The 22 references with contexts in paper A. Krasinskii Ya., E. Krasinskaya M., А. Красинский Я., Э. Красинская М. (2016) “Моделирование динамики стенда GBB 1005 BALL&Beam как управляемой механической системы с избыточной координатой // Modeling of the dynamics of GBB1005 Ball & Beam Educational Control System as a controlled mechanical system with a redundant coordinate” / spz:neicon:technomag:y:2014:i:1:p:282-299

1
Aguilar-Ibanez С., Suarez-Castanon M.S., de Jesu ́ s Rubio J. Stabilization of the Ball on the Beam System by Means of the Inverse Lyapunov Approach // Mathematical Problems in Engineering.
Total in-text references: 7
  1. In-text reference with the coordinate start=634
    Prefix
    Баумана krasinsk@mail.ru kesm40@inbox.ru Введение Учебно-лабораторный стенд BALL&BEAM, благодаря доступности понимания принципа действия и простоте устройства для применения в лаборатории - популярная, широко распространенная во всем мире
    Exact
    [1]
    Suffix
    нелинейная управляемая система. Эта установка является неустойчивой (при отсутствии управления) системой, а, как известно [2], исследование задач управления движением именно неустойчивых объектов является одним из наиболее актуальных направлений современной теории управления.

  2. In-text reference with the coordinate start=983
    Prefix
    Эта установка является неустойчивой (при отсутствии управления) системой, а, как известно [2], исследование задач управления движением именно неустойчивых объектов является одним из наиболее актуальных направлений современной теории управления. Но широкое использование таких стендов
    Exact
    [1]
    Suffix
    объясняется не только простотой их применения, как реальных устройств для тестирования эффективности законов управления, предлагаемых современной теорией управления. Большое значение для широкого распространения устройств такого типа связано и с тем обстоятельством, что при их функционировании отсутствует опасность, которая обычно сопровождает [1] использование в ла

  3. In-text reference with the coordinate start=1359
    Prefix
    таких стендов [1] объясняется не только простотой их применения, как реальных устройств для тестирования эффективности законов управления, предлагаемых современной теорией управления. Большое значение для широкого распространения устройств такого типа связано и с тем обстоятельством, что при их функционировании отсутствует опасность, которая обычно сопровождает
    Exact
    [1]
    Suffix
    использование в лаборатории реальных неустойчивых систем. Вместе с тем, несмотря на многочисленные публикации по исследованию динамики систем, содержащих в своем составе шарик и желоб (большой библиографический список имеется, кроме [1], напр., в [3,4]), рассмотрение таких задач далеко от завершения.

  4. In-text reference with the coordinate start=1596
    Prefix
    устройств такого типа связано и с тем обстоятельством, что при их функционировании отсутствует опасность, которая обычно сопровождает [1] использование в лаборатории реальных неустойчивых систем. Вместе с тем, несмотря на многочисленные публикации по исследованию динамики систем, содержащих в своем составе шарик и желоб (большой библиографический список имеется, кроме
    Exact
    [1]
    Suffix
    , напр., в [3,4]), рассмотрение таких задач далеко от завершения. Это связано с тем, что в большинстве работ [3,4,10,11,12], кроме [5], при получении математической модели систем Ball & Beam, в которых угол наклона желоба меняется за счет поворота колеса( связанного с ним некоторым стержнем), так или иначе, без всякого обоснования используется линеаризаци

  5. In-text reference with the coordinate start=2397
    Prefix
    Поэтому используемые в таких работах математические модели механической компоненты (систем такой конструкции) являются неточными, что имеет принципиальное значение, особенно [6,7], при исследовании их устойчивости. Кроме того, в большей части работ, в которых предпринимаются (см., напр.,
    Exact
    [1]
    Suffix
    ) попытки сравнительного анализа полученных по данной проблеме результатов, вообще не уделяется внимания точности и строгости применяемых математических моделей механических компонент таких мехатронных систем.

  6. In-text reference with the coordinate start=2633
    Prefix
    Кроме того, в большей части работ, в которых предпринимаются (см., напр., [1]) попытки сравнительного анализа полученных по данной проблеме результатов, вообще не уделяется внимания точности и строгости применяемых математических моделей механических компонент таких мехатронных систем. Сравниваются
    Exact
    [1]
    Suffix
    только типы законов управления и применяемые для их формирования методы, в то время как анализируются системы принципиально разной конструкции и с разной размерностью фазового пространства механической компоненты и, соответственно, с различной степенью строгости математических моделей.

  7. In-text reference with the coordinate start=3077
    Prefix
    для их формирования методы, в то время как анализируются системы принципиально разной конструкции и с разной размерностью фазового пространства механической компоненты и, соответственно, с различной степенью строгости математических моделей. Например, сравниваются законы управления как для систем с совершенно строгой моделью в виде уравнений Лагранжа второго рода
    Exact
    [1,8,9]
    Suffix
    для конструкции, когда желоб наклоняется за счет поворота вала приводного двигателя без всякого стержня (при отсутствии нелинейной геометрической связи), так и для систем [3,4,10,11,12] при наличии нелинейной геометрической связи.

2
12. Vol. 2012. Article ID 810597, 13 pages. DOI: 10.1155/2012/810597 2. Формальский А.М. Управление движением неустойчивых объектов. М.: Физматлит, 2013. 232 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=778
    Prefix
    @mail.ru kesm40@inbox.ru Введение Учебно-лабораторный стенд BALL&BEAM, благодаря доступности понимания принципа действия и простоте устройства для применения в лаборатории - популярная, широко распространенная во всем мире [1] нелинейная управляемая система. Эта установка является неустойчивой (при отсутствии управления) системой, а, как известно
    Exact
    [2]
    Suffix
    , исследование задач управления движением именно неустойчивых объектов является одним из наиболее актуальных направлений современной теории управления. Но широкое использование таких стендов [1] объясняется не только простотой их применения, как реальных устройств для тестирования эффективности законов управления, предлагаемых современной теорией управления.

3
Min-Sung Koo, Ho-Lim Choi, Jong-Tae Lim Adaptive nonlinear control of a ball and beam system using centrifugal force term // International Journal of Innovative Computing, Information and Control. 2012. Vol. 8, no. 9. P. 5999-6009.
Total in-text references: 4
  1. In-text reference with the coordinate start=1615
    Prefix
    такого типа связано и с тем обстоятельством, что при их функционировании отсутствует опасность, которая обычно сопровождает [1] использование в лаборатории реальных неустойчивых систем. Вместе с тем, несмотря на многочисленные публикации по исследованию динамики систем, содержащих в своем составе шарик и желоб (большой библиографический список имеется, кроме [1], напр., в
    Exact
    [3,4]
    Suffix
    ), рассмотрение таких задач далеко от завершения. Это связано с тем, что в большинстве работ [3,4,10,11,12], кроме [5], при получении математической модели систем Ball & Beam, в которых угол наклона желоба меняется за счет поворота колеса( связанного с ним некоторым стержнем), так или иначе, без всякого обоснования используется линеаризация сложной нелинейн

  2. In-text reference with the coordinate start=1725
    Prefix
    Вместе с тем, несмотря на многочисленные публикации по исследованию динамики систем, содержащих в своем составе шарик и желоб (большой библиографический список имеется, кроме [1], напр., в [3,4]), рассмотрение таких задач далеко от завершения. Это связано с тем, что в большинстве работ
    Exact
    [3,4,10,11,12]
    Suffix
    , кроме [5], при получении математической модели систем Ball & Beam, в которых угол наклона желоба меняется за счет поворота колеса( связанного с ним некоторым стержнем), так или иначе, без всякого обоснования используется линеаризация сложной нелинейной геометрической связи.

  3. In-text reference with the coordinate start=3262
    Prefix
    Например, сравниваются законы управления как для систем с совершенно строгой моделью в виде уравнений Лагранжа второго рода [1,8,9] для конструкции, когда желоб наклоняется за счет поворота вала приводного двигателя без всякого стержня (при отсутствии нелинейной геометрической связи), так и для систем
    Exact
    [3,4,10,11,12]
    Suffix
    при наличии нелинейной геометрической связи. А для систем такого вида уравнения Лагранжа второго рода в общем случае неприменимы [6,7] потому, что используемые координаты не являются независимыми.

  4. In-text reference with the coordinate start=6972
    Prefix
    геометрическая связь - расстояние между точками А и В постоянно: () () 222 xxyylBABA=−+− Аналитически эта связь выражается нелинейным тригонометрическим уравнением () ()() ()2 22 Lcos11cossinsinldlLd=−++−+−θαθα (1) где ОА =L, AB =l , d – радиус колеса. В системе GBB 1005 при 0=αи 0=θ, рычаг АВ вертикален. В большинстве работ
    Exact
    [3,4,10,11,12 ]
    Suffix
    по исследованию динамики систем такой конструкции применяется одна и та же необоснованно упрощенная модель - вместо полной нелинейной связи принимается линейная зависимость между углами    α=θ L d .

4
Keshmiri M., Jahromi A.F., Mohebbi A., Amoozgar M.H., Wen-Fang Xie. Modeling and control of ball and beam system using model based and non-model based control approaches // International Journal on Smart Sensing and Intelligent Systems. 2012. Vol. 5, no. 1. P. 14-35.
Total in-text references: 5
  1. In-text reference with the coordinate start=1615
    Prefix
    такого типа связано и с тем обстоятельством, что при их функционировании отсутствует опасность, которая обычно сопровождает [1] использование в лаборатории реальных неустойчивых систем. Вместе с тем, несмотря на многочисленные публикации по исследованию динамики систем, содержащих в своем составе шарик и желоб (большой библиографический список имеется, кроме [1], напр., в
    Exact
    [3,4]
    Suffix
    ), рассмотрение таких задач далеко от завершения. Это связано с тем, что в большинстве работ [3,4,10,11,12], кроме [5], при получении математической модели систем Ball & Beam, в которых угол наклона желоба меняется за счет поворота колеса( связанного с ним некоторым стержнем), так или иначе, без всякого обоснования используется линеаризация сложной нелинейн

  2. In-text reference with the coordinate start=1725
    Prefix
    Вместе с тем, несмотря на многочисленные публикации по исследованию динамики систем, содержащих в своем составе шарик и желоб (большой библиографический список имеется, кроме [1], напр., в [3,4]), рассмотрение таких задач далеко от завершения. Это связано с тем, что в большинстве работ
    Exact
    [3,4,10,11,12]
    Suffix
    , кроме [5], при получении математической модели систем Ball & Beam, в которых угол наклона желоба меняется за счет поворота колеса( связанного с ним некоторым стержнем), так или иначе, без всякого обоснования используется линеаризация сложной нелинейной геометрической связи.

  3. In-text reference with the coordinate start=3262
    Prefix
    Например, сравниваются законы управления как для систем с совершенно строгой моделью в виде уравнений Лагранжа второго рода [1,8,9] для конструкции, когда желоб наклоняется за счет поворота вала приводного двигателя без всякого стержня (при отсутствии нелинейной геометрической связи), так и для систем
    Exact
    [3,4,10,11,12]
    Suffix
    при наличии нелинейной геометрической связи. А для систем такого вида уравнения Лагранжа второго рода в общем случае неприменимы [6,7] потому, что используемые координаты не являются независимыми.

  4. In-text reference with the coordinate start=6972
    Prefix
    геометрическая связь - расстояние между точками А и В постоянно: () () 222 xxyylBABA=−+− Аналитически эта связь выражается нелинейным тригонометрическим уравнением () ()() ()2 22 Lcos11cossinsinldlLd=−++−+−θαθα (1) где ОА =L, AB =l , d – радиус колеса. В системе GBB 1005 при 0=αи 0=θ, рычаг АВ вертикален. В большинстве работ
    Exact
    [3,4,10,11,12 ]
    Suffix
    по исследованию динамики систем такой конструкции применяется одна и та же необоснованно упрощенная модель - вместо полной нелинейной связи принимается линейная зависимость между углами    α=θ L d .

  5. In-text reference with the coordinate start=23537
    Prefix
    Исследуемую в данной работе систему можно рассматривать, как систему непрямого управления [17] при учете уравнений электропривода постоянного тока. Для выбранной линейной управляемой подсистемы линейно-квадратичная задача стабилизации может быть решена методом Н.Н.Красовского [20,21] (ср.
    Exact
    [4,14]
    Suffix
    ) . При этом выбор линейной подсистемы зависит от выбора избыточной координаты. Найденное для линейной подсистемы управление решает задачу стабилизации (до асимптотической устойчивости) положения равновесия для полной нелинейной системы уравнений по всем ее переменным в силу теоремы, доказанной в работе [7] .

5
Andreev F., Auckly D., Gosavi S., Kapitanski L., Kelkar A., White W. Matching, linear systems, and the ball and beam // Automatica. 2002. Vol. 38, no. 12. P. 2147-2152.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=1748
    Prefix
    Вместе с тем, несмотря на многочисленные публикации по исследованию динамики систем, содержащих в своем составе шарик и желоб (большой библиографический список имеется, кроме [1], напр., в [3,4]), рассмотрение таких задач далеко от завершения. Это связано с тем, что в большинстве работ [3,4,10,11,12], кроме
    Exact
    [5]
    Suffix
    , при получении математической модели систем Ball & Beam, в которых угол наклона желоба меняется за счет поворота колеса( связанного с ним некоторым стержнем), так или иначе, без всякого обоснования используется линеаризация сложной нелинейной геометрической связи.

  2. In-text reference with the coordinate start=8001
    Prefix
    Кроме того, возможны два варианта выбора избыточной координаты - в качестве избыточной можно выбрать или уголα, определяющий положение желоба, или угол поворота колеса θ. Замечание 1. В работе
    Exact
    [5]
    Suffix
    рассматривается полное нелинейное уравнение связи, с точностью до обозначений совпадающее с уравнением (1). Авторы используют уравнения Лагранжа второго рода, рассматривая α, как функциюθ, но не выражая явно )(θα .

  3. In-text reference with the coordinate start=8414
    Prefix
    Авторы используют уравнения Лагранжа второго рода, рассматривая α, как функциюθ, но не выражая явно )(θα . Применением к этой задаче разработанного многоэтапного λ- метода получено семейство законов управления специального вида, содержащее три произвольные функции. В
    Exact
    [5]
    Suffix
    рассматривается динамика механической части, без учета динамики исполнительного привода, т.е. рассмотрена задача прямого управления. 3. Математическая модель электродвигателя. В реальной установке GBB 1005 Ball&Beam движение колеса, к которому присоединен рычаг, управляется двигателем.

6
Красинская Э.М., Красинский А.Я., Обносов К.Б. О развитии научных методов школы М.Ф. Шульгина в применении к задачам устойчивости и стабилизации равновесий мехатронных систем с избыточными координатами // Сборник научно-методических статей. Теоретическая механика. Вып. 28 / Под ред. проф. Ю.Г. Мартыненко. М.: Изд-во МГУ, 2012. С. 169-184.
Total in-text references: 13
  1. In-text reference with the coordinate start=2280
    Prefix
    меняется за счет поворота колеса( связанного с ним некоторым стержнем), так или иначе, без всякого обоснования используется линеаризация сложной нелинейной геометрической связи. Поэтому используемые в таких работах математические модели механической компоненты (систем такой конструкции) являются неточными, что имеет принципиальное значение, особенно
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    , при исследовании их устойчивости. Кроме того, в большей части работ, в которых предпринимаются (см., напр., [1]) попытки сравнительного анализа полученных по данной проблеме результатов, вообще не уделяется внимания точности и строгости применяемых математических моделей механических компонент таких мехатронных систем.

  2. In-text reference with the coordinate start=3426
    Prefix
    в виде уравнений Лагранжа второго рода [1,8,9] для конструкции, когда желоб наклоняется за счет поворота вала приводного двигателя без всякого стержня (при отсутствии нелинейной геометрической связи), так и для систем [3,4,10,11,12] при наличии нелинейной геометрической связи. А для систем такого вида уравнения Лагранжа второго рода в общем случае неприменимы
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    потому, что используемые координаты не являются независимыми. Таким образом, несмотря на большое количество исследований, динамика системы Ball and Beam требует дальнейшего рассмотрения, в том числе и в отношении моделирования ее механической компоненты.

  3. In-text reference with the coordinate start=3954
    Prefix
    Как и любую систему со сложными геометрическими связями (которые не дают возможности исключения зависимых координат), гораздо выгоднее рассматривать эту систему, как систему с избыточными координатами. В данной работе предлагаемый в
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    метод исследования устойчивости и стабилизации положений равновесия систем с геометрическими связями применяется к устройству Ball & Beam с уточненной по сравнению с [6,7] моделью механической части.

  4. In-text reference with the coordinate start=4140
    Prefix
    В данной работе предлагаемый в [6,7] метод исследования устойчивости и стабилизации положений равновесия систем с геометрическими связями применяется к устройству Ball & Beam с уточненной по сравнению с
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    моделью механической части. Для построения математической модели механической части стенда используются уравнения Шульгина [13] в избыточных координатах. При наличии одной геометрической связи между двумя координатами в этой задаче возможны два варианта выбора избыточной координаты.

  5. In-text reference with the coordinate start=5829
    Prefix
    1mkqqFmnk==+ Если продифференцировать эти связи по времени и выразить зависимые скорости через независимые, получим линейные (голономные) дифференциальные связи в виде 1 1 (,, )1,, n kkjn mj j qBqq q k nnm+ = ==++∑ Для таких систем удобно использовать уравнения в избыточных координатах в форме М.Ф.Шульгина
    Exact
    [13,6,7]
    Suffix
    ∑ + =+ + ∗ ∗ −=+= ∂ ∂mn kn jjkjnmk j ETQBqqQjn q T dt d 1 1,1, ~ (,,) ~ ()  Где ),,,,,(11nmnqqqqT+∗- результат исключения из кинетической энергии T(,,,,,)11mnmnqqqq++ зависимых скоростей с помощью дифференциальных (кинематических ) связей. 2.

  6. In-text reference with the coordinate start=7403
    Prefix
    систем такой конструкции применяется одна и та же необоснованно упрощенная модель - вместо полной нелинейной связи принимается линейная зависимость между углами    α=θ L d . В данной работе для построения математической модели механической части с учетом полной нелинейной связи использованы уравнения Шульгина. При этом, в отличие от работ
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    , рассматриваются два варианта выбора координаты r, определяющей положение шарика: r = ОР или r = ОС. Если при построении модели не пренебрегать размерами шарика, следует учесть, что расстояние ОС от начала координат О до центра шара С и расстояние ОР от начала координат до точки Р соприкосновения шара с желобом связаны соотношением 222ROPOC+=, здесь R – радиус шара.

  7. In-text reference with the coordinate start=9618
    Prefix
    В такой постановке за управление будет принято дополнительное напряжение на якоре двигателя. При таком способе реализации управляющих воздействий имеем систему непрямого управления [17] . При этом силу, действующую по координатеθ, можно принять в виде ( см.
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    ) Qθαθ02biK−=, где 0b- коэффициент сопротивления вращению, приведенный к двигателю; 2K- электромеханическая постоянная двигателя. 4. Стабилизация равновесия упрощенной системы. Рассмотрим сначала задачу при тех же предположениях, что и в [6].

  8. In-text reference with the coordinate start=9868
    Prefix
    При этом силу, действующую по координатеθ, можно принять в виде ( см. [6,7] ) Qθαθ02biK−=, где 0b- коэффициент сопротивления вращению, приведенный к двигателю; 2K- электромеханическая постоянная двигателя. 4. Стабилизация равновесия упрощенной системы. Рассмотрим сначала задачу при тех же предположениях, что и в
    Exact
    [6]
    Suffix
    . Пусть кинетическая и потенциальная энергии имеют вид ( )     +Π=      Τ=++αθαsin; 2 1 2 1 2 1 2 12 0 2 22 Jmgr R r mrmrJ   m – масса ; J - момент инерции шара; J0- - момент инерции всей системы, приведённый к двигателю.

  9. In-text reference with the coordinate start=10350
    Prefix
    Дифференцируя связь (1) по времени, получим (() ()) (() ())L d BB LdLdl dLLdl == −+−+ −+−+ =0),(;),( sinsincos sinsincos θαθθαθ αθαα αθθθ α   (3) Кинетическая энергия после исключения зависимой скорости с помощью (3) будет иметь вид
    Exact
    [6]
    Suffix
    . ()()    Τ=+++ ∗2 0 22 2),(2 1 () 2 1 rαθθJrBm R J m Система допускает [6] положение равновесия : α00= ; r00≠ ;       ====.;;0 12 0 1 0 0 2 00 0 KK R L d mgr K Ri e K L d mgr i a aa θaν Введем возмущения α=06x+α; 00 rr x rx0120 345;; ; ;;aav vxx i i x e e uθθθ=+==+ = =+ =+  и

  10. In-text reference with the coordinate start=10464
    Prefix
    времени, получим (() ()) (() ())L d BB LdLdl dLLdl == −+−+ −+−+ =0),(;),( sinsincos sinsincos θαθθαθ αθαα αθθθ α   (3) Кинетическая энергия после исключения зависимой скорости с помощью (3) будет иметь вид [6]. ()()    Τ=+++ ∗2 0 22 2),(2 1 () 2 1 rαθθJrBm R J m Система допускает
    Exact
    [6]
    Suffix
    положение равновесия : α00= ; r00≠ ;       ====.;;0 12 0 1 0 0 2 00 0 KK R L d mgr K Ri e K L d mgr i a aa θaν Введем возмущения α=06x+α; 00 rr x rx0120 345;; ; ;;aav vxx i i x e e uθθθ=+==+ = =+ =+  и выделим первое приближение в уравнениях возмущенного движения (здесь u-управление - дополнительное напряжение на якоре двигателя).

  11. In-text reference with the coordinate start=13300
    Prefix
    Тогда для кинетической энергии получим выражение ( )      +       − − + − − − Τ=+ 2 0 2 222222 22 2 2 1 2 1 2 1 2 1 αααθ    J rR r R r J rR Rr mr rR rr mrm (5) Кинетическая (5) и потенциальная (4) энергии отличаются от соответствующих выражений в
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    . Дифференцируя связь (1) по времени и выбирая за избыточную координату угол поворота колеса θ, получим уравнение кинематической связи в виде () () () ()d L BB dLLdl LdLdl == −+−+ −+−+ =011),(;),( [sinsincos] [sinsincos] ααθααθ αθθθ αθαα θ (6) Исключая из кинетической энергии зависимую скорость, получим выражение для T*, ( ) 22 01

  12. In-text reference with the coordinate start=15861
    Prefix
    12) Это уравнение имеет три корня: 12,322 0;arccos ld d d l arctg + θ==±θ (13) При этом решениям 3,2θ соответствует в реальном стенде одна и та же конфигурация, при которой угол поворота колеса лежит во второй четверти. Полученные уравнения и допускаемые ими равновесия отличаются от рассматриваемых в работах
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    . Заметим, что если вместо точной нелинейной геометрической связи (1 ) принимается упрощенное линейное уравнение, очевидно, для положении равновесия возможно только одно решение 01=θ. Решение задачи стабилизации будет существенно различным для разных положений равновесия. 7.

  13. In-text reference with the coordinate start=22072
    Prefix
    В отличие от упрощенной модели в п.4 в выражениях T* для кинетической энергии (7) и (20) в уточненной модели присутствуют коэффициенты инерционной связи при произведениях скоростей (таких коэффициентов нет в упрощенной модели). Вследствие этого уравнения возмущенного движения и в первом приближении в уточненной модели отличаются от соответствующих уравнений в
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    . Кроме того, в уточненной модели появляются дополнительные члены от потенциальной энергии. Заключение. В работе показано, что в математической модели с учетом полной нелинейной геометрической связи возможно другое положение равновесия системы GBB 1005 BALL&BEAM, ранее не рассматривавшееся .

7
Красинская Э.М. ,Красинский А.Я. Об устойчивости и стабилизации равновесия механических систем с избыточными координатами // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. Журн. 2013. No 3. DOI: 10.7463/0313.0541146
Total in-text references: 14
  1. In-text reference with the coordinate start=2280
    Prefix
    меняется за счет поворота колеса( связанного с ним некоторым стержнем), так или иначе, без всякого обоснования используется линеаризация сложной нелинейной геометрической связи. Поэтому используемые в таких работах математические модели механической компоненты (систем такой конструкции) являются неточными, что имеет принципиальное значение, особенно
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    , при исследовании их устойчивости. Кроме того, в большей части работ, в которых предпринимаются (см., напр., [1]) попытки сравнительного анализа полученных по данной проблеме результатов, вообще не уделяется внимания точности и строгости применяемых математических моделей механических компонент таких мехатронных систем.

  2. In-text reference with the coordinate start=3426
    Prefix
    в виде уравнений Лагранжа второго рода [1,8,9] для конструкции, когда желоб наклоняется за счет поворота вала приводного двигателя без всякого стержня (при отсутствии нелинейной геометрической связи), так и для систем [3,4,10,11,12] при наличии нелинейной геометрической связи. А для систем такого вида уравнения Лагранжа второго рода в общем случае неприменимы
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    потому, что используемые координаты не являются независимыми. Таким образом, несмотря на большое количество исследований, динамика системы Ball and Beam требует дальнейшего рассмотрения, в том числе и в отношении моделирования ее механической компоненты.

  3. In-text reference with the coordinate start=3954
    Prefix
    Как и любую систему со сложными геометрическими связями (которые не дают возможности исключения зависимых координат), гораздо выгоднее рассматривать эту систему, как систему с избыточными координатами. В данной работе предлагаемый в
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    метод исследования устойчивости и стабилизации положений равновесия систем с геометрическими связями применяется к устройству Ball & Beam с уточненной по сравнению с [6,7] моделью механической части.

  4. In-text reference with the coordinate start=4140
    Prefix
    В данной работе предлагаемый в [6,7] метод исследования устойчивости и стабилизации положений равновесия систем с геометрическими связями применяется к устройству Ball & Beam с уточненной по сравнению с
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    моделью механической части. Для построения математической модели механической части стенда используются уравнения Шульгина [13] в избыточных координатах. При наличии одной геометрической связи между двумя координатами в этой задаче возможны два варианта выбора избыточной координаты.

  5. In-text reference with the coordinate start=5064
    Prefix
    Такое положение равновесия принципиально не может быть получено при линеаризации уравнения нелинейной связи. Кроме того ,при исследовании устойчивости такого положения равновесия нельзя будет пользоваться уравнениями Лагранжа второго рода, получаемых при использовании линейной связи
    Exact
    [7]
    Suffix
    . Полученные результаты частично докладывались на конференциях[14,15,16] 1.Уравнения М.Ф. Шульгина. Пусть конфигурация механической системы задана параметрами, взятыми в числе, превосходящем число степеней свободы.

  6. In-text reference with the coordinate start=5829
    Prefix
    1mkqqFmnk==+ Если продифференцировать эти связи по времени и выразить зависимые скорости через независимые, получим линейные (голономные) дифференциальные связи в виде 1 1 (,, )1,, n kkjn mj j qBqq q k nnm+ = ==++∑ Для таких систем удобно использовать уравнения в избыточных координатах в форме М.Ф.Шульгина
    Exact
    [13,6,7]
    Suffix
    ∑ + =+ + ∗ ∗ −=+= ∂ ∂mn kn jjkjnmk j ETQBqqQjn q T dt d 1 1,1, ~ (,,) ~ ()  Где ),,,,,(11nmnqqqqT+∗- результат исключения из кинетической энергии T(,,,,,)11mnmnqqqq++ зависимых скоростей с помощью дифференциальных (кинематических ) связей. 2.

  7. In-text reference with the coordinate start=7403
    Prefix
    систем такой конструкции применяется одна и та же необоснованно упрощенная модель - вместо полной нелинейной связи принимается линейная зависимость между углами    α=θ L d . В данной работе для построения математической модели механической части с учетом полной нелинейной связи использованы уравнения Шульгина. При этом, в отличие от работ
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    , рассматриваются два варианта выбора координаты r, определяющей положение шарика: r = ОР или r = ОС. Если при построении модели не пренебрегать размерами шарика, следует учесть, что расстояние ОС от начала координат О до центра шара С и расстояние ОР от начала координат до точки Р соприкосновения шара с желобом связаны соотношением 222ROPOC+=, здесь R – радиус шара.

  8. In-text reference with the coordinate start=9618
    Prefix
    В такой постановке за управление будет принято дополнительное напряжение на якоре двигателя. При таком способе реализации управляющих воздействий имеем систему непрямого управления [17] . При этом силу, действующую по координатеθ, можно принять в виде ( см.
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    ) Qθαθ02biK−=, где 0b- коэффициент сопротивления вращению, приведенный к двигателю; 2K- электромеханическая постоянная двигателя. 4. Стабилизация равновесия упрощенной системы. Рассмотрим сначала задачу при тех же предположениях, что и в [6].

  9. In-text reference with the coordinate start=13300
    Prefix
    Тогда для кинетической энергии получим выражение ( )      +       − − + − − − Τ=+ 2 0 2 222222 22 2 2 1 2 1 2 1 2 1 αααθ    J rR r R r J rR Rr mr rR rr mrm (5) Кинетическая (5) и потенциальная (4) энергии отличаются от соответствующих выражений в
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    . Дифференцируя связь (1) по времени и выбирая за избыточную координату угол поворота колеса θ, получим уравнение кинематической связи в виде () () () ()d L BB dLLdl LdLdl == −+−+ −+−+ =011),(;),( [sinsincos] [sinsincos] ααθααθ αθθθ αθαα θ (6) Исключая из кинетической энергии зависимую скорость, получим выражение для T*, ( ) 22 01

  10. In-text reference with the coordinate start=15861
    Prefix
    12) Это уравнение имеет три корня: 12,322 0;arccos ld d d l arctg + θ==±θ (13) При этом решениям 3,2θ соответствует в реальном стенде одна и та же конфигурация, при которой угол поворота колеса лежит во второй четверти. Полученные уравнения и допускаемые ими равновесия отличаются от рассматриваемых в работах
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    . Заметим, что если вместо точной нелинейной геометрической связи (1 ) принимается упрощенное линейное уравнение, очевидно, для положении равновесия возможно только одно решение 01=θ. Решение задачи стабилизации будет существенно различным для разных положений равновесия. 7.

  11. In-text reference with the coordinate start=18579
    Prefix
    При практическом решении в качестве подынтегральной функции в критерии качества удобно взять [20] квадратичную форму 222232121uxxx+++++αα. (17) Из асимптотической устойчивости нулевого решения этой линейной подсистемы, замкнутой найденным управлением, согласно теореме
    Exact
    [7]
    Suffix
    , в полной нелинейной системе получим асимптотическую устойчивость исследуемого равновесия по отношению ко всем ее переменным. Коэффициенты стабилизирующего управления могут быть найдены с использованием метода, изложенного в работах [20] и [21] . 8.

  12. In-text reference with the coordinate start=21642
    Prefix
    R J JmrRJBm RBmgB R J xm R J m o   uKKxRxLaa1333=++θ Управление, решающее задачу стабилизации до асимптотической устойчивости положения равновесия (22) для выделенной линейной подсистемы, будет зависеть от ее переменных. Это управление обеспечивает асимптотическую устойчивость равновесия и для полной нелинейной системы по всем ее переменным
    Exact
    [7]
    Suffix
    . Замечание 3. В отличие от упрощенной модели в п.4 в выражениях T* для кинетической энергии (7) и (20) в уточненной модели присутствуют коэффициенты инерционной связи при произведениях скоростей (таких коэффициентов нет в упрощенной модели).

  13. In-text reference with the coordinate start=22072
    Prefix
    В отличие от упрощенной модели в п.4 в выражениях T* для кинетической энергии (7) и (20) в уточненной модели присутствуют коэффициенты инерционной связи при произведениях скоростей (таких коэффициентов нет в упрощенной модели). Вследствие этого уравнения возмущенного движения и в первом приближении в уточненной модели отличаются от соответствующих уравнений в
    Exact
    [6,7]
    Suffix
    . Кроме того, в уточненной модели появляются дополнительные члены от потенциальной энергии. Заключение. В работе показано, что в математической модели с учетом полной нелинейной геометрической связи возможно другое положение равновесия системы GBB 1005 BALL&BEAM, ранее не рассматривавшееся .

  14. In-text reference with the coordinate start=23872
    Prefix
    Найденное для линейной подсистемы управление решает задачу стабилизации (до асимптотической устойчивости) положения равновесия для полной нелинейной системы уравнений по всем ее переменным в силу теоремы, доказанной в работе
    Exact
    [7]
    Suffix
    .

8
Aoustin Y., Formal’skii A.M. Beam-and-Ball System under Limited Control: Stabilization with Large Basin of Attraction // 2009 American Control Conference (Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, MO, USA June 10-12, 2009). AACC, 2009. P. 555-560.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=3077
    Prefix
    для их формирования методы, в то время как анализируются системы принципиально разной конструкции и с разной размерностью фазового пространства механической компоненты и, соответственно, с различной степенью строгости математических моделей. Например, сравниваются законы управления как для систем с совершенно строгой моделью в виде уравнений Лагранжа второго рода
    Exact
    [1,8,9]
    Suffix
    для конструкции, когда желоб наклоняется за счет поворота вала приводного двигателя без всякого стержня (при отсутствии нелинейной геометрической связи), так и для систем [3,4,10,11,12] при наличии нелинейной геометрической связи.

9
Hamed B. Application of a LabVIEW for Real-Time Control of Ball and Beam System // IACSIT International Journal of Engineering and Technology. 2010. Vol. 2, no. 4. P. 401-407
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=3077
    Prefix
    для их формирования методы, в то время как анализируются системы принципиально разной конструкции и с разной размерностью фазового пространства механической компоненты и, соответственно, с различной степенью строгости математических моделей. Например, сравниваются законы управления как для систем с совершенно строгой моделью в виде уравнений Лагранжа второго рода
    Exact
    [1,8,9]
    Suffix
    для конструкции, когда желоб наклоняется за счет поворота вала приводного двигателя без всякого стержня (при отсутствии нелинейной геометрической связи), так и для систем [3,4,10,11,12] при наличии нелинейной геометрической связи.

10
Yu W, Ortiz F. Stability analysis of PD regulation for ball and beam system // Proceedings of 2005 IEEE Conference on Control Applications. CCA 2005. Toronto, Canada, August 28-31, 2005. P. 517-522. DOI: 10.1109/CCA.2005.1507178
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=1725
    Prefix
    Вместе с тем, несмотря на многочисленные публикации по исследованию динамики систем, содержащих в своем составе шарик и желоб (большой библиографический список имеется, кроме [1], напр., в [3,4]), рассмотрение таких задач далеко от завершения. Это связано с тем, что в большинстве работ
    Exact
    [3,4,10,11,12]
    Suffix
    , кроме [5], при получении математической модели систем Ball & Beam, в которых угол наклона желоба меняется за счет поворота колеса( связанного с ним некоторым стержнем), так или иначе, без всякого обоснования используется линеаризация сложной нелинейной геометрической связи.

  2. In-text reference with the coordinate start=3262
    Prefix
    Например, сравниваются законы управления как для систем с совершенно строгой моделью в виде уравнений Лагранжа второго рода [1,8,9] для конструкции, когда желоб наклоняется за счет поворота вала приводного двигателя без всякого стержня (при отсутствии нелинейной геометрической связи), так и для систем
    Exact
    [3,4,10,11,12]
    Suffix
    при наличии нелинейной геометрической связи. А для систем такого вида уравнения Лагранжа второго рода в общем случае неприменимы [6,7] потому, что используемые координаты не являются независимыми.

  3. In-text reference with the coordinate start=6972
    Prefix
    геометрическая связь - расстояние между точками А и В постоянно: () () 222 xxyylBABA=−+− Аналитически эта связь выражается нелинейным тригонометрическим уравнением () ()() ()2 22 Lcos11cossinsinldlLd=−++−+−θαθα (1) где ОА =L, AB =l , d – радиус колеса. В системе GBB 1005 при 0=αи 0=θ, рычаг АВ вертикален. В большинстве работ
    Exact
    [3,4,10,11,12 ]
    Suffix
    по исследованию динамики систем такой конструкции применяется одна и та же необоснованно упрощенная модель - вместо полной нелинейной связи принимается линейная зависимость между углами    α=θ L d .

11
Yu W. Nonlinear PD regulation for ball and beam system // Int. Journal of Electrical Engineering Education. 2009. Vol. 46, no. 1. P. 59-73.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=1725
    Prefix
    Вместе с тем, несмотря на многочисленные публикации по исследованию динамики систем, содержащих в своем составе шарик и желоб (большой библиографический список имеется, кроме [1], напр., в [3,4]), рассмотрение таких задач далеко от завершения. Это связано с тем, что в большинстве работ
    Exact
    [3,4,10,11,12]
    Suffix
    , кроме [5], при получении математической модели систем Ball & Beam, в которых угол наклона желоба меняется за счет поворота колеса( связанного с ним некоторым стержнем), так или иначе, без всякого обоснования используется линеаризация сложной нелинейной геометрической связи.

  2. In-text reference with the coordinate start=3262
    Prefix
    Например, сравниваются законы управления как для систем с совершенно строгой моделью в виде уравнений Лагранжа второго рода [1,8,9] для конструкции, когда желоб наклоняется за счет поворота вала приводного двигателя без всякого стержня (при отсутствии нелинейной геометрической связи), так и для систем
    Exact
    [3,4,10,11,12]
    Suffix
    при наличии нелинейной геометрической связи. А для систем такого вида уравнения Лагранжа второго рода в общем случае неприменимы [6,7] потому, что используемые координаты не являются независимыми.

  3. In-text reference with the coordinate start=6972
    Prefix
    геометрическая связь - расстояние между точками А и В постоянно: () () 222 xxyylBABA=−+− Аналитически эта связь выражается нелинейным тригонометрическим уравнением () ()() ()2 22 Lcos11cossinsinldlLd=−++−+−θαθα (1) где ОА =L, AB =l , d – радиус колеса. В системе GBB 1005 при 0=αи 0=θ, рычаг АВ вертикален. В большинстве работ
    Exact
    [3,4,10,11,12 ]
    Suffix
    по исследованию динамики систем такой конструкции применяется одна и та же необоснованно упрощенная модель - вместо полной нелинейной связи принимается линейная зависимость между углами    α=θ L d .

12
Rahmat M.F., Wahid H., Wahab N.A. Application of intelligent controller in a ball and beam control system // International Journal on Smart Sensing and Intelligent Systems. 2010. Vol. 3, no. 1. P. 45-60
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=1725
    Prefix
    Вместе с тем, несмотря на многочисленные публикации по исследованию динамики систем, содержащих в своем составе шарик и желоб (большой библиографический список имеется, кроме [1], напр., в [3,4]), рассмотрение таких задач далеко от завершения. Это связано с тем, что в большинстве работ
    Exact
    [3,4,10,11,12]
    Suffix
    , кроме [5], при получении математической модели систем Ball & Beam, в которых угол наклона желоба меняется за счет поворота колеса( связанного с ним некоторым стержнем), так или иначе, без всякого обоснования используется линеаризация сложной нелинейной геометрической связи.

  2. In-text reference with the coordinate start=3262
    Prefix
    Например, сравниваются законы управления как для систем с совершенно строгой моделью в виде уравнений Лагранжа второго рода [1,8,9] для конструкции, когда желоб наклоняется за счет поворота вала приводного двигателя без всякого стержня (при отсутствии нелинейной геометрической связи), так и для систем
    Exact
    [3,4,10,11,12]
    Suffix
    при наличии нелинейной геометрической связи. А для систем такого вида уравнения Лагранжа второго рода в общем случае неприменимы [6,7] потому, что используемые координаты не являются независимыми.

13
Шульгин М.Ф. О некоторых дифференциальных уравнениях аналитической динамики и их интегрировании. Ташкент: Изд-во САГУ, 1958. 183 с. (Труды Среднеазиатского государственного университета им. В.И. Ленина; вып. 144).
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=4281
    Prefix
    В данной работе предлагаемый в [6,7] метод исследования устойчивости и стабилизации положений равновесия систем с геометрическими связями применяется к устройству Ball & Beam с уточненной по сравнению с [6,7] моделью механической части. Для построения математической модели механической части стенда используются уравнения Шульгина
    Exact
    [13]
    Suffix
    в избыточных координатах. При наличии одной геометрической связи между двумя координатами в этой задаче возможны два варианта выбора избыточной координаты. Показано, что от выбора избыточной координаты существенно зависит выбор управляемой подсистемы, а управляющее воздействие зависит от переменных выбранной подсистемы.

  2. In-text reference with the coordinate start=5829
    Prefix
    1mkqqFmnk==+ Если продифференцировать эти связи по времени и выразить зависимые скорости через независимые, получим линейные (голономные) дифференциальные связи в виде 1 1 (,, )1,, n kkjn mj j qBqq q k nnm+ = ==++∑ Для таких систем удобно использовать уравнения в избыточных координатах в форме М.Ф.Шульгина
    Exact
    [13,6,7]
    Suffix
    ∑ + =+ + ∗ ∗ −=+= ∂ ∂mn kn jjkjnmk j ETQBqqQjn q T dt d 1 1,1, ~ (,,) ~ ()  Где ),,,,,(11nmnqqqqT+∗- результат исключения из кинетической энергии T(,,,,,)11mnmnqqqq++ зависимых скоростей с помощью дифференциальных (кинематических ) связей. 2.

14
Красинская Э.М., Красинский А.Я. Моделирование динамики стенда Вall&Вeam как мехатронной системы с избыточной координатой // Межд. конф. «Восьмые Окуневские чтения» (Санкт-Петербург, Россия, 25-28 июня 2013 г.): материалы докл. СПб.: Балтийский гос. ун-т, 2013. C. 189-191.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=5128
    Prefix
    Кроме того ,при исследовании устойчивости такого положения равновесия нельзя будет пользоваться уравнениями Лагранжа второго рода, получаемых при использовании линейной связи [7]. Полученные результаты частично докладывались на конференциях
    Exact
    [14,15,16]
    Suffix
    1.Уравнения М.Ф. Шульгина. Пусть конфигурация механической системы задана параметрами, взятыми в числе, превосходящем число степеней свободы. На эти параметры наложены геометрические связи ),1(0),,(1mkqqFmnk==+ Если продифференцировать эти связи по времени и выразить зависимые скорости через независимые, полу

  2. In-text reference with the coordinate start=23537
    Prefix
    Исследуемую в данной работе систему можно рассматривать, как систему непрямого управления [17] при учете уравнений электропривода постоянного тока. Для выбранной линейной управляемой подсистемы линейно-квадратичная задача стабилизации может быть решена методом Н.Н.Красовского [20,21] (ср.
    Exact
    [4,14]
    Suffix
    ) . При этом выбор линейной подсистемы зависит от выбора избыточной координаты. Найденное для линейной подсистемы управление решает задачу стабилизации (до асимптотической устойчивости) положения равновесия для полной нелинейной системы уравнений по всем ее переменным в силу теоремы, доказанной в работе [7] .

15
Красинский А.Я., Красинская Э.М. О применении теории критических случаев к задачам стабилизации при неполной информации // Динамические системы: Устойчивость, управление, оптимизация. К 95-летию со дня рождения академика Е.А. Барбашина: Тез. докл. междунар. конф. (Минск, 1-5 октября 2013 г.). Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 2013. С. 157-159.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5128
    Prefix
    Кроме того ,при исследовании устойчивости такого положения равновесия нельзя будет пользоваться уравнениями Лагранжа второго рода, получаемых при использовании линейной связи [7]. Полученные результаты частично докладывались на конференциях
    Exact
    [14,15,16]
    Suffix
    1.Уравнения М.Ф. Шульгина. Пусть конфигурация механической системы задана параметрами, взятыми в числе, превосходящем число степеней свободы. На эти параметры наложены геометрические связи ),1(0),,(1mkqqFmnk==+ Если продифференцировать эти связи по времени и выразить зависимые скорости через независимые, полу

16
Красинский А.Я., Красинская Э.М. Моделирование динамики стенда «GBB 1005 Ball & Beam» как управляемой механической системы с избыточными координатами // Научная конференция «Фундаментальные и прикладные задачи механики», посвященная 135-летию кафедры теоретической механики им. проф. Н.Е. Жуковского МГТУ им. Н.Э. Баумана (2325 октября 2013 г.): Расширенная программа с аннотациями докладов. Секция 1. Режим доступа: http://hoster.bmstu.ru/~fn3/news/KONF-135/program.pdf (дата обращения 01.12.2013).
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=5128
    Prefix
    Кроме того ,при исследовании устойчивости такого положения равновесия нельзя будет пользоваться уравнениями Лагранжа второго рода, получаемых при использовании линейной связи [7]. Полученные результаты частично докладывались на конференциях
    Exact
    [14,15,16]
    Suffix
    1.Уравнения М.Ф. Шульгина. Пусть конфигурация механической системы задана параметрами, взятыми в числе, превосходящем число степеней свободы. На эти параметры наложены геометрические связи ),1(0),,(1mkqqFmnk==+ Если продифференцировать эти связи по времени и выразить зависимые скорости через независимые, полу

17
Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. 400 с.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=9537
    Prefix
    усилителя ; be- напряжение противо-ЭДС ; 3K - постоянная двигателя ; aL - индуктивность ; aR- сопротивление ; 1K- коэффициент преобразователя питания , iα - сила тока в якорной обмотке двигателя. В такой постановке за управление будет принято дополнительное напряжение на якоре двигателя. При таком способе реализации управляющих воздействий имеем систему непрямого управления
    Exact
    [17]
    Suffix
    . При этом силу, действующую по координатеθ, можно принять в виде ( см. [6,7] ) Qθαθ02biK−=, где 0b- коэффициент сопротивления вращению, приведенный к двигателю; 2K- электромеханическая постоянная двигателя. 4.

  2. In-text reference with the coordinate start=23327
    Prefix
    Для исследования движения электромеханических систем [22] наряду с уравнениями механической части нужно рассматривать и уравнения электрической части. Исследуемую в данной работе систему можно рассматривать, как систему непрямого управления
    Exact
    [17]
    Suffix
    при учете уравнений электропривода постоянного тока. Для выбранной линейной управляемой подсистемы линейно-квадратичная задача стабилизации может быть решена методом Н.Н.Красовского [20,21] (ср. [4,14]) .

18
Ляпунов А.М. Собрание соч. Т. 2. М.-Л.: Изд. АН СССР, 1956. 472 с.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=11106
    Prefix
    (здесь u-управление - дополнительное напряжение на якоре двигателя).           = −− =       + −−+ == + − == ;; ;;;; 4 515346 2 0 0 10425 4 4 3 6 2 2 2 1 x L d dt dx L KuRxKx dt dx L rd Jm xbxKx L d mg dt dx x dt dx x R J m mg dt dx x dt dx a a Если в полных нелинейных уравнениях движения произвести замену (согласно теории критических случаев
    Exact
    [18,19]
    Suffix
    ): 36x L xzd+=, то в уравнении связи в первом приближении выделяется нулевой корень. Тогда за управляемую подсистему можно выбрать подсистему, не включающую критическую переменную QuPxx+=                                   =                             

  2. In-text reference with the coordinate start=17177
    Prefix
      θα α   (0) (0) 1 33311 B LxRxKBKuaa = ++= (16) Последнее уравнение (16) представляет собой линейное приближение кинематической связи (6). Для выделения нулевого корня в характеристическом уравнении произведем в полной системе уравнений (6,8,9,10) замену переменных
    Exact
    [18,19]
    Suffix
    : zB+=αθ)0(1 . После этой замены уравнение связи в первом приближении примет вид 0=z(нулевой корень соответствует этой переменной). Произведенная замена переменных не изменяет коэффициентов остальных уравнений первого приближения всей системы, так как эти уравнения не зависят от избыточной переменной θ.

  3. In-text reference with the coordinate start=20760
    Prefix
    Поэтому уравнения первого приближения не содержат линейных членов разложения коэффициентов кинематических связей. Для другого положения равновесия (13) эти выражения не обращаются в нуль , и уравнения возмущенного движения будут иметь другой вид. Проведем в полной нелинейной системе уравнений замену
    Exact
    [18,19]
    Suffix
    : θθα L =zBzd+=+)0( для выделения нулевого корня характеристического уравнения , соответствующего переменной z. После произведенной замены первое приближение уравнений Шульгина примет вид. [] (0)0 (())(0)()(0)(0)(0) ()()(0)(0)0 2 210231 222 0 212 −= +++−++−+−− +−+++= mgRBz RBxbKxBmgxmgRB R J JmrRJBm RBmgzmgB R J xm R J m oθθθ θθ   В этом случае управляемую подсистему выби

19
Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 532 с.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=11106
    Prefix
    (здесь u-управление - дополнительное напряжение на якоре двигателя).           = −− =       + −−+ == + − == ;; ;;;; 4 515346 2 0 0 10425 4 4 3 6 2 2 2 1 x L d dt dx L KuRxKx dt dx L rd Jm xbxKx L d mg dt dx x dt dx x R J m mg dt dx x dt dx a a Если в полных нелинейных уравнениях движения произвести замену (согласно теории критических случаев
    Exact
    [18,19]
    Suffix
    ): 36x L xzd+=, то в уравнении связи в первом приближении выделяется нулевой корень. Тогда за управляемую подсистему можно выбрать подсистему, не включающую критическую переменную QuPxx+=                                   =                             

  2. In-text reference with the coordinate start=17177
    Prefix
      θα α   (0) (0) 1 33311 B LxRxKBKuaa = ++= (16) Последнее уравнение (16) представляет собой линейное приближение кинематической связи (6). Для выделения нулевого корня в характеристическом уравнении произведем в полной системе уравнений (6,8,9,10) замену переменных
    Exact
    [18,19]
    Suffix
    : zB+=αθ)0(1 . После этой замены уравнение связи в первом приближении примет вид 0=z(нулевой корень соответствует этой переменной). Произведенная замена переменных не изменяет коэффициентов остальных уравнений первого приближения всей системы, так как эти уравнения не зависят от избыточной переменной θ.

  3. In-text reference with the coordinate start=20760
    Prefix
    Поэтому уравнения первого приближения не содержат линейных членов разложения коэффициентов кинематических связей. Для другого положения равновесия (13) эти выражения не обращаются в нуль , и уравнения возмущенного движения будут иметь другой вид. Проведем в полной нелинейной системе уравнений замену
    Exact
    [18,19]
    Suffix
    : θθα L =zBzd+=+)0( для выделения нулевого корня характеристического уравнения , соответствующего переменной z. После произведенной замены первое приближение уравнений Шульгина примет вид. [] (0)0 (())(0)()(0)(0)(0) ()()(0)(0)0 2 210231 222 0 212 −= +++−++−+−− +−+++= mgRBz RBxbKxBmgxmgRB R J JmrRJBm RBmgzmgB R J xm R J m oθθθ θθ   В этом случае управляемую подсистему выби

20
Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений // В кн. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. С. 475-514.
Total in-text references: 4
  1. In-text reference with the coordinate start=11758
    Prefix
    a a a a L K Q L R L K L rd Jm K L rd Jm b L rd Jm L d mg R J m L d mg P 1 3 2 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 000 00 00010 0000 01000 Для этой подсистемы выполнено условие управляемости: ()5 234 rankW1==QPQPQPPQQrank Стабилизирующее управление Kxu= может быть определено решением методом Н.Н.Красовского
    Exact
    [20]
    Suffix
    линейно-квадратичной задачи стабилизации с подынтегральной функцией в критерии качества 22524232221uxxxxx+++++. Численное определение коэффициентов управления конкретной системы может быть определено с помощью [21] .

  2. In-text reference with the coordinate start=18369
    Prefix
    Для выбранной управляемой линейной подсистемы, не включающей уравнения связи, полученное управление будет зависеть от переменных этой подсистемы. При практическом решении в качестве подынтегральной функции в критерии качества удобно взять
    Exact
    [20]
    Suffix
    квадратичную форму 222232121uxxx+++++αα. (17) Из асимптотической устойчивости нулевого решения этой линейной подсистемы, замкнутой найденным управлением, согласно теореме [7], в полной нелинейной системе получим асимптотическую устойчивость исследуемого равновесия по отношению ко всем ее переменным.

  3. In-text reference with the coordinate start=18817
    Prefix
    αα. (17) Из асимптотической устойчивости нулевого решения этой линейной подсистемы, замкнутой найденным управлением, согласно теореме [7], в полной нелинейной системе получим асимптотическую устойчивость исследуемого равновесия по отношению ко всем ее переменным. Коэффициенты стабилизирующего управления могут быть найдены с использованием метода, изложенного в работах
    Exact
    [20]
    Suffix
    и [21] . 8. Другой случай выбора переменных. Примем за обобщенную координату r = ОР, , а за избыточную координату – угол наклона желоба α. Тогда кинематическое уравнение связи возьмем в виде (3).

  4. In-text reference with the coordinate start=23524
    Prefix
    Исследуемую в данной работе систему можно рассматривать, как систему непрямого управления [17] при учете уравнений электропривода постоянного тока. Для выбранной линейной управляемой подсистемы линейно-квадратичная задача стабилизации может быть решена методом Н.Н.Красовского
    Exact
    [20,21]
    Suffix
    (ср. [4,14]) . При этом выбор линейной подсистемы зависит от выбора избыточной координаты. Найденное для линейной подсистемы управление решает задачу стабилизации (до асимптотической устойчивости) положения равновесия для полной нелинейной системы уравнений по всем ее переменным в силу теоремы, доказанной в работе [7] .

21
Красинский А.Я., Иофе В.В., Каюмова Д.Р., Халиков А.А. Программное составление уравнений движения и исследование стабилизации механических движений: Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ No 2011615362. Российская Федерация. Заявка No 2011613568; зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ 23 мая 2011 г.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=11977
    Prefix
    управляемости: ()5 234 rankW1==QPQPQPPQQrank Стабилизирующее управление Kxu= может быть определено решением методом Н.Н.Красовского [20] линейно-квадратичной задачи стабилизации с подынтегральной функцией в критерии качества 22524232221uxxxxx+++++. Численное определение коэффициентов управления конкретной системы может быть определено с помощью
    Exact
    [21]
    Suffix
    . Графики переходных процессов по rr, 5. Уточнение уравнений механической части. Есл и учитывать размеры шара, уравнения движения системы существенно изменятся, так как в кинетической энергии появляются коэффициенты инерционной связи.

  2. In-text reference with the coordinate start=18824
    Prefix
    17) Из асимптотической устойчивости нулевого решения этой линейной подсистемы, замкнутой найденным управлением, согласно теореме [7], в полной нелинейной системе получим асимптотическую устойчивость исследуемого равновесия по отношению ко всем ее переменным. Коэффициенты стабилизирующего управления могут быть найдены с использованием метода, изложенного в работах [20] и
    Exact
    [21]
    Suffix
    . 8. Другой случай выбора переменных. Примем за обобщенную координату r = ОР, , а за избыточную координату – угол наклона желоба α. Тогда кинематическое уравнение связи возьмем в виде (3). Потенциальная энергия в этом случае имеет вид )cossin(ααRrmg+=Π (18) Для кинетической энергии

  3. In-text reference with the coordinate start=23524
    Prefix
    Исследуемую в данной работе систему можно рассматривать, как систему непрямого управления [17] при учете уравнений электропривода постоянного тока. Для выбранной линейной управляемой подсистемы линейно-квадратичная задача стабилизации может быть решена методом Н.Н.Красовского
    Exact
    [20,21]
    Suffix
    (ср. [4,14]) . При этом выбор линейной подсистемы зависит от выбора избыточной координаты. Найденное для линейной подсистемы управление решает задачу стабилизации (до асимптотической устойчивости) положения равновесия для полной нелинейной системы уравнений по всем ее переменным в силу теоремы, доказанной в работе [7] .

22
Мартыненко Ю.Г. Аналитическая динамика электромеханических систем / под. ред. И.В. Новожилова. М.: МЭИ, 1984. 64 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=23139
    Prefix
    При этом предпочтительнее за избыточную выбирать ту координату, от которой не зависят первоначальные выражения кинетической и потенциальной энергий. Рассматриваемая система является мехатронной электромеханической системой. Для исследования движения электромеханических систем
    Exact
    [22]
    Suffix
    наряду с уравнениями механической части нужно рассматривать и уравнения электрической части. Исследуемую в данной работе систему можно рассматривать, как систему непрямого управления [17] при учете уравнений электропривода постоянного тока.