The 10 references with contexts in paper S. Solov’eva A., С. Соловьева А. (2016) “Специальный вариант метода моментов для интегральных уравнений Фредгольма второго рода // A Special Variant of the Moment Method for Fredholm Integral Equations of the Second Kind” / spz:neicon:technomag:y:2015:i:8:p:239-251

1
Zhong X.-C., Huang Q.-A. Approximate Solution of Three-Point Boundary Value Problems for Second-Order Ordinary Differential Equations with Variable Coefficients // Applied Mathematics and Computation. 2014. Vol. 247, no. 11. Рр. 18–29. DOI: 10.1016/j.amc.2014.08.076
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=1719
    Prefix
    Введение Рассмотрим линейное интегральное уравнение второго рода (УВР) )())(()())((tytKxtxtAx ])1,0[(It, (1) где  1 0 ()()(,)(),dssxstKtKx )()(),(),( ()2() KtsCIytCI mm  – известные функции, а )(tx C()()Im – искомая функция. Уравнения Фредгольма второго рода возникают во многих областях современной математики и ее приложений. В качестве иллюстрации можно привести работы
    Exact
    [1]
    Suffix
    –[5] и многие другие. Теория точных и приближенных методов решения УВР достаточно хорошо разработана. Полученные результаты можно найти, например, в справочных пособиях Иванова В.В., Верланя А.

5
Yilbas B.S., Al-Dweik A.Y., Mansoor S.B. Non-equilibrium Energy Transport in a Thin Metallic Film: Analytical Solution for Radiative Transport Equation // Physica B: Condensed Matter. 2014. Vol. 454, no. 12. P. 15–22. DOI: 10.1016/j.physb.2014.07.021
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=1723
    Prefix
    Введение Рассмотрим линейное интегральное уравнение второго рода (УВР) )())(()())((tytKxtxtAx ])1,0[(It, (1) где  1 0 ()()(,)(),dssxstKtKx )()(),(),( ()2() KtsCIytCI mm  – известные функции, а )(tx C()()Im – искомая функция. Уравнения Фредгольма второго рода возникают во многих областях современной математики и ее приложений. В качестве иллюстрации можно привести работы [1]–
    Exact
    [5]
    Suffix
    и многие другие. Теория точных и приближенных методов решения УВР достаточно хорошо разработана. Полученные результаты можно найти, например, в справочных пособиях Иванова В.В., Верланя А.

6
Габдулхаев Б.Г. Заметка об общей теории приближенных методов анализа // Уч ные записки Казан. гос. ун-та. Т. 125, кн. 2. Функциональный анализ и теория функций, сб. 3. Казань: КГУ, 1965. С. 18–31.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=2004
    Prefix
    Теория точных и приближенных методов решения УВР достаточно хорошо разработана. Полученные результаты можно найти, например, в справочных пособиях Иванова В.В., Верланя А.Ф. и Сизикова В.С. Однако установлено
    Exact
    [6]
    Suffix
    , что по норме пространства непрерывно дифференцируемых функций классические проекционные методы дают более низкую точность приближения, чем по норме пространства непрерывных функций. В работе [7] дано обоснование специального варианта метода коллокации решения уравнений вида (1) в указанном пространстве, и установлена его неулучшаемость по порядку.

7
Габбасов Н.С., Касакина И.П. К численному решению интегральных уравнений второго рода в классе гладких функций // Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 26–28 мая 2004 г.): тр. Ч. 3. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Самара: Изд-во СамГТУ, 2004. С. 48–51.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=2206
    Prefix
    Однако установлено [6], что по норме пространства непрерывно дифференцируемых функций классические проекционные методы дают более низкую точность приближения, чем по норме пространства непрерывных функций. В работе
    Exact
    [7]
    Suffix
    дано обоснование специального варианта метода коллокации решения уравнений вида (1) в указанном пространстве, и установлена его неулучшаемость по порядку. В статье [8] предложенные идеи применены для разработки варианта метода коллокации, основанного на интерполяционных многочленах Эрмита–Фейера.

  2. In-text reference with the coordinate start=2745
    Prefix
    В данной заметке разработан и теоретически обоснован в смысле [9, гл. 1] специальный вариант метода моментов решения уравнения (1) в пространстве гладких функций, при этом были использованы результаты и методы работ
    Exact
    [7]
    Suffix
    –[8], [10]–[13]. Более того, установлено, что построенный метод является оптимальным по порядку среди всевозможных полиномиальных прямых проекционных методов решения уравнения вида (1). Структура работы следующая.

8
Соловьева С.А. К вопросу о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода // Научно-технический вестник Поволжья. 2014. No 1. С. 37–40.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=2375
    Prefix
    установлено [6], что по норме пространства непрерывно дифференцируемых функций классические проекционные методы дают более низкую точность приближения, чем по норме пространства непрерывных функций. В работе [7] дано обоснование специального варианта метода коллокации решения уравнений вида (1) в указанном пространстве, и установлена его неулучшаемость по порядку. В статье
    Exact
    [8]
    Suffix
    предложенные идеи применены для разработки варианта метода коллокации, основанного на интерполяционных многочленах Эрмита–Фейера. В данной заметке разработан и теоретически обоснован в смысле [9, гл. 1] специальный вариант метода моментов решения уравнения (1) в пространстве гладких функций, при этом были использованы результаты и методы работ [7]–[8], [10]–[13].

  2. In-text reference with the coordinate start=2749
    Prefix
    В данной заметке разработан и теоретически обоснован в смысле [9, гл. 1] специальный вариант метода моментов решения уравнения (1) в пространстве гладких функций, при этом были использованы результаты и методы работ [7]–
    Exact
    [8]
    Suffix
    , [10]–[13]. Более того, установлено, что построенный метод является оптимальным по порядку среди всевозможных полиномиальных прямых проекционных методов решения уравнения вида (1). Структура работы следующая.

9
Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Издво КГУ, 1980. 232 с.
Total in-text references: 9
  1. In-text reference with the coordinate start=2586
    Prefix
    В статье [8] предложенные идеи применены для разработки варианта метода коллокации, основанного на интерполяционных многочленах Эрмита–Фейера. В данной заметке разработан и теоретически обоснован в смысле
    Exact
    [9, гл. 1]
    Suffix
    специальный вариант метода моментов решения уравнения (1) в пространстве гладких функций, при этом были использованы результаты и методы работ [7]–[8], [10]–[13]. Более того, установлено, что построенный метод является оптимальным по порядку среди всевозможных полиномиальных прямых проекционных методов решения уравнения вида (1).

  2. In-text reference with the coordinate start=3806
    Prefix
    Известно (например, [10]), что функции из Y имеют вид     1 0 ()() m i i yttcit, (3) где )())(()(YyYtJDyt,      t m tsφsds m Jφt 0 1 ()() (1)! 1 ()() )(C, !/)0()(iyñii (0,1)mi. При 0m возьмем φφJ. Кроме того, Y по норме (2) вложено в C и полно (например,
    Exact
    [9]
    Suffix
    ). Если Ystθ),( по переменной s равномерно относительно t, то будем писать, что θtsYs),(. Обозначим также через lH класс полиномов степени не выше l. При обосновании специального варианта метода моментов важную роль будет играть Лемма 1.

  3. In-text reference with the coordinate start=8105
    Prefix
    t n m i nCi t εnxθεczθ)()(1 1 0 1         . (18) Следовательно, из (16) и (18) получим                  εAAngEhEO m i ni t nYYn n n ()()ln 1 0 11. (19) Поскольку функции ),(sth (по t) и )(tgi)1,0(mi удовлетворяют условию ДиниЛипшица, то на основании теоремы Джексона (например, [14, с. 86]) получим, что ε()(1)()non. Поэтому из теоремы 7
    Exact
    [9, с.19]
    Suffix
    при всех n таких, что 1)(1nnεAq, следует непрерывная обратимость операторов nnnYYA: и ограниченность по норме обратных операторов: (1)(:) 1111 AnnnnnYYAqA . Правые части уравнений (13) и (14) в силу леммы 2 удовлетворяют условию  νyFyO(()ln).1nDyEn Y D n n  (20) Теперь благодаря неравенствам (19), (20) и теореме Джексона (например, [14, с. 86]) из теоремы 7 [9, с.

  4. In-text reference with the coordinate start=8477
    Prefix
    Правые части уравнений (13) и (14) в силу леммы 2 удовлетворяют условию  νyFyO(()ln).1nDyEn Y D n n  (20) Теперь благодаря неравенствам (19), (20) и теореме Джексона (например, [14, с. 86]) из теоремы 7
    Exact
    [9, с.19]
    Suffix
    следуют утверждения теоремы 1 с оценкой (12). Следствие 1. Пусть функции ),(sth (по t), )(tgi)1,0(mi, ))((tDy r раз непрерывно дифференцируемы на I и производные αLiptDytgtsth rr i r t)()(),(),ïî(),( ()()() (01)α.

  5. In-text reference with the coordinate start=9161
    Prefix
    Если УВР (1) обладает решением вида (3) при данной правой части yY и приближающий оператор AFA D nn имеет непрерывный обратный, то погрешность приближенного решения nnYx * для правой части nDnnYyFy можно представить в виде x**(()ln)*1nzEOxn nY . Доказательство. Поскольку AFADnn, то в силу теоремы 5
    Exact
    [9, гл. 1]
    Suffix
    имеем nY D xxnYnnxxAFAE))(( **1*   , (21) где E – единичный оператор в пространстве Y, а nx – пока неизвестный элемент, который выберем так, чтобы правая часть равенства (21) была минимальной, а именно, возьмем xYn такой, что *inf()*1* 1 xxxfExmn nYfHnYmnn   .

  6. In-text reference with the coordinate start=10392
    Prefix
    В условиях теоремы 1 справедливы утверждения: обобщенный метод моментов для уравнения (1) устойчив относительно малых возмущений элементов системы (11); если уравнение (1) хорошо обусловлено, то аппроксимирующее уравнение (14) тоже хорошо обусловлено. Доказательство следует из теорем 11, 13
    Exact
    [9, с. 23–25]
    Suffix
    с учетом того, что при выполнении условий теоремы 1 операторы, обратные к операторам nA, ограничены по норме в совокупности (хотя бы при достаточно больших n). 3. Оптимизация проекционных методов решения УВР Пусть Y – банахово пространство, а nY – его произвольное подпространство, dimYn )(nNN, причем ).(nN Пусть }{nn – совокупность линейных операторов nnYY:.

  7. In-text reference with the coordinate start=11141
    Prefix
    Рассмотрим классы линейных операторных уравнений, каждое из которых имеет одно и только одно решение: ),(YyxyAx , (22) ),,(NnXxyAxnnnnnnn . (23) Пусть, далее, Yx* и nnYx* – соответственно решения уравнений (22) и (23), а {}f – множество коэффициентов уравнения (22), которое порождает класс }{**xY искомых функций. Следуя
    Exact
    [9, с. 40]
    Suffix
    , величину );;(infinf)( NX,nnY VVY nnnn   , (24) где (;;)sup(;;)sup,** nnfnnx**XnX VYVfYxx  будем называть оптимальной оценкой погрешности всевозможных прямых проекционных методов )(nn решения уравнения (22) на классе .

  8. In-text reference with the coordinate start=11663
    Prefix
    Пусть существует пространство YYn 0 размерности )(nN и операторы 00 n:nYY )( 0 nn, при которых ).();;()(00NYVVnnN (25) Тогда метод (22)–(23) при 00,nnnnYY называется оптимальным по порядку на классе  среди всевозможных прямых проекционных методов )(nnn решения уравнений (22)
    Exact
    [9, с. 40]
    Suffix
    ). Рассмотрим оптимизацию на классе однозначно разрешимых (равномерно относительно K) УBР (1) при ),(stK (по t), y(){()|(;)()})()(ωfωICfHtrmrmrmω, где )(ωω – некоторый заданный модуль непрерывности, ,...2,1,0r Тогда имеем mr ω mr XxYAxyKtyHωH  *}),ïî(;|{ *** )( * ωω.

  9. In-text reference with the coordinate start=13243
    Prefix
    Имеем:  Y D n XyH n xH VNyFyxxrm nnmrnnω)2(*ω*)2( ()infsupinfsup** infsupinfsup, ω (2) ω (2)Cn CPDyH D n yH DyDFyDyFDy nnmrnnr   (28) где }{Ρ)2(nnP – множество алгебраических полиномиальных операторов 1:nnHCP, удовлетворяющих условию nnPP2 и обладающих свойством )(0)ω(1nnnPrn . Из леммы 2 ясно, что (2)(2) nnnnP. Так как (
    Exact
    [9, с. 171]
    Suffix
    ) nnndzPzrCn PzHrnn infsupω(1/)ln1 ω (2)   , (29) то из (28) и (29) получаем нижнюю оценку NNNdVrNln)/1(ω)(2. (30) Из соотношений (25), (27) и (30) следует утверждение теоремы с оценкой (26).

10
Габбасов Н.С. Коллокационный метод решения интегральных уравнений первого рода в классе обобщенных функций // Известия высших учебных заведений. Математика. 1993. No 2. С. 12–20.
Total in-text references: 4
  1. In-text reference with the coordinate start=2754
    Prefix
    В данной заметке разработан и теоретически обоснован в смысле [9, гл. 1] специальный вариант метода моментов решения уравнения (1) в пространстве гладких функций, при этом были использованы результаты и методы работ [7]–[8],
    Exact
    [10]
    Suffix
    –[13]. Более того, установлено, что построенный метод является оптимальным по порядку среди всевозможных полиномиальных прямых проекционных методов решения уравнения вида (1). Структура работы следующая.

  2. In-text reference with the coordinate start=3438
    Prefix
    Основное пространство Пусть )(ICC – класс функций, непрерывных на отрезке I, с чебышевской нормой. Через ()m YC )}0{(Nm будем обозначать пространство функций, имеющих непрерывную производную порядка m. Очевидно, что CC (0) . Следуя
    Exact
    [10]
    Suffix
    , введем в этом пространстве норму     1 0 ())0( m i i yYCyDy )(Yy, (2) где )()( () DφφtφY m . При 0m считаем, что yDy и CYyy. Известно (например, [10]), что функции из Y имеют вид     1 0 ()() m i i yttcit, (3) где )())(()(YyYtJDyt,      t m tsφsds m Jφt 0 1 ()() (1)! 1 ()() )(C, !/)0()(iyñii (0,1)mi.

  3. In-text reference with the coordinate start=3584
    Prefix
    Очевидно, что CC (0) . Следуя [10], введем в этом пространстве норму     1 0 ())0( m i i yYCyDy )(Yy, (2) где )()( () DφφtφY m . При 0m считаем, что yDy и CYyy. Известно (например,
    Exact
    [10]
    Suffix
    ), что функции из Y имеют вид     1 0 ()() m i i yttcit, (3) где )())(()(YyYtJDyt,      t m tsφsds m Jφt 0 1 ()() (1)! 1 ()() )(C, !/)0()(iyñii (0,1)mi. При 0m возьмем φφJ. Кроме того, Y по норме (2) вложено в C и полно (например, [9]).

  4. In-text reference with the coordinate start=5492
    Prefix
    Если Yy, то а) D n D (FnF); б) ;)1(ln 1 FnnN YHnm D n в) ;)(ln)(1YynDyEOyFyn Y D n г) E()()DyEynmn , где символ  означает слабую эквивалентность. Доказательство аналогично доказательству соответствующих результатов в
    Exact
    [10]
    Suffix
    – [12], при этом существенно используются соотношения (2), (3) и (6). 2. Обобщенный метод моментов Пусть исходные данные в УВР (1) удовлетворяют условиям )(),)((2ICstKDt, Yy, (9) а Yx – искомая функция вида (3).

12
Габбасов Н.С., Соловьева С.А. Обобщенный метод моментов для одного класса интегральных уравнений третьего рода // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, No 10. С. 1416–1423.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5497
    Prefix
    Если Yy, то а) D n D (FnF); б) ;)1(ln 1 FnnN YHnm D n в) ;)(ln)(1YynDyEOyFyn Y D n г) E()()DyEynmn , где символ  означает слабую эквивалентность. Доказательство аналогично доказательству соответствующих результатов в [10]–
    Exact
    [12]
    Suffix
    , при этом существенно используются соотношения (2), (3) и (6). 2. Обобщенный метод моментов Пусть исходные данные в УВР (1) удовлетворяют условиям )(),)((2ICstKDt, Yy, (9) а Yx – искомая функция вида (3).

13
Габдулхаев Б.Г. Некоторые вопросы приближенных методов // Уч ные записки Казан. гос. ун-та. Т. 128, кн. 5. Функциональный анализ и теория функций, сб. 5. Казань: КГУ, 1968. С. 20–29.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=2759
    Prefix
    В данной заметке разработан и теоретически обоснован в смысле [9, гл. 1] специальный вариант метода моментов решения уравнения (1) в пространстве гладких функций, при этом были использованы результаты и методы работ [7]–[8], [10]–
    Exact
    [13]
    Suffix
    . Более того, установлено, что построенный метод является оптимальным по порядку среди всевозможных полиномиальных прямых проекционных методов решения уравнения вида (1). Структура работы следующая.

  2. In-text reference with the coordinate start=9950
    Prefix
    Так как ÑÑ)0(, то при 0m уравнение (1) преобразуется в аналогичное уравнение в пространстве C, а предложенный в статье метод превращается в известный метод моментов, причем ),(),(stKsth, )()()(tytDy и оценка (12) хорошо согласуется с известной оценкой
    Exact
    [13]
    Suffix
    метода моментов решения уравнений второго рода в классе C. В заключение данного пункта отметим следующие важные для приложений факты. Теорема 3. В условиях теоремы 1 справедливы утверждения: обобщенный метод моментов для уравнения (1) устойчив относительно малых возмущений элементов системы (11); если уравнение (1) хорошо обусловлено, то аппроксимирующее уравнение (14) тоже хорошо об

14
Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. 184 с. Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 08, pp. 239–251.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=8043
    Prefix
    ()max()(,)()() 1 0 1   cθψtssdsi m i i),)(( 1 0 1 0 nY t n m i nCi t εnxθεczθ)()(1 1 0 1         . (18) Следовательно, из (16) и (18) получим                  εAAngEhEO m i ni t nYYn n n ()()ln 1 0 11. (19) Поскольку функции ),(sth (по t) и )(tgi)1,0(mi удовлетворяют условию ДиниЛипшица, то на основании теоремы Джексона (например,
    Exact
    [14, с. 86]
    Suffix
    ) получим, что ε()(1)()non. Поэтому из теоремы 7 [9, с.19] при всех n таких, что 1)(1nnεAq, следует непрерывная обратимость операторов nnnYYA: и ограниченность по норме обратных операторов: (1)(:) 1111 AnnnnnYYAqA .

  2. In-text reference with the coordinate start=8451
    Prefix
    Поэтому из теоремы 7 [9, с.19] при всех n таких, что 1)(1nnεAq, следует непрерывная обратимость операторов nnnYYA: и ограниченность по норме обратных операторов: (1)(:) 1111 AnnnnnYYAqA . Правые части уравнений (13) и (14) в силу леммы 2 удовлетворяют условию  νyFyO(()ln).1nDyEn Y D n n  (20) Теперь благодаря неравенствам (19), (20) и теореме Джексона (например,
    Exact
    [14, с. 86]
    Suffix
    ) из теоремы 7 [9, с.19] следуют утверждения теоремы 1 с оценкой (12). Следствие 1. Пусть функции ),(sth (по t), )(tgi)1,0(mi, ))((tDy r раз непрерывно дифференцируемы на I и производные αLiptDytgtsth rr i r t)()(),(),ïî(),( ()()() (01)α.

  3. In-text reference with the coordinate start=12597
    Prefix
    В соответствии с результатами пунктов 1 и 2 обобщенный метод моментов порождает проекционный оператор 00:nDnnYYF, причем в силу леммы 2 (2) n D Fn. Далее, учитывая теорему 2 и теорему Джексона (например,
    Exact
    [14, с. 86]
    Suffix
    ), последовательно получим:   ()(;;)sup(()ln) * 1 0*0 ** VVFYxxOEznn nxHnY D Nnrm ω )()ln)(()ln)((011yFAxFNNωNOnnωnODnnDnrr. (27) Для получения нижней оценки воспользуемся тем, что УВР (1) при 0),(stK принадлежит рассматриваемому классу однозначно разрешимых в пространстве Y уравнений.