Micromechanics and Microengineering. 2013. vol. 23, no. 12, pp. 8. DOI: 10.1088/0960-1317/23/12/125016
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=1804
    Prefix
    Работая в режиме интегрирующего гироскопа, ВТГ является одним из немногих датчиков, выходной сигнал которого пропорционален непосредственно углу поворота прибора, а не угловой скорости. В настоящее время ведутся интенсивные исследования в области технологии получения чувствительных элементов микроэлектромеханических ВТГ
    Exact
    [1,2]
    Suffix
    . Чувствительный элемент волнового твердотельного гироскопа – резонатор, выполненный в виде тонкостенной оболочки вращения из кварцевого стекла, сапфира, рубина, бронзы [3]. Изготовление резонатора невозможно без погрешностей.

2
Pai P., Chowdhury F.K., Mastrangelo C.H., Tabib-Azar M., MEMS-Based hemispherical resonator gyroscopes // Conference: Sensors, 2012 IEEE. DOI: 10.1109/ICSENS.2012.6411346.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=1804
    Prefix
    Работая в режиме интегрирующего гироскопа, ВТГ является одним из немногих датчиков, выходной сигнал которого пропорционален непосредственно углу поворота прибора, а не угловой скорости. В настоящее время ведутся интенсивные исследования в области технологии получения чувствительных элементов микроэлектромеханических ВТГ
    Exact
    [1,2]
    Suffix
    . Чувствительный элемент волнового твердотельного гироскопа – резонатор, выполненный в виде тонкостенной оболочки вращения из кварцевого стекла, сапфира, рубина, бронзы [3]. Изготовление резонатора невозможно без погрешностей.

3
Лунин Б.С., Матвеев В.А., Басараб М.А. Волновой твердотельный гироскоп. Теория и технология. М.: Радиотехника, 2014. 176 с.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=1975
    Prefix
    В настоящее время ведутся интенсивные исследования в области технологии получения чувствительных элементов микроэлектромеханических ВТГ [1,2]. Чувствительный элемент волнового твердотельного гироскопа – резонатор, выполненный в виде тонкостенной оболочки вращения из кварцевого стекла, сапфира, рубина, бронзы
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Изготовление резонатора невозможно без погрешностей. Это приводит к расщеплению рабочей частоты 2f свободных колебаний чувствительного элемента (индекс 2 отвечает форме колебаний с 4 узловыми меридианами и без узловых параллелей).

  2. In-text reference with the coordinate start=2342
    Prefix
    Это приводит к расщеплению рабочей частоты 2f свободных колебаний чувствительного элемента (индекс 2 отвечает форме колебаний с 4 узловыми меридианами и без узловых параллелей). Указанное расщепление, существенным образом влияет на точность показаний прибора
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Влияние геометрических неоднородностей резонатора ВТГ на его динамику ранее рассматривалось в ряде работ. Так, в [4-6] исследуются типы геометрических неоднородностей кольцевого резонатора, наиболее влияющие на расщепление частот и точностные характеристики прибора.

  3. In-text reference with the coordinate start=5182
    Prefix
    К первой группе дефектов относятся: неоднородность распределения толщины оболочки, плотности, упругих и диссипативных свойств материала в окружном направлении. Влияние данной группы дефектов на расщепление частоты резонатора хорошо изучено
    Exact
    [3, 13-16]
    Suffix
    . Это связано с тем, что срединная поверхность оболочки с дефектами такого типа остается поверхностью вращения. В таком случае, для построения, как невозмущенных операторов (0)(0) TG,, так и возмущений (n)(n) TG, в (2) используется известная система уравнений, описывающая колебания оболочек вращения.

4
Hwang R.S., Fox C.H.J., McWilliam S. The in-plane vibration of thin rings with in-plane profile variations. Part I: General background and theoretical formulation // Journal of Sound and Vibration. 1999. vol. 220, no. 3, pp. 497-516. DOI: 10.1006/jsvi.1998.1963
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=2459
    Prefix
    Указанное расщепление, существенным образом влияет на точность показаний прибора [3]. Влияние геометрических неоднородностей резонатора ВТГ на его динамику ранее рассматривалось в ряде работ. Так, в
    Exact
    [4-6]
    Suffix
    исследуются типы геометрических неоднородностей кольцевого резонатора, наиболее влияющие на расщепление частот и точностные характеристики прибора. При этом как формы колебаний, так и формы неоднородности раскладываются в ряды Фурье с последующим количественным и качественным анализом влияния на динамику искажения формы.

5
Fox C.H.J., Hwang R.S., and McWilliam S. The in-plane vibration of thin rings with in-plane profile variations. Part II: Application to nominally circular rings // Journal of Sound and Vibration. 1999. vol. 220, no. 3, pp. 517-539. DOI: 10.1006/jsvi.1998.1962
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=2459
    Prefix
    Указанное расщепление, существенным образом влияет на точность показаний прибора [3]. Влияние геометрических неоднородностей резонатора ВТГ на его динамику ранее рассматривалось в ряде работ. Так, в
    Exact
    [4-6]
    Suffix
    исследуются типы геометрических неоднородностей кольцевого резонатора, наиболее влияющие на расщепление частот и точностные характеристики прибора. При этом как формы колебаний, так и формы неоднородности раскладываются в ряды Фурье с последующим количественным и качественным анализом влияния на динамику искажения формы.

6
Yilmaz E. and Bindel D. Effects of imperfections on solid-wave gyroscope dynamics // in Proc. IEEE Sensors, Baltimore, MD, USA, Nov. 2013, pp. 1331–1334.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=2459
    Prefix
    Указанное расщепление, существенным образом влияет на точность показаний прибора [3]. Влияние геометрических неоднородностей резонатора ВТГ на его динамику ранее рассматривалось в ряде работ. Так, в
    Exact
    [4-6]
    Suffix
    исследуются типы геометрических неоднородностей кольцевого резонатора, наиболее влияющие на расщепление частот и точностные характеристики прибора. При этом как формы колебаний, так и формы неоднородности раскладываются в ряды Фурье с последующим количественным и качественным анализом влияния на динамику искажения формы.

7
Sato K. Free flexural vibrations of an elliptical ring in its plane // J. Acoust. Soc. Am. 1975. vol. 57, no. 1, pp.113- 115. DOI: 10.1121/1.380420
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=2800
    Prefix
    Так, в [4-6] исследуются типы геометрических неоднородностей кольцевого резонатора, наиболее влияющие на расщепление частот и точностные характеристики прибора. При этом как формы колебаний, так и формы неоднородности раскладываются в ряды Фурье с последующим количественным и качественным анализом влияния на динамику искажения формы. Еще в
    Exact
    [7,8]
    Suffix
    был подробно исследован случай второй формы неоднородности (эллиптичность) кольцевого резонатора. Выражения, позволяющие оценить динамику цилиндрической оболочки такого типа (эллиптический цилиндр) приведены в [9].

8
Brigham G.A. In-plane free vibrations of tapered oval rings // The Journal of the Acoustical Society of America. 1973, vol. 54, no. 2, pp.451-460.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=2800
    Prefix
    Так, в [4-6] исследуются типы геометрических неоднородностей кольцевого резонатора, наиболее влияющие на расщепление частот и точностные характеристики прибора. При этом как формы колебаний, так и формы неоднородности раскладываются в ряды Фурье с последующим количественным и качественным анализом влияния на динамику искажения формы. Еще в
    Exact
    [7,8]
    Suffix
    был подробно исследован случай второй формы неоднородности (эллиптичность) кольцевого резонатора. Выражения, позволяющие оценить динамику цилиндрической оболочки такого типа (эллиптический цилиндр) приведены в [9].

9
Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2010. 380 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=3020
    Prefix
    Еще в [7,8] был подробно исследован случай второй формы неоднородности (эллиптичность) кольцевого резонатора. Выражения, позволяющие оценить динамику цилиндрической оболочки такого типа (эллиптический цилиндр) приведены в
    Exact
    [9]
    Suffix
    . Вывод уравнений динамики оболочки вращения с ненулевой гауссовой кривизной и произвольным очертанием линии меридиана рассмотрен в [10]. При исследовании колебаний оболочек идеальных в окружном направлении и имеющих неоднородность в меридиональном направлении могут быть использованы численные алгоритмы, в частности, в [11] предложен подход к расчету динамики (собственные формы колебаний

10
Карачун В.В., Мельник В.Н. Уравнения динамики оболочки вращения с ненулевой гауссовой кривизной и произвольным очертанием линии меридиана // Вестник двигателестроения, 2009. No3. с.29-36.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=3156
    Prefix
    Выражения, позволяющие оценить динамику цилиндрической оболочки такого типа (эллиптический цилиндр) приведены в [9]. Вывод уравнений динамики оболочки вращения с ненулевой гауссовой кривизной и произвольным очертанием линии меридиана рассмотрен в
    Exact
    [10]
    Suffix
    . При исследовании колебаний оболочек идеальных в окружном направлении и имеющих неоднородность в меридиональном направлении могут быть использованы численные алгоритмы, в частности, в [11] предложен подход к расчету динамики (собственные формы колебаний и коэффициент прецессии) оболочки вращения с произвольной формой образующей. 1.

11
Басараб М.А., Кравченко В.Ф., Матвеев В.А., Пустовойт В.И. Атомарные функции в задаче определения функций Рэлея и коэффициента прецессии резонатора волнового твердотельного гироскопа // Доклады Академии Наук, 2001, т. 376, No 4, с. 474-479.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=3355
    Prefix
    Вывод уравнений динамики оболочки вращения с ненулевой гауссовой кривизной и произвольным очертанием линии меридиана рассмотрен в [10]. При исследовании колебаний оболочек идеальных в окружном направлении и имеющих неоднородность в меридиональном направлении могут быть использованы численные алгоритмы, в частности, в
    Exact
    [11]
    Suffix
    предложен подход к расчету динамики (собственные формы колебаний и коэффициент прецессии) оболочки вращения с произвольной формой образующей. 1. Метод возмущений Для вычисления 2f необходимо решить задачу на собственные значения для свободных колебаний оболочки.

12
Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями): пер. с нем. М.: Наука, 1968. 504 с.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=3683
    Prefix
    могут быть использованы численные алгоритмы, в частности, в [11] предложен подход к расчету динамики (собственные формы колебаний и коэффициент прецессии) оболочки вращения с произвольной формой образующей. 1. Метод возмущений Для вычисления 2f необходимо решить задачу на собственные значения для свободных колебаний оболочки. В операторной форме задача на собственные значения имеет вид
    Exact
    [12]
    Suffix
    : (1) где T,G – линейные операторы; uk – собственный вектор; – собственное значение. На практике, отклонение геометрических параметров резонатора от идеальных, очень мало.

  2. In-text reference with the coordinate start=4103
    Prefix
    При математическом моделировании, это обстоятельство позволяет применять метод возмущений для вычисления расщепления собственной частоты. Задача нахождения расщепления собственного значения резонатора методом возмущений имеет следующий вид
    Exact
    [12]
    Suffix
    : где – линейные операторы, собственное значение и собственный вектор невозмущенной задачи, соответствующей идеальной оболочке вращения; – возмущения соответствующих величин порядка ()n n 0>.

  3. In-text reference with the coordinate start=9148
    Prefix
    Таким образом, в зависимости от выбранного (0)2(1)q, будут получены различные и (1)2(1)q, определяемые ориентацией дефектов резонатора по отношению к (0)2(1)q. Аналогично для и (1)2(2)q в зависимости от (0) q2(2). Согласно свойствам отношения Рэлея
    Exact
    [12, 20]
    Suffix
    , необходимо выбрать такие (0) q2(1) и (0) q2(2), которые в первом приближении дают максимальное и минимальное значения (1)2l. Значения и отвечают расщепленным собственным частотам ()2maxf и ()2minf оболочки с дефектами.

13
Меркурьев И.В., Подалков В.В. Динамика микромеханического и волнового твердотельного гироскопов. М.: Физматлит, 2009. 228 c.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5182
    Prefix
    К первой группе дефектов относятся: неоднородность распределения толщины оболочки, плотности, упругих и диссипативных свойств материала в окружном направлении. Влияние данной группы дефектов на расщепление частоты резонатора хорошо изучено
    Exact
    [3, 13-16]
    Suffix
    . Это связано с тем, что срединная поверхность оболочки с дефектами такого типа остается поверхностью вращения. В таком случае, для построения, как невозмущенных операторов (0)(0) TG,, так и возмущений (n)(n) TG, в (2) используется известная система уравнений, описывающая колебания оболочек вращения.

14
Астахов С.В. Нелинейные эффекты в динамике волнового твердотельного и микромеханического гироскопов в условиях медленно меняющихся параметров: дис. ... канд. техн. наук. М., 2012. 157 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5182
    Prefix
    К первой группе дефектов относятся: неоднородность распределения толщины оболочки, плотности, упругих и диссипативных свойств материала в окружном направлении. Влияние данной группы дефектов на расщепление частоты резонатора хорошо изучено
    Exact
    [3, 13-16]
    Suffix
    . Это связано с тем, что срединная поверхность оболочки с дефектами такого типа остается поверхностью вращения. В таком случае, для построения, как невозмущенных операторов (0)(0) TG,, так и возмущений (n)(n) TG, в (2) используется известная система уравнений, описывающая колебания оболочек вращения.

15
Донник А.С. Влияние геометрической неоднородности и упругой анизотропии материала на точностные характеристики волнового твердотельного гироскопа: дис. ... канд. техн. наук. М., 2006. 131 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5182
    Prefix
    К первой группе дефектов относятся: неоднородность распределения толщины оболочки, плотности, упругих и диссипативных свойств материала в окружном направлении. Влияние данной группы дефектов на расщепление частоты резонатора хорошо изучено
    Exact
    [3, 13-16]
    Suffix
    . Это связано с тем, что срединная поверхность оболочки с дефектами такого типа остается поверхностью вращения. В таком случае, для построения, как невозмущенных операторов (0)(0) TG,, так и возмущений (n)(n) TG, в (2) используется известная система уравнений, описывающая колебания оболочек вращения.

16
Лунин Б.С. Физико-химические основы разработки полусферических резонаторов волновых твердотельных гироскопов. М.: Изд-во МАИ, 2005. 224 c.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5182
    Prefix
    К первой группе дефектов относятся: неоднородность распределения толщины оболочки, плотности, упругих и диссипативных свойств материала в окружном направлении. Влияние данной группы дефектов на расщепление частоты резонатора хорошо изучено
    Exact
    [3, 13-16]
    Suffix
    . Это связано с тем, что срединная поверхность оболочки с дефектами такого типа остается поверхностью вращения. В таком случае, для построения, как невозмущенных операторов (0)(0) TG,, так и возмущений (n)(n) TG, в (2) используется известная система уравнений, описывающая колебания оболочек вращения.

17
Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. М.: Машиностроение, 1977. 488 c.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5537
    Prefix
    В таком случае, для построения, как невозмущенных операторов (0)(0) TG,, так и возмущений (n)(n) TG, в (2) используется известная система уравнений, описывающая колебания оболочек вращения. Эти уравнения имеют достаточно простой вид
    Exact
    [17]
    Suffix
    , возмущения операторов задачи (2) могут быть получены аналитически для достаточно широкого класса дефектов. В данной работе, влияние этой группы дефектов на расщепление не рассматривается. Ко второй группе дефектов относится собственно искажение срединной поверхности резонатора.

18
Heidari A., Chan M., Yang H., Jaramillo G., Taheri-Tehrani P., Fonda P., Najar H., Yamazaki K., Lin L., Horsley D. Hemispherical wineglass resonators fabricated from the microcrystalline diamond // Journal of Micromechanics and Microengineering, 2013, Vol. 23, no. 12, pp. 125016-23(8). DOI: 10.1088/0960-1317/23/12/125016
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5918
    Prefix
    В данной работе, влияние этой группы дефектов на расщепление не рассматривается. Ко второй группе дефектов относится собственно искажение срединной поверхности резонатора. В таких случаях, вопрос вычисления расщепления собственной частоты остается мало исследованным
    Exact
    [18]
    Suffix
    . Это связано с тем, что срединная поверхность оболочки перестает быть поверхностью вращения. В этом случае, задача (1) описывается уравнениями свободных колебаний общей теории оболочек. И хотя в задаче (2) для построения операторов (0)(0),TG и решения невозмущенной задачи используются уравнения динамики оболочек вращения, для построения возмущений операторов (n)(n),TG (n>0), уже приходится расс

19
Козубняк С.А. Расщепление собственных частот колебаний цилиндрического резонатора волнового твердотельного гироскопа, вызванное возмущением формы // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. No 3. C. 39–49. DOI: 10.18698/0236-3933-
Total in-text references: 5
  1. In-text reference with the coordinate start=7121
    Prefix
    В связи с этим, аналитическое вычисление возмущения собственного значения хотя бы первого порядка для конкретной оболочки с простой формой меридиана представляется авторам практически вряд ли возможным, даже в случае простейших возмущений геометрии. Возможно, единственным исключением является цилиндрическая оболочка с граничными условиями Навье
    Exact
    [19]
    Suffix
    . Применение метода конечных элементов (МКЭ) существенно облегчает задачу нахождения расщепления рассматриваемой частоты и устраняет необходимость построения возмущений операторов T и G. При использовании МКЭ задается реальная геометрия оболочки и вычисляются собственные частоты.

  2. In-text reference with the coordinate start=19541
    Prefix
    В качестве тестовых примеров, рассмотрены задачи нахождения расщепления первого порядка для некруговой цилиндрической оболочки и полусферической оболочки с простейшими возмущениями геометрии. Для цилиндрической оболочки проведено сравнение с теоретическим результатом, полученным в
    Exact
    [19]
    Suffix
    . Параметры конечно-элементных моделей, принятые при вычислении приведены в таблице 1. Таблица 1 – Параметры конечно-элементных моделей. Параметр Значение Число элементов вдоль меридиана 10 Число удерживаемых гармоник hN 4 Число точек интегрирования в меридиональном направлении 4 Число точек интегрирования в окружном направлении 20 Число элементов вдоль меридиана в AN

  3. In-text reference with the coordinate start=21666
    Prefix
    Таблица 4 – Расщепление частот цилиндрической и полусферической оболочек. Цилиндрическая оболочка Полусферическая оболочка , Гц (метод возмущений) , Гц (ANSYS) , Гц (теория
    Exact
    [19]
    Suffix
    ) , Гц (метод возмущений) , Гц (ANSYS) 23,854 23,859 23,856 0,16683 0,16672 , Гц (метод возмущений) , Гц (ANSYS) , Гц (теория [19]) , Гц (метод возмущений) , Гц (ANSYS) 7952,6 7953,5 - 654,0 652,7 (метод возмущений) (ANSYS) (теория [19])

  4. In-text reference with the coordinate start=21796
    Prefix
    Цилиндрическая оболочка Полусферическая оболочка , Гц (метод возмущений) , Гц (ANSYS) , Гц (теория [19]) , Гц (метод возмущений) , Гц (ANSYS) 23,854 23,859 23,856 0,16683 0,16672 , Гц (метод возмущений) , Гц (ANSYS) , Гц (теория
    Exact
    [19]
    Suffix
    ) , Гц (метод возмущений) , Гц (ANSYS) 7952,6 7953,5 - 654,0 652,7 (метод возмущений) (ANSYS) (теория [19]) (метод возмущений) (ANSYS) 0,003 0,003 0,003 0,000255 0,000255 На рисунках 4 и 5 показаны результаты влияния параметров конечно-элементно

  5. In-text reference with the coordinate start=21914
    Prefix
    [19]) , Гц (метод возмущений) , Гц (ANSYS) 23,854 23,859 23,856 0,16683 0,16672 , Гц (метод возмущений) , Гц (ANSYS) , Гц (теория [19]) , Гц (метод возмущений) , Гц (ANSYS) 7952,6 7953,5 - 654,0 652,7 (метод возмущений) (ANSYS) (теория
    Exact
    [19]
    Suffix
    ) (метод возмущений) (ANSYS) 0,003 0,003 0,003 0,000255 0,000255 На рисунках 4 и 5 показаны результаты влияния параметров конечно-элементной модели на значение расщепления при использовании метода возмущений.

20
5-3-39-49 20. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1973. 280 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=9148
    Prefix
    Таким образом, в зависимости от выбранного (0)2(1)q, будут получены различные и (1)2(1)q, определяемые ориентацией дефектов резонатора по отношению к (0)2(1)q. Аналогично для и (1)2(2)q в зависимости от (0) q2(2). Согласно свойствам отношения Рэлея
    Exact
    [12, 20]
    Suffix
    , необходимо выбрать такие (0) q2(1) и (0) q2(2), которые в первом приближении дают максимальное и минимальное значения (1)2l. Значения и отвечают расщепленным собственным частотам ()2maxf и ()2minf оболочки с дефектами.

21
Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1949. 618 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=9659
    Prefix
    Рисунок 1 – формы колебаний, отвечающие кратным собственным частотам резонатора без погрешностей Для определения и необходимо «приспособить» невозмущенные собственные векторы (0) q2(1) и (0) q2(2), отвечающие двукратному собственному значению , к возмущениям (1) K и (1) M
    Exact
    [21]
    Suffix
    . Для этого, представим собственный вектор (0)2q в более общем виде: (0)(0)(0) qqq21 2(1)2 2(2).CC=+ (7) После подстановки (7) в (5) для k=2, получаем: Неоднородная система уравнений (8) имеет ненулевое решение только в случае, если её правая часть ортогональна к решениям (0)2(1)q и (0)k(2)q однородной системы (4), отвечающим собственному числу , то есть когда: где {} T C=CC12

22
Нарайкин О.С., Сорокин Ф.Д., Козубняк С.А Расщепление собственных частот кольцевого резонатора твердотельного волнового гироскопа, вызванное возмущением формы / Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2012. No6. С. 176-185.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=12232
    Prefix
    Получим: Возмущение ()(2)2pq вычисляется решением системы (6), при условии его ортогональности собственным векторам() (0) q2p: Получение возмущения более высокого порядка аналогично процедуре получения . Основная часть возмущений собственного значения содержится в первом приближении . Однако, как было показано в многочисленных работах, например в
    Exact
    [22]
    Suffix
    , что если окружное волновое число равно k, то расщепление собственного значения , отвечающего числу k, вызывается только гармониками дефектов с номером 2k. Таким образом, в случае возникновения необходимости исследования влияния дефектов, распределенных в окружном направлении по гармоникам отличным от 2k, потребуется вычисление возмущения собственного значения как минимум второго порядка

23
Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций М.: Физматлит, 2006. 392 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=16239
    Prefix
    численной реализации метода, предлагается использовать для хранения всех возмущенных величин трехмерные массивы, и переопределить все используемые при построении конечного элемента математические операции. Пояснение данного подхода и удобство его использования продемонстрируем на построении матрицы масс элемента. Матрица масс конечного элемента оболочки выражается следующим образом
    Exact
    [23]
    Suffix
    : где ,ij – номера точки интегрирования по схеме Гаусса (рисунок 2); ijw – весовой коэффициент интегрирования по схеме Гаусса; – плотность материала оболочки; – координаты точки интегрирования; – толщина оболочки; – определитель первого метрического тензора оболочки.

24
Матвеев В.А., Басараб М.А., Лунин Б.С. Аппроксимация распределения плотности резонатора волнового твердотельного гироскопа по измеренным параметрам дебаланса // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2015. No10. С.9-16.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=25169
    Prefix
    расщепления частоты возможно использование как представленного в работе метода, так и программного комплекса ANSYS. 4) Небольшие искажения формы резонатора могут быть связаны с эффектами неоднородности толщины оболочки и поверхностной плотности материала. Вопросы устранения влияния дефектов такого вида (балансировка) применительно к цилиндрическому и полусферическому резонаторам рассмотрены в
    Exact
    [24-26]
    Suffix
    . Интерес в дальнейшем представляет учет совместного влияния как геометрических (профиль срединной поверхности, толщина), так и физических (плотность, модуль Юнга [27]) неоднородностей на динамику ВТГ, а также исследование возможностей взаимной компенсации этого влияния.

25
Басараб М.А., Лунин Б.С., Матвеев В.А., Чуманкин Е.А. Балансировка полусферических резонаторов волновых твердотельных гироскопов методом химического травления // Гироскопия и навигация. 2015. т.88, No1. С. 61-70.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=25169
    Prefix
    расщепления частоты возможно использование как представленного в работе метода, так и программного комплекса ANSYS. 4) Небольшие искажения формы резонатора могут быть связаны с эффектами неоднородности толщины оболочки и поверхностной плотности материала. Вопросы устранения влияния дефектов такого вида (балансировка) применительно к цилиндрическому и полусферическому резонаторам рассмотрены в
    Exact
    [24-26]
    Suffix
    . Интерес в дальнейшем представляет учет совместного влияния как геометрических (профиль срединной поверхности, толщина), так и физических (плотность, модуль Юнга [27]) неоднородностей на динамику ВТГ, а также исследование возможностей взаимной компенсации этого влияния.

26
Басараб М.А., Лунин Б.С., Матвеев В.А., Чуманкин Е.А. Статическая балансировка цилиндрических резонаторов волновых твердотельных гироскопов // Гироскопия и навигация. 2014. Т. 85, No2. С.43-51.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=25169
    Prefix
    расщепления частоты возможно использование как представленного в работе метода, так и программного комплекса ANSYS. 4) Небольшие искажения формы резонатора могут быть связаны с эффектами неоднородности толщины оболочки и поверхностной плотности материала. Вопросы устранения влияния дефектов такого вида (балансировка) применительно к цилиндрическому и полусферическому резонаторам рассмотрены в
    Exact
    [24-26]
    Suffix
    . Интерес в дальнейшем представляет учет совместного влияния как геометрических (профиль срединной поверхности, толщина), так и физических (плотность, модуль Юнга [27]) неоднородностей на динамику ВТГ, а также исследование возможностей взаимной компенсации этого влияния.

27
Chang Chia-Ou, Chang Guo-En, Chou Chan-Shin, et al. In-plane free vibration of a singlecrystal silicon ring // Int. Journal of Solids and Structures. 2008, vol. 45, pp.6114-6132. DOI:10.1016/j.ijsolstr.2008.07.033
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=25390
    Prefix
    Вопросы устранения влияния дефектов такого вида (балансировка) применительно к цилиндрическому и полусферическому резонаторам рассмотрены в [24-26]. Интерес в дальнейшем представляет учет совместного влияния как геометрических (профиль срединной поверхности, толщина), так и физических (плотность, модуль Юнга
    Exact
    [27]
    Suffix
    ) неоднородностей на динамику ВТГ, а также исследование возможностей взаимной компенсации этого влияния.