The 20 references with contexts in paper A. Shevchenko S., I. Kiselev A., M. Biryukova M., S. Sokolov S., Yu. Berchun V., А. Шевченко С., И. Киселёв А., М. Бирюкова М., С. Соколов С., Ю. Берчун В. (2016) “Снижение неравномерности объемов хранения данных при разделении конечно-элеметных моделей на суперэлементы // Reducing Data Size Inequality during Finite Element Model Separation into Superelements” / spz:neicon:technomag:y:2015:i:6:p:249-266

1
Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. Vol. 1: The basis. ButterworthHeineman, 2000. 689 p.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=2074
    Prefix
    Решение задачи сводится к определению перемещений узлов сетки по степеням свободы (направлениям независимых перемещений, полностью определяющих положение узла) за счет решения системы уравнений равновесия для дискретной модели
    Exact
    [1]
    Suffix
    KqP. (*) Здесь K – матрица жесткости полной модели, составляется из матриц жесткости отдельных КЭ в процессе ансамблирования; q – вектор узловых перемещений в состоянии статического равновесия; P – вектор внешних узловых сил полной конечноэлементной модели.

  2. In-text reference with the coordinate start=11286
    Prefix
    индекс внутренних узлов; s – индекс граничных узлов; qi – вектор перемещений внутренних узлов; qs – вектор перемещений граничных узлов; Pi – вектор нагрузок, приложенных к внутренним узлам; Ps – вектор нагрузок, приложенных к граничным узлам. Для описания взаимодействия СЭ между собой и формирования следующих уровней суперэлементного разбиения (за счет процедуры ансамблирования
    Exact
    [1]
    Suffix
    ) используют модифицированные матрицы жесткости для граничных узлов , которые могут быть определены для каждого СЭ выражением 1 ksssiiiisKKKK     . (2) Подобное преобразование применяется и для вектора узловых сил 1 pssiiiiPKKP    . (3) Смысл преобразований (2), (3) состоит в исключении из СЛАУ (1) уравнений для внутренних узлов (называе

2
Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=2616
    Prefix
    СЛАУ (*) в силу топологии модели является существенно разреженной (заполнение ненулевыми элементами менее 1 %), симметричной и положительно определенной. Для ее решения используются итерационные (например, метод сопряженных градиентов
    Exact
    [2]
    Suffix
    ) или прямые методы (в первую очередь, метод Холецкого [3]). Одной из основных проблем применения прямых методов является существенное увеличение числа ненулевых элементов в процессе разложения матрицы K.

3
Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений: пер. с англ. М.: Мир, 1984. 333 с.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=2674
    Prefix
    СЛАУ (*) в силу топологии модели является существенно разреженной (заполнение ненулевыми элементами менее 1 %), симметричной и положительно определенной. Для ее решения используются итерационные (например, метод сопряженных градиентов [2]) или прямые методы (в первую очередь, метод Холецкого
    Exact
    [3]
    Suffix
    ). Одной из основных проблем применения прямых методов является существенное увеличение числа ненулевых элементов в процессе разложения матрицы K. С вычислительной точки зрения это приводит, главным образом, к избыточной потребности в оперативной памяти.

  2. In-text reference with the coordinate start=3602
    Prefix
    Для снижения ширины профиля матрицы (и, как следствие, уменьшения числа ненулевых элементов) применяют методы перестановки строк и столбцов, разработанные на основе теории графов, что фактически означает перенумерацию узлов исходной КЭ сетки. Широкое применение находит алгоритм Катхилла-Макки (Cuthill-McKee)
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Однако в случае, если объект моделирования имеет сложную геометрическую форму и требует подробной КЭ сетки, число уравнений СЛАУ (*) может составлять десятки миллионов и более. Вслед за размерностью задачи растут и требования к объему оперативной памяти.

  3. In-text reference with the coordinate start=16094
    Prefix
    Блок-схема алгоритма разделения по числу вершин Блок схема алгоритма разделения по объему хранения матриц СЭ приведена на рис. 2. Выделенная часть алгоритма описывает формирование одного СЭ. Рис. 2. Блок-схема алгоритма разделения по объему Перенумерация выполняется по алгоритму Катхилла-Макки (Cuthill–McKee
    Exact
    [3]
    Suffix
    ) для минимизации ширины ленты, объема хранения матрицы и времени решения СЛАУ методом Холецкого в процессе последующей обработки СЭ. 3. Исследование эффективности разбиения 3.1. Программная реализация Рассмотренные алгоритмы реализованы на языке С++ (компилятор Clang x86_64 версия 2.6 [17]) с использованием средств библиотек Qt (версия 5.1.1) [18] и STL (стандарт С++9

4
Qu Z. Model Order Reduction Techniques: with Applications in Finite Element Analysis. Springer London, 2004. P. 257-262.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=4306
    Prefix
    Преодоление проблемы размерности возможно за счет декомпозиции задачи. Одним из эффективных подходов к решению задач МКЭ высокой размерности является применение метода суперэлементов (МСЭ)
    Exact
    [4]
    Suffix
    . Задача выделения суперэлементов (СЭ) сводится к задаче разбиения графов. Для этого СЭ сетку представляют в виде графа, узлы которого соответствуют узлам сетки КЭ, а ребрами попарно связаны все вершины, относящиеся к одному КЭ.

  2. In-text reference with the coordinate start=10458
    Prefix
    Равновесие СЭ определенного уровня, как самостоятельной единицы, описывается через узловые параметры системой (1) вида аналогичного (*): ,,,KqP    . (1) Здесь  – номер уровня СЭ;  – порядковый номер СЭ для рассматриваемого уровня; K, – матрица жесткости СЭ; q, – вектор узловых перемещений СЭ; , P  – вектор узловых усилий СЭ
    Exact
    [4]
    Suffix
    . Размерность системы (1) существенно меньше размерности полной системы (*) и зависит от числа СЭ и уровней суперэлементного разбиения, на которые разделена исходная модель. За счет разделения узлов СЭ на внутренние и граничные (входящие более чем в один СЭ), его уравнение равновесия (1) может быть представлено в блочном виде iiisii sissss KKqP KKqP     

5
Karypis G., Kumar V. A fast and high quality multilevel scheme for partitioning irregular graphs. Philadelphia // SIAM Journal on Scientific Computing (SISC). 1999. Vol. 20, no. 1. P. 359-392.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=4738
    Prefix
    Задача выделения СЭ представляет собой проблему разделения графа на k частей и описывается следующим образом. Дан граф , где . Требуется разделить на подмножества , такие, что в случае , ,
    Exact
    [5]
    Suffix
    . В случае разделения конечно-элементной сетки на СЭ необходимо также учитывать, что КЭ должен входить в СЭ целиком даже если его отдельные узлы после разделения принадлежат разным СЭ.

  2. In-text reference with the coordinate start=6879
    Prefix
    Для решения задачи разделения графа разработано большое число алгоритмов, от достаточно простых, основанных на регулярном обходе графа (например, поиск в ширину [12]), до сложных, таких как спектральные алгоритмы [13], геометрические алгоритмы [14], алгоритмы многоуровневого деления графа
    Exact
    [5, 15]
    Suffix
    . Упомянутые выше алгоритмы изначально построены для разделения графа на близкие по числу вершин части. Это хорошо согласуется с рассмотренным классическим подходом к выбору характеристики, но при этом возникает вопрос об эффективности полученных разбиений с точки зрения трудоемкости последующих вычислений, так как в силу применяемых численных методов трудоемкость решен

6
Bichot C.E., Siarry P. Graph Partitioning: Optimisation and Applications. ISTE – Wiley, 2011. P. 13-16.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5495
    Prefix
    Примером такой характеристики можно считать число вершин или число ребер в выделенной части Данный тип разделения чаще всего используют для решения инженерных задач, требующих трудоемких вычислений
    Exact
    [6]
    Suffix
    . Цель безусловного разделения графа – минимизация числа ребер, пересекаемых границей между частями. Разделение данного типа широко используют при фрагментации изображений [7, 8], классификации текстов [9, 10], а также для решения некоторых специфических задач, таких как задача разделения воздушного пространства [11].

7
GdalyahuY.,Weinshall D.,WermanM. Self-organization in vision: stochastic clustering for image segmentation, perceptual grouping, and image database organization // IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 2001. Vol. 23, no. 10. P. 1053-1074. DOI: 10.1109/34.954598
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5674
    Prefix
    такой характеристики можно считать число вершин или число ребер в выделенной части Данный тип разделения чаще всего используют для решения инженерных задач, требующих трудоемких вычислений [6]. Цель безусловного разделения графа – минимизация числа ребер, пересекаемых границей между частями. Разделение данного типа широко используют при фрагментации изображений
    Exact
    [7, 8]
    Suffix
    , классификации текстов [9, 10], а также для решения некоторых специфических задач, таких как задача разделения воздушного пространства [11]. Задача о разделении КЭ модели на СЭ может быть поставлена, исходя как из целей безусловного, так и условного разбиений.

8
Martínez A.M., Mittrapiyanuruk P., Kak A.C. On combining graph-partitioning with nonparametric clustering for image segmentation // Computer Vision and Image Understanding. 2004. Vol. 95, no. 1. P. 72-85. DOI: 10.1016/j.cviu.2004.01.003
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5674
    Prefix
    такой характеристики можно считать число вершин или число ребер в выделенной части Данный тип разделения чаще всего используют для решения инженерных задач, требующих трудоемких вычислений [6]. Цель безусловного разделения графа – минимизация числа ребер, пересекаемых границей между частями. Разделение данного типа широко используют при фрагментации изображений
    Exact
    [7, 8]
    Suffix
    , классификации текстов [9, 10], а также для решения некоторых специфических задач, таких как задача разделения воздушного пространства [11]. Задача о разделении КЭ модели на СЭ может быть поставлена, исходя как из целей безусловного, так и условного разбиений.

9
Zhao Y., Karypis G. Empirical and theoretical comparisons of selected criterion functions for document clustering // Machine Learning. 2004. Vol. 55, no. 3. P. 311-331. DOI:
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5707
    Prefix
    Цель безусловного разделения графа – минимизация числа ребер, пересекаемых границей между частями. Разделение данного типа широко используют при фрагментации изображений [7, 8], классификации текстов
    Exact
    [9, 10]
    Suffix
    , а также для решения некоторых специфических задач, таких как задача разделения воздушного пространства [11]. Задача о разделении КЭ модели на СЭ может быть поставлена, исходя как из целей безусловного, так и условного разбиений.

10
1023/B:MAC H.0000027785.44527.d6 10. Bichot C.E. Co-clustering documents and words by minimizing the normalized cut objective function // Journal of Mathematical Modeling and Algorithms (JMMA). 2009. Vol. 9, no. 2. P. 131-147. DOI: 10.1007/s10852-010-9126-0
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5707
    Prefix
    Цель безусловного разделения графа – минимизация числа ребер, пересекаемых границей между частями. Разделение данного типа широко используют при фрагментации изображений [7, 8], классификации текстов
    Exact
    [9, 10]
    Suffix
    , а также для решения некоторых специфических задач, таких как задача разделения воздушного пространства [11]. Задача о разделении КЭ модели на СЭ может быть поставлена, исходя как из целей безусловного, так и условного разбиений.

11
Bichot C.E. Metaheuristics versus spectral and multilevel methods applied on an air traffic control problem // Proceedings of the 12th IFAC Symposium on Information Control Problems in Manufacturing (INCOM), May 2006. P. 493-498.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5823
    Prefix
    Разделение данного типа широко используют при фрагментации изображений [7, 8], классификации текстов [9, 10], а также для решения некоторых специфических задач, таких как задача разделения воздушного пространства
    Exact
    [11]
    Suffix
    . Задача о разделении КЭ модели на СЭ может быть поставлена, исходя как из целей безусловного, так и условного разбиений. Это зависит от приоритетов, которыми руководствуется разработчик КЭ комплекса.

12
Sedgewick R. Algorithms. 4th ed. Boston: Addison-Wesley Professional, 2011. 976 p.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=6744
    Prefix
    Очевидно, что это всегда величины одного порядка, поэтому далее будем говорить лишь о первом варианте. Для решения задачи разделения графа разработано большое число алгоритмов, от достаточно простых, основанных на регулярном обходе графа (например, поиск в ширину
    Exact
    [12]
    Suffix
    ), до сложных, таких как спектральные алгоритмы [13], геометрические алгоритмы [14], алгоритмы многоуровневого деления графа [5, 15]. Упомянутые выше алгоритмы изначально построены для разделения графа на близкие по числу вершин части.

  2. In-text reference with the coordinate start=14431
    Prefix
    Сравниваемых алгоритмы разбиения на СЭ Сравним два алгоритма автоматического разделения исходной сетки КЭ, в основе каждого из которых лежит формирование СЭ методом поиска в ширину (breadth-first search, BFS
    Exact
    [12]
    Suffix
    ), по критериям оценки качества разбиения на СЭ (п. 3.3). Этот метод был выбран как свободный от эвристик, что наиболее подходит для анализа на данном этапе исследований. Отличие алгоритмов состоит в использовании разных критериев окончания формирования СЭ.

13
Ng A.Y., Jordan M., Weiss Y. O n Spectral C lustering: Analysis and an Algorithm // Proc.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=6801
    Prefix
    Для решения задачи разделения графа разработано большое число алгоритмов, от достаточно простых, основанных на регулярном обходе графа (например, поиск в ширину [12]), до сложных, таких как спектральные алгоритмы
    Exact
    [13]
    Suffix
    , геометрические алгоритмы [14], алгоритмы многоуровневого деления графа [5, 15]. Упомянутые выше алгоритмы изначально построены для разделения графа на близкие по числу вершин части. Это хорошо согласуется с рассмотренным классическим подходом к выбору характеристики, но при этом возникает вопрос об эффективности полученных разбиений с точки зрения трудоемкости последующи

14
h Advances in Neural Information Processing Systems, 2001. P. 849-856. 14. Rosenberg A., Heath L. Graph Separators, with Applications. Springer US, 2002. 270 p. DOI: 10.1007/b115747
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=6833
    Prefix
    Для решения задачи разделения графа разработано большое число алгоритмов, от достаточно простых, основанных на регулярном обходе графа (например, поиск в ширину [12]), до сложных, таких как спектральные алгоритмы [13], геометрические алгоритмы
    Exact
    [14]
    Suffix
    , алгоритмы многоуровневого деления графа [5, 15]. Упомянутые выше алгоритмы изначально построены для разделения графа на близкие по числу вершин части. Это хорошо согласуется с рассмотренным классическим подходом к выбору характеристики, но при этом возникает вопрос об эффективности полученных разбиений с точки зрения трудоемкости последующих вычислений, так как в силу при

15
Dhillon I.S., Guan Y., Kulis B. Weighted graph cuts without eigenvectors: a multilevel approach // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 2007. Vol. 29, no. 11. P. 1944-1957. DOI: 10.1109/TPAMI.2007.1115
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=6879
    Prefix
    Для решения задачи разделения графа разработано большое число алгоритмов, от достаточно простых, основанных на регулярном обходе графа (например, поиск в ширину [12]), до сложных, таких как спектральные алгоритмы [13], геометрические алгоритмы [14], алгоритмы многоуровневого деления графа
    Exact
    [5, 15]
    Suffix
    . Упомянутые выше алгоритмы изначально построены для разделения графа на близкие по числу вершин части. Это хорошо согласуется с рассмотренным классическим подходом к выбору характеристики, но при этом возникает вопрос об эффективности полученных разбиений с точки зрения трудоемкости последующих вычислений, так как в силу применяемых численных методов трудоемкость решен

16
Watkins D.S. Fundamentals of matrix computations. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2002. P. 60-61.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=7542
    Prefix
    разбиений с точки зрения трудоемкости последующих вычислений, так как в силу применяемых численных методов трудоемкость решения СЛАУ для каждого СЭ зависит не только от размерности и заполнения ненулевыми элементами матрицы жесткости СЭ, но и от ширины ее профиля. В силу симметрии указанной матрицы в памяти компьютера ее целесообразно хранить в профильном виде
    Exact
    [16]
    Suffix
    , поэтому в качестве характеристики предлагается выбрать объем памяти, необходимый для хранения соответствующей структуры данных (для простоты определим его как «объем хранения матрицы»).

17
clang: a C language family frontend for LLVM: website. Режим доступа: http://clang.llvm.org (дата обращения 10.03.2015).
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=16392
    Prefix
    по объему Перенумерация выполняется по алгоритму Катхилла-Макки (Cuthill–McKee [3]) для минимизации ширины ленты, объема хранения матрицы и времени решения СЛАУ методом Холецкого в процессе последующей обработки СЭ. 3. Исследование эффективности разбиения 3.1. Программная реализация Рассмотренные алгоритмы реализованы на языке С++ (компилятор Clang x86_64 версия 2.6
    Exact
    [17]
    Suffix
    ) с использованием средств библиотек Qt (версия 5.1.1) [18] и STL (стандарт С++98 [19]). Визуализация результата проведена в программе ParaView (версия 4.2.0) [20]. 3.2. Модели для исследования эффективности разбиения Для исследования эффективности разработанных алгоритмов были использованы две конечно-элементные модели различной размерности, показанные на рис. 3, 4.

18
Qt: C ross-platform application & UI development framework: website. Режим доступа: http://www.qt.io (дата обращения 11.03.2015).
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=16456
    Prefix
    Исследование эффективности разбиения 3.1. Программная реализация Рассмотренные алгоритмы реализованы на языке С++ (компилятор Clang x86_64 версия 2.6 [17]) с использованием средств библиотек Qt (версия 5.1.1)
    Exact
    [18]
    Suffix
    и STL (стандарт С++98 [19]). Визуализация результата проведена в программе ParaView (версия 4.2.0) [20]. 3.2. Модели для исследования эффективности разбиения Для исследования эффективности разработанных алгоритмов были использованы две конечно-элементные модели различной размерности, показанные на рис. 3, 4.

19
JTC1/SC22/WG21 - The C++ Standards Committee – ISOCPP: official website. Режим доступа: http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/ (дата обращения 10.03.2015).
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=16483
    Prefix
    Программная реализация Рассмотренные алгоритмы реализованы на языке С++ (компилятор Clang x86_64 версия 2.6 [17]) с использованием средств библиотек Qt (версия 5.1.1) [18] и STL (стандарт С++98
    Exact
    [19]
    Suffix
    ). Визуализация результата проведена в программе ParaView (версия 4.2.0) [20]. 3.2. Модели для исследования эффективности разбиения Для исследования эффективности разработанных алгоритмов были использованы две конечно-элементные модели различной размерности, показанные на рис. 3, 4.

20
ParaView: website. Режим доступа: http://www.paraview.org (дата обращения 11.04.2015). Science and Education of the Bauman MSTU,
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=16560
    Prefix
    Программная реализация Рассмотренные алгоритмы реализованы на языке С++ (компилятор Clang x86_64 версия 2.6 [17]) с использованием средств библиотек Qt (версия 5.1.1) [18] и STL (стандарт С++98 [19]). Визуализация результата проведена в программе ParaView (версия 4.2.0)
    Exact
    [20]
    Suffix
    . 3.2. Модели для исследования эффективности разбиения Для исследования эффективности разработанных алгоритмов были использованы две конечно-элементные модели различной размерности, показанные на рис. 3, 4.