The 11 references with contexts in paper A. Stepanov V., А. Степанов В. (2016) “Развитие прямого метода Ляпунова для анализа динамической устойчивости системы синхронных генераторов на основе определения неустойчивых положений равновесия на многомерной сфере // A development of the direct Lyapunov method for the analysis of transient stability of a system of synchronous generators based on the determination of non- stable equilibria on a multidimensional sphere” / spz:neicon:technomag:y:2014:i:5:p:264-277

1
Павелла М. От общей теории Ляпунова к практическому прямому методу анализа динамической устойчивости энергосистем // Электричество. 2000. No 6. С. 14-26. tкз, с Vвозм Wcrit K, % 0,02 0,026 5,77 99 0,04 0,106 – 98 0,06 0,242 – 95 0,08 0,436 – 92 0,1 0,695 – 88 0,12 1,023 – 82 0,14 1,429 – 75 0,16 1,919 – 67 0,18 2,502 – 56 0,2 3,185 – 45 0,22 3,971 - 31 0,24 4,872 - 15 0,26 5,893 - -0,02
Total in-text references: 4
  1. In-text reference with the coordinate start=1940
    Prefix
    Это значение сравнивается с так называемым критическим значением функции Ляпунова, если значение функции Ляпунова для возмущенных значений переменных состояния больше критического значения, то принимается, что данное возмущение приведет к нарушению динамической устойчивости
    Exact
    [1-4]
    Suffix
    . Одной из проблем при использовании прямого метода Ляпунова является построение функции Ляпунова, наиболее полно отражающая свойства системы [1,5,6,7]. НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ Эл No ФС77 - 4 . Государственная регистрация No042 00025. 821112ISSN 1994-0408 э л е к т р о н н ы й н а у ч н о - т е х н и ч е с к и й ж у р н а л НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ.

  2. In-text reference with the coordinate start=2086
    Prefix
    так называемым критическим значением функции Ляпунова, если значение функции Ляпунова для возмущенных значений переменных состояния больше критического значения, то принимается, что данное возмущение приведет к нарушению динамической устойчивости [1-4]. Одной из проблем при использовании прямого метода Ляпунова является построение функции Ляпунова, наиболее полно отражающая свойства системы
    Exact
    [1,5,6,7]
    Suffix
    . НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ Эл No ФС77 - 4 . Государственная регистрация No042 00025. 821112ISSN 1994-0408 э л е к т р о н н ы й н а у ч н о - т е х н и ч е с к и й ж у р н а л НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ.

  3. In-text reference with the coordinate start=3013
    Prefix
    Попытка построить функцию на основе первого интеграла с учетом потерь в электрической цепи при передаче электрической энергии предпринята в работе [10], но для этого случая не выполняются условия, предъявляемые к функции Ляпунова, что не позволяет обосновать достоверность получаемых результатов. В работах
    Exact
    [1, 3]
    Suffix
    многомашинная система преобразуется к системе, содержащей один или два эквивалентных синхронных генератора, называемых одномашинным или двухмашинным эквивалентом. Параметры этих эквивалентных генераторов определяются из параметров системы и заданного возмущения.

  4. In-text reference with the coordinate start=5151
    Prefix
    Функция Ляпунова строится для математической модели системы, полученной для взаимных движений роторов синхронных генераторов относительно «центра углов», работающих на электрическую сеть с нагрузками, подключенными в узлах сети (рис. 1). В этом случае математическая модель имеет вид
    Exact
    [1, 2, 5]
    Suffix
    sin,,...,1,δδ * * 2 *2δ bEkknknkk Tc PTkk dt dk Tk   (1) ,0 1 нsinδδsinδδ    nm ln PbEUsnsbUUlslsslsnsnss (2) sn1,...,,mn     nm ln QbUEUsnsbUsslsnssnss 1 2sinδδ2 н ,,...,1,0δδlsinmnnssUlUsbsl (3)       nm sn Ps n k Pk 1 н() 1 , где ω*нTkTk, ,,...,1,θθδmnkckk.

2
Кузовкин В.А., Степанов А.В. Оценка запаса динамической устойчивости энергосистем прямым методом Ляпунова // Электричество. 2002. No 1. С. 2-8.
Total in-text references: 4
  1. In-text reference with the coordinate start=1940
    Prefix
    Это значение сравнивается с так называемым критическим значением функции Ляпунова, если значение функции Ляпунова для возмущенных значений переменных состояния больше критического значения, то принимается, что данное возмущение приведет к нарушению динамической устойчивости
    Exact
    [1-4]
    Suffix
    . Одной из проблем при использовании прямого метода Ляпунова является построение функции Ляпунова, наиболее полно отражающая свойства системы [1,5,6,7]. НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ Эл No ФС77 - 4 . Государственная регистрация No042 00025. 821112ISSN 1994-0408 э л е к т р о н н ы й н а у ч н о - т е х н и ч е с к и й ж у р н а л НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ.

  2. In-text reference with the coordinate start=4567
    Prefix
    Для определения неустойчивых положений равновесия и оценки запасов динамической устойчивости могут быть использованы траектории возмущенного движения, что требует многократного расчета траекторий при различных возмущениях
    Exact
    [2, 9]
    Suffix
    . В данной работе для сокращения вычислительных затрат и обеспечения надежности при определении неустойчивых положений равновесия, а затем вычислении критического значения функции Ляпунова предлагается метод, основанный на поиске минимума функции Ляпунова на многомерной сфере.

  3. In-text reference with the coordinate start=5151
    Prefix
    Функция Ляпунова строится для математической модели системы, полученной для взаимных движений роторов синхронных генераторов относительно «центра углов», работающих на электрическую сеть с нагрузками, подключенными в узлах сети (рис. 1). В этом случае математическая модель имеет вид
    Exact
    [1, 2, 5]
    Suffix
    sin,,...,1,δδ * * 2 *2δ bEkknknkk Tc PTkk dt dk Tk   (1) ,0 1 нsinδδsinδδ    nm ln PbEUsnsbUUlslsslsnsnss (2) sn1,...,,mn     nm ln QbUEUsnsbUsslsnssnss 1 2sinδδ2 н ,,...,1,0δδlsinmnnssUlUsbsl (3)       nm sn Ps n k Pk 1 н() 1 , где ω*нTkTk, ,,...,1,θθδmnkckk.

  4. In-text reference with the coordinate start=7941
    Prefix
    заданные функции фаз ЭДС генераторов относительно «центра углов», в общем виде функцию W(δ1, δ2, ..., δn) можно записать в виде            n k k TC WUPTkk 1 δ * δ(δ)* δ,(δ),н δ 1 δ 0 δ,δ,...,δsinδδ(δ,δ,..,δ)2121dk n k k bEUnkknnkkk  , (6) где δ,...,δ2,δ1δнmnnn – фазы напряжений в узлах сети. Если воспользоваться функцией Ляпунова для случая Pн(s) = const
    Exact
    [2, 10]
    Suffix
    , то функция WUmnUnUnmn,...,2,1,δ,...,δ2,δ1, заданная выражением (6), может быть представлена в явном виде                δ 1 cosδδ 1 δ 1 * * δ,s nm sn EUknkPнsknk n k kbk n kTc Tk WUPk                 nm sn nm ls lsbUssl nm sn Ul nm ls UbUsslnk n k bk 11 2 2 1 cosδδ 11 2 21 1     nm sn bUss 1 2 н .

3
Xue Y., Wehenkel L., Delhomme R., Rousseaux P., Pavella M., Euxibie E., Heikbronn B., Lesigne J.-F. Extended equal area criterion revisited [EHV power systems] // IEEE Transactions on Power Systems. 1992. Vol. 7, no. 3. P. 1012-1021. DOI: 10.1109/59.207314
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=1940
    Prefix
    Это значение сравнивается с так называемым критическим значением функции Ляпунова, если значение функции Ляпунова для возмущенных значений переменных состояния больше критического значения, то принимается, что данное возмущение приведет к нарушению динамической устойчивости
    Exact
    [1-4]
    Suffix
    . Одной из проблем при использовании прямого метода Ляпунова является построение функции Ляпунова, наиболее полно отражающая свойства системы [1,5,6,7]. НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ Эл No ФС77 - 4 . Государственная регистрация No042 00025. 821112ISSN 1994-0408 э л е к т р о н н ы й н а у ч н о - т е х н и ч е с к и й ж у р н а л НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ.

  2. In-text reference with the coordinate start=3013
    Prefix
    Попытка построить функцию на основе первого интеграла с учетом потерь в электрической цепи при передаче электрической энергии предпринята в работе [10], но для этого случая не выполняются условия, предъявляемые к функции Ляпунова, что не позволяет обосновать достоверность получаемых результатов. В работах
    Exact
    [1, 3]
    Suffix
    многомашинная система преобразуется к системе, содержащей один или два эквивалентных синхронных генератора, называемых одномашинным или двухмашинным эквивалентом. Параметры этих эквивалентных генераторов определяются из параметров системы и заданного возмущения.

4
Komurcugil H., Kukrer O. Lyapunov-based control strategy for power-factor preregulators // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. 2003. Vol. 50, iss. 9. P. 1226-1229. DOI: 10.1109/TCSI.2003.816324
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=1940
    Prefix
    Это значение сравнивается с так называемым критическим значением функции Ляпунова, если значение функции Ляпунова для возмущенных значений переменных состояния больше критического значения, то принимается, что данное возмущение приведет к нарушению динамической устойчивости
    Exact
    [1-4]
    Suffix
    . Одной из проблем при использовании прямого метода Ляпунова является построение функции Ляпунова, наиболее полно отражающая свойства системы [1,5,6,7]. НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ Эл No ФС77 - 4 . Государственная регистрация No042 00025. 821112ISSN 1994-0408 э л е к т р о н н ы й н а у ч н о - т е х н и ч е с к и й ж у р н а л НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ.

  2. In-text reference with the coordinate start=2534
    Prefix
    Государственная регистрация No042 00025. 821112ISSN 1994-0408 э л е к т р о н н ы й н а у ч н о - т е х н и ч е с к и й ж у р н а л НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н.Э. БАУМАНА Широкое распространение при анализе динамической устойчивости получила функция Ляпунова энергетического типа [1. 2], позволяющая получать наиболее достоверные результаты. В работе
    Exact
    [4]
    Suffix
    предлагается метод, позволяющий с использованием функции Ляпунова управлять коэффициентом мощности для обеспечения динамической устойчивости при изменениях нагрузки. Попытка построить функцию на основе первого интеграла с учетом потерь в электрической цепи при передаче электрической энергии предпринята в работе [10], но для этого случая не выполняются условия, предъявляемые к функции Ляпунова,

5
Bergen A.R., Hill D.J., DeMarcot C.L. Lyapunov function for multimachine power systems with generator flux decay and voltage dependent loads // International Journal of Electrical Power & Energy Systems. 1986. Vol. 8, no. 1. P. 2-10. DOI: 10.1016/0142-0615(86)900190
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=2086
    Prefix
    так называемым критическим значением функции Ляпунова, если значение функции Ляпунова для возмущенных значений переменных состояния больше критического значения, то принимается, что данное возмущение приведет к нарушению динамической устойчивости [1-4]. Одной из проблем при использовании прямого метода Ляпунова является построение функции Ляпунова, наиболее полно отражающая свойства системы
    Exact
    [1,5,6,7]
    Suffix
    . НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ Эл No ФС77 - 4 . Государственная регистрация No042 00025. 821112ISSN 1994-0408 э л е к т р о н н ы й н а у ч н о - т е х н и ч е с к и й ж у р н а л НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ.

  2. In-text reference with the coordinate start=5151
    Prefix
    Функция Ляпунова строится для математической модели системы, полученной для взаимных движений роторов синхронных генераторов относительно «центра углов», работающих на электрическую сеть с нагрузками, подключенными в узлах сети (рис. 1). В этом случае математическая модель имеет вид
    Exact
    [1, 2, 5]
    Suffix
    sin,,...,1,δδ * * 2 *2δ bEkknknkk Tc PTkk dt dk Tk   (1) ,0 1 нsinδδsinδδ    nm ln PbEUsnsbUUlslsslsnsnss (2) sn1,...,,mn     nm ln QbUEUsnsbUsslsnssnss 1 2sinδδ2 н ,,...,1,0δδlsinmnnssUlUsbsl (3)       nm sn Ps n k Pk 1 н() 1 , где ω*нTkTk, ,,...,1,θθδmnkckk.

6
Anghel M., Milano F., Papachristodoulou A. Algorithmic Construction of Lyapunov Functions for Power System Stability Analysis // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. 2013. Vol. 60, iss. 9. P. 2533-2546. DOI: 10.1109/TCSI.2013.2246233
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=2086
    Prefix
    так называемым критическим значением функции Ляпунова, если значение функции Ляпунова для возмущенных значений переменных состояния больше критического значения, то принимается, что данное возмущение приведет к нарушению динамической устойчивости [1-4]. Одной из проблем при использовании прямого метода Ляпунова является построение функции Ляпунова, наиболее полно отражающая свойства системы
    Exact
    [1,5,6,7]
    Suffix
    . НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ Эл No ФС77 - 4 . Государственная регистрация No042 00025. 821112ISSN 1994-0408 э л е к т р о н н ы й н а у ч н о - т е х н и ч е с к и й ж у р н а л НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ.

  2. In-text reference with the coordinate start=3535
    Prefix
    Анализ динамической устойчивости одномашинного или двухмашинного эквивалента производится методом площадей. Этот метод существенно упрощает анализ динамической устойчивости, однако достоверность получаемых результатов остается под вопросом. В работе
    Exact
    [6]
    Suffix
    уравнения многомашинной системы преобразуется к системе с полиномиальными нелинейностями, что несколько упрощает анализ динамической устойчивости, однако требует сложных алгебраических преобразований.

  3. In-text reference with the coordinate start=7278
    Prefix
    роторов синхронных генераторов энергетического типа состоит из двух составляющих: δ',...,δ'2,δ'1nK – слагаемое, которое зависит от производных фаз ЭДС роторов синхронных генераторов; W(δ1, δ2, ..., δn) – слагаемое зависящее от значений фаз ЭДС генераторов. Функция Ляпунова имеет вид Vδ,...,δ1δ',...,δ'1δ,...,δ1,δ',...,δ'1nWnKnn. (4) Функция 'K может быть представлена в виде
    Exact
    [11,8,6]
    Suffix
    δ' *2 12 1 δ'kTk n k K  . (5) В дальнейшем вектор переменных будем обозначать δ,...,δ2,δ1δn – фазы ЭДС генераторов, δ',...,δ'2,δ'1δ'n – производные фаз генераторов. Тогда, учитывая (4), (5), можно записатьδδ'δ,δ'WKV.

7
Silva F.H.J.R., Alberto L.F.C., London Jr. J.B.A., Bretas N.G. Smooth perturbation on a classical energy function for lossy power system stability analysis // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. 2005. Vol. 52, iss. 1. P. 222-229. DOI: 10.1109/TCSI.2004.840090
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=2086
    Prefix
    так называемым критическим значением функции Ляпунова, если значение функции Ляпунова для возмущенных значений переменных состояния больше критического значения, то принимается, что данное возмущение приведет к нарушению динамической устойчивости [1-4]. Одной из проблем при использовании прямого метода Ляпунова является построение функции Ляпунова, наиболее полно отражающая свойства системы
    Exact
    [1,5,6,7]
    Suffix
    . НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ Эл No ФС77 - 4 . Государственная регистрация No042 00025. 821112ISSN 1994-0408 э л е к т р о н н ы й н а у ч н о - т е х н и ч е с к и й ж у р н а л НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ.

8
Jaewook Lee. Dynamic gradient approaches to compute the closest unstable equilibrium point for stability region estimate and their computational limitations // IEEE Transactions on Automatic Control. 2003. Vol. 48, iss. 2. P. 321-324. DOI: 10.1109/TAC.2002.808492
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=4339
    Prefix
    Минимальное из значений функции Ляпунова, вычисленных в неустойчивых положениях равновесия, принимается за критическое значение. Трудности, возникающие при поиске неустойчивых точек равновесия градиентными методами отмечены в работе
    Exact
    [8]
    Suffix
    . Для определения неустойчивых положений равновесия и оценки запасов динамической устойчивости могут быть использованы траектории возмущенного движения, что требует многократного расчета траекторий при различных возмущениях [2, 9].

  2. In-text reference with the coordinate start=7278
    Prefix
    роторов синхронных генераторов энергетического типа состоит из двух составляющих: δ',...,δ'2,δ'1nK – слагаемое, которое зависит от производных фаз ЭДС роторов синхронных генераторов; W(δ1, δ2, ..., δn) – слагаемое зависящее от значений фаз ЭДС генераторов. Функция Ляпунова имеет вид Vδ,...,δ1δ',...,δ'1δ,...,δ1,δ',...,δ'1nWnKnn. (4) Функция 'K может быть представлена в виде
    Exact
    [11,8,6]
    Suffix
    δ' *2 12 1 δ'kTk n k K  . (5) В дальнейшем вектор переменных будем обозначать δ,...,δ2,δ1δn – фазы ЭДС генераторов, δ',...,δ'2,δ'1δ'n – производные фаз генераторов. Тогда, учитывая (4), (5), можно записатьδδ'δ,δ'WKV.

  3. In-text reference with the coordinate start=17299
    Prefix
    : tкз – время отключения КЗ, Vвозм – значение функции Ляпунова в момент отключения возмущения, Wcrit – критическое значение функции Ляпунова, K =(Wcrit – Vвозм)/ Wcrit 100% – запас динамической устойчивости. Следует отметить, что при использовании этого метода определяется минимум функции на многомерной сфере, а не неустойчивое положение равновесия, которое, как показано в
    Exact
    [8]
    Suffix
    , не может быть найдено градиентными методами. Эксперименты показали сходимость итерационного процесса к неустойчивому положению равновесия при различных значениях шага по радиусу. Таким образом, метод может быть рекомендован для анализа и оценки запаса динамической устойчивости при проектировании системы противоаварийного автоматического управления синхронными генераторами и производить более о

9
Avramenko V.N. Power system stability assessment for current states of the system // 2005 IEEE Russia Power Tech. 2005. P. 1-6. DOI: 10.1109/PTC.2005.4524394
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=4567
    Prefix
    Для определения неустойчивых положений равновесия и оценки запасов динамической устойчивости могут быть использованы траектории возмущенного движения, что требует многократного расчета траекторий при различных возмущениях
    Exact
    [2, 9]
    Suffix
    . В данной работе для сокращения вычислительных затрат и обеспечения надежности при определении неустойчивых положений равновесия, а затем вычислении критического значения функции Ляпунова предлагается метод, основанный на поиске минимума функции Ляпунова на многомерной сфере.

10
Grujic Lj.T., Martynyuk A.A., Ribbens-Pavella M. Large Scale Systems Stability under Structural and Singular Perturbations. Berlin: Springer-Verlag, 1987. 366 p. DOI: 10.1007/BFb0006850
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=2853
    Prefix
    В работе [4] предлагается метод, позволяющий с использованием функции Ляпунова управлять коэффициентом мощности для обеспечения динамической устойчивости при изменениях нагрузки. Попытка построить функцию на основе первого интеграла с учетом потерь в электрической цепи при передаче электрической энергии предпринята в работе
    Exact
    [10]
    Suffix
    , но для этого случая не выполняются условия, предъявляемые к функции Ляпунова, что не позволяет обосновать достоверность получаемых результатов. В работах [1, 3] многомашинная система преобразуется к системе, содержащей один или два эквивалентных синхронных генератора, называемых одномашинным или двухмашинным эквивалентом.

  2. In-text reference with the coordinate start=7941
    Prefix
    заданные функции фаз ЭДС генераторов относительно «центра углов», в общем виде функцию W(δ1, δ2, ..., δn) можно записать в виде            n k k TC WUPTkk 1 δ * δ(δ)* δ,(δ),н δ 1 δ 0 δ,δ,...,δsinδδ(δ,δ,..,δ)2121dk n k k bEUnkknnkkk  , (6) где δ,...,δ2,δ1δнmnnn – фазы напряжений в узлах сети. Если воспользоваться функцией Ляпунова для случая Pн(s) = const
    Exact
    [2, 10]
    Suffix
    , то функция WUmnUnUnmn,...,2,1,δ,...,δ2,δ1, заданная выражением (6), может быть представлена в явном виде                δ 1 cosδδ 1 δ 1 * * δ,s nm sn EUknkPнsknk n k kbk n kTc Tk WUPk                 nm sn nm ls lsbUssl nm sn Ul nm ls UbUsslnk n k bk 11 2 2 1 cosδδ 11 2 21 1     nm sn bUss 1 2 н .

11
Бахвалов Н.С. Численные методы. М. Наука, 1973. 631 с. A development of the direct Lyapunov method for the analysis of
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=7278
    Prefix
    роторов синхронных генераторов энергетического типа состоит из двух составляющих: δ',...,δ'2,δ'1nK – слагаемое, которое зависит от производных фаз ЭДС роторов синхронных генераторов; W(δ1, δ2, ..., δn) – слагаемое зависящее от значений фаз ЭДС генераторов. Функция Ляпунова имеет вид Vδ,...,δ1δ',...,δ'1δ,...,δ1,δ',...,δ'1nWnKnn. (4) Функция 'K может быть представлена в виде
    Exact
    [11,8,6]
    Suffix
    δ' *2 12 1 δ'kTk n k K  . (5) В дальнейшем вектор переменных будем обозначать δ,...,δ2,δ1δn – фазы ЭДС генераторов, δ',...,δ'2,δ'1δ'n – производные фаз генераторов. Тогда, учитывая (4), (5), можно записатьδδ'δ,δ'WKV.

  2. In-text reference with the coordinate start=12434
    Prefix
    δδ*a 2 ρ20 λ. (12) Тогда координаты точки на многомерной сфере соответственно равны rk kkkδ δδδ*aa (0). (13) Эта точка используется как начальное приближение для вычисления экстремума (минимума) функции δW на многомерной сфере, условием которого являются уравнения (10). Для нахождения минимума функции δW на многомерной сфере используем модифицированный метод покоординатного спуска
    Exact
    [11]
    Suffix
    . Для начального приближения δsn,...,δs δ,2 s δ1 s выбирается переменная δ i , остальные переменные принимаются неизменными. В этом случае функция W(δ) является функцией этой переменной. Для этой переменной δiзадается приращение di.