The 67 reference contexts in paper A. Khohlov V., А. Хохлов В. (2016) “Качественный анализ общих свойств теоретических кривых линейного определяющего соотношения вязкоупругости // The Qualitative Analysis of Theoretic Curves Generated by Linear Viscoelasticity Constitutive Equation” / spz:neicon:technomag:y:2016:i:5:p:187-245

  1. Start
    2222
    Prefix
    деформирования (ползучести, релаксации, обратной ползучести), затухание памяти, индикаторы (не)применимости Линейная теория вязкоупругости (наследственности), казалось бы, всесторонне проработана за полтора столетия, начиная с работ Вебера, Кольрауша, Максвелла, Больцмана, Вольтерры и др.: в период 1950-1970-ых годов (и позднее) ей посвящены тысячи статей, докладов, монографий (например,
    Exact
    [1-43]
    Suffix
    и др.). Но, как ни странно, несмотря на бурное развитие нелинейных теорий (сотни нелинейных определяющих соотношений), попрежнему выходят статьи и диссертации, демонстрирующие, что многие математические свойства линейного определяющего соотношения (ОС) вязкоупругости – даже напрямую связанные с моделированием классических реологических эффектов и типичных кривых поведения материалов –
    (check this in PDF content)

  2. Start
    3690
    Prefix
    лишь отдельные аспекты поведения материалов и отдельные необходимые условия применимости линейной теории (и нередко подаются как достаточные, например, независимость модуля релаксации материала от уровня деформации или податливости от уровня напряжения), выводы формулируются в довольно туманной форме и порой содержат неточности и неверные представления (см. подробные обзоры и библиографию в
    Exact
    [44-46]
    Suffix
    ). Некоторые эффекты, обнаруженные в экспериментах, считаются признаками нелинейности специфических классов материалов, а их моделирование – достижением и преимуществом новых нелинейных ОС ([47-51 и др.]), хотя можно доказать, что линейное ОС вязкоупругости их воспроизводит.
    (check this in PDF content)

  3. Start
    4951
    Prefix
    , настройки и грамотного применения необходимо точное знание общих свойств теоретических кривых (релаксации, ползучести, деформирования) рассматриваемого ОС, полученное в результате аналитического изучения их уравнений. В данной статье технология качественного анализа нелинейных определяющих соотношений для вязкоупругопластических материалов, разработанная ранее автором в цикле работ
    Exact
    [52-57]
    Suffix
    и др., прилагается к линейному интегральному уравнению вязкоупругости с произвольными функциями релаксации и ползучести (ФР и ФП), инвариантному относительно сдвигов по времени. При минимальных априорных математических ограничениях на ФР и ФП выведены в общем виде уравнения семейств всех основных теоретических кривых одномерного ОС, аналитически изучены их качественные свойства (в зависимости от
    (check this in PDF content)

  4. Start
    7897
    Prefix
    Такой качественный анализ теоретических кривых – важная стадия аттестации любого ОС, выявления арсенала его возможностей и области адекватности, разработки способов идентификации, настройки, верификации и численной реализации
    Exact
    [52-58]
    Suffix
    . Он необходим и для того, чтобы сформулировать общие требования к способам аналитического представления экспериментальных данных и материальных функций: используемые аппроксимации должны удовлетворять базовым ограничениям теории и обладать определёнными качественными свойствами, чтобы ОС корректно описывало определённый комплекс реологических эффектов, присущих некоторому классу материалов.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    13825
    Prefix
    Если (например, при ступенчатом нагружении), то всё же Итак, если модель регулярна (т.е. (0) 0) и и непрерывны при 0t, то скачки в любой точке *t связаны формулами: Если же модель сингулярна (если в ФР присутствует слагаемое ()t), то (0)0 и и потому а скачки даже при непрерывной деформации ()t (когда *ˆ( )0t) вызывают разрывы напряжения
    Exact
    [45,59]
    Suffix
    : Следует отметить, что скачок процесса-отклика в любой точке *t линейно (и локально) зависит от скачка программы нагружения (и её производных) в *t и не зависит от *t и от предыстории (нелинейное ОС Работнова уже не обладает этим свойством [57]), в частности, модуль скачка отклика не меняется при изменении знака скачка нагрузки (если и непрерывны).
    (check this in PDF content)

  6. Start
    14069
    Prefix
    ()t), то (0)0 и и потому а скачки даже при непрерывной деформации ()t (когда *ˆ( )0t) вызывают разрывы напряжения [45,59]: Следует отметить, что скачок процесса-отклика в любой точке *t линейно (и локально) зависит от скачка программы нагружения (и её производных) в *t и не зависит от *t и от предыстории (нелинейное ОС Работнова уже не обладает этим свойством
    Exact
    [57]
    Suffix
    ), в частности, модуль скачка отклика не меняется при изменении знака скачка нагрузки (если и непрерывны). Эти свойства можно использовать как необходимые индикаторы применимости линейного ОС (1.1) [57,59] к описанию поведения конкретного материала.
    (check this in PDF content)

  7. Start
    14272
    Prefix
    *t линейно (и локально) зависит от скачка программы нагружения (и её производных) в *t и не зависит от *t и от предыстории (нелинейное ОС Работнова уже не обладает этим свойством [57]), в частности, модуль скачка отклика не меняется при изменении знака скачка нагрузки (если и непрерывны). Эти свойства можно использовать как необходимые индикаторы применимости линейного ОС (1.1)
    Exact
    [57,59]
    Suffix
    к описанию поведения конкретного материала. Например, в испытаниях нескольких сплавов алюминия при ступенчатом нагружении зафиксировано [60], что модуль скачка деформации вниз в момент сброса нагрузки меньше, чем скачок вверх в момент её приложения; поэтому вряд ли стоит пытаться моделировать их ползучесть с помощью ОС (1.1).
    (check this in PDF content)

  8. Start
    14418
    Prefix
    Эти свойства можно использовать как необходимые индикаторы применимости линейного ОС (1.1) [57,59] к описанию поведения конкретного материала. Например, в испытаниях нескольких сплавов алюминия при ступенчатом нагружении зафиксировано
    Exact
    [60]
    Suffix
    , что модуль скачка деформации вниз в момент сброса нагрузки меньше, чем скачок вверх в момент её приложения; поэтому вряд ли стоит пытаться моделировать их ползучесть с помощью ОС (1.1). На множестве непрерывных (и кусочно дифференцируемых) при 0t функций операторы (1.1) действуют по формулам: При (0)0 первое соотношение (1.5) с заданной ()t – уравнение Вольтерры второго рода для ()t; е
    (check this in PDF content)

  9. Start
    15210
    Prefix
    Нарушение условия (0)0 приводит к уравнениям первого рода (1.5) и (1.2) для ()t и для ФР, наличию сингулярности или разрыва второго рода у ()Rx в т. 0x, неограниченности оператора R, «нехорошим» ТДД и т.п.
    Exact
    [44-46,61-65]
    Suffix
    . Переходя в (1.2) к пределам 0t и t, получим: (0) (0) 1R, ( ) ( ) 1R    . Это следует из существования конечных пределов (0 )R, () и интегрируемости на отрезках.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    15500
    Prefix
    Это следует из существования конечных пределов (0 )R, () и интегрируемости на отрезках. Если ещё и , то и Если же (0)0 или ( )0R, то все эти предельные равенства нарушаются
    Exact
    [44, 62]
    Suffix
    ). Отметим, что тождество (1.2) получится, если потребовать взаимную обратность операторов (1.1) только на одном процессе ( )h( )tt. Отсюда будет следовать и ΠR для любого непрерывного ()t.
    (check this in PDF content)

  11. Start
    16039
    Prefix
    Это объясняется тем, что оператор ΠR линеен и инвариантен относительно сдвигов по времени, а линейная оболочка процессов вида ( ) h(12) h()tt tt t   , 0it (даже с ), т.е. множество всех финитных ступенчатых функций, плотно в пространствах кусочно непрерывных на отрезке [0, ]t функций с Cнормой. В работах
    Exact
    [44-46]
    Suffix
    детально изучены общие качественные свойства семейств всех основных теоретических кривых интегрального ОС (1.1) с произвольными ФР и ФП: кривых деформирования при постоянных скоростях нагружения и деформации, релаксации и ползучести с произвольной начальной стадией нагружения и др.
    (check this in PDF content)

  12. Start
    17611
    Prefix
    велико значение безразмерного параметра ,  - минимальное время релаксации) РеМ ведут себя как твёрдые тела, а СиМ – как жидкости (но при больших временах и малых скоростях модели могут сменить поведение на «противоположное», например, модели Максвелла и их параллельные соединения (РеМ), ведут себя как жидкости, а модели Фойгта и их последовательные соединения (СиМ) – как твёрдые тела)
    Exact
    [62]
    Suffix
    . Третий класс занимает промежуточное положение между первыми двумя. К нему относится, например, ФР R t()uAt, (0;1)u, 0A, задающая так называемый «фрактальный» элемент «фрактальных» моделей («fractional models» – модели с оператором дробного дифференцирования); соответствующая ФП имеет вид 1( )( )utA C u t и обладает не только свойством (0)0, как и СиМ, но и свойством
    (check this in PDF content)

  13. Start
    18774
    Prefix
    Структурные реологические модели ОС (1.1) задаются и все модели, собранные из линейных пружин и демпферов посредством последовательных и параллельных соединений (они будут использованы для иллюстрации общих свойств кривых ползучести ОС (1.1)). Схемы всех трёх- и четырёхзвенных моделей (в русско- и англоязычной терминологии нет единства:
    Exact
    [2-5,7-9,13-15, 27-32]
    Suffix
    ) приведены на рис.1. Рис.1,а. РеМ-3 Рис.1,б. СиМ-3 Рис.1,в. Регулярные четырёхзвенные модели (РеМ-4) Рис.1,г. Сингулярные четырёхзвенные модели (СиМ-4) Любая реологическая модель описывается уравнением вида [ ][ ]PdQd с двумя дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами, где порядки операторов (их характеристических многочленов) degpP, 0p, и degqQ л
    (check this in PDF content)

  14. Start
    19226
    Prefix
    Сингулярные четырёхзвенные модели (СиМ-4) Любая реологическая модель описывается уравнением вида [ ][ ]PdQd с двумя дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами, где порядки операторов (их характеристических многочленов) degpP, 0p, и degqQ либо равны, либо qp1
    Exact
    [4,7]
    Suffix
    , а характеристические корни вещественны, различны и неотрицательны. Из теории линейных дифференциальных уравнений следует, что функция ползучести любой реологической модели – сумма экспонент с отрицательными показателями и коэффициентами, и, возможно, функции t, ,0, а функция релаксации – сумма экспонент с отрицательными показателями и положительными коэффициентами и, возможно, постоянно
    (check this in PDF content)

  15. Start
    19780
    Prefix
    модели – сумма экспонент с отрицательными показателями и коэффициентами, и, возможно, функции t, ,0, а функция релаксации – сумма экспонент с отрицательными показателями и положительными коэффициентами и, возможно, постоянной 0 и сингулярности ()t, 0. Можно доказать, что множество всех несократимых n-звенных моделей распадается ровно на два класса эквивалентности
    Exact
    [44]
    Suffix
    : регулярные (при qp) и сингулярные (с qp1) модели (будем обозначать их РеМ-n и СиМ-n). Структурно различные модели мы называем эквивалентными [44,61], если они задаются одинаковыми семействами функций ползучести (или релаксации); у них отличаются только формулы выражающие параметры через модули упругости пружин и коэффициент вязкости демпферов.
    (check this in PDF content)

  16. Start
    19937
    Prefix
    Можно доказать, что множество всех несократимых n-звенных моделей распадается ровно на два класса эквивалентности [44]: регулярные (при qp) и сингулярные (с qp1) модели (будем обозначать их РеМ-n и СиМ-n). Структурно различные модели мы называем эквивалентными
    Exact
    [44,61]
    Suffix
    , если они задаются одинаковыми семействами функций ползучести (или релаксации); у них отличаются только формулы выражающие параметры через модули упругости пружин и коэффициент вязкости демпферов.
    (check this in PDF content)

  17. Start
    21783
    Prefix
    Поскольку   (0), то ФП (2.1) порождает сингулярные модели только тогда, когда  (тогда из (1.2) ФР ( )( )tR ttAe, 1:()(0, )   , 11: ()(0,)   , A:022 
    Exact
    [44,62]
    Suffix
    ); при 0 это модель Фойгта (тогда 0, A1 ), если 0, то получаются (все) сингулярные трёхзвенные модели (рис.1,б), а при 0 или 0 (т.е. A0) – модель ньютоновской жидкости. При 0 (2.1) превращается в модель Максвелла.
    (check this in PDF content)

  18. Start
    22500
    Prefix
    О сопоставлении теоретических и экспериментальных кривых Базовый список типичных качественных свойств квазистатических экспериментальных кривых (ползучести, релаксации, деформирования и т.п.) структурно стабильных вязкоупругопластичных материалов (и кривые конкретных материалов) приведён в
    Exact
    [53,55;44]
    Suffix
    . Из него вытекают необходимые феноменологические ограничения на материальные функции и параметры ОС, обеспечивающие наличие тех же свойств у теоретических кривых, порождаемых ОС. Сопоставляя теоретические кривые с экспериментальными (ЭК), будем, прежде всего, иметь в виду испытания на чистый сдвиг: тогда в (1.1) 1212:s, 1212:e, RR:S и :S   – сдвиговые функции релаксации и
    (check this in PDF content)

  19. Start
    25770
    Prefix
    на материальные функции ОС (1.1) Как ни странно, вопрос о точной формулировке полного списка минимальных базовых ограничений на ФП и ФР ОС (1.1) и об их истоках и следствиях, отражающихся на свойствах базовых теоретических кривых, порождаемых ОС, как-то фрагментируется и обходится в большинстве монографий и статей по вязкоупругости и механике полимеров. Недостаточно полно он освещён и в
    Exact
    [1-43]
    Suffix
    (см. обзоры и более полную библиографию в [44-46]). Порой это приводит к скрытым допущениям, необоснованным ссылкам на математические результаты, неверным представлениям и попыткам использования линейных ОС для моделирования эффектов, которые они описывать не могут.
    (check this in PDF content)

  20. Start
    25819
    Prefix
    , вопрос о точной формулировке полного списка минимальных базовых ограничений на ФП и ФР ОС (1.1) и об их истоках и следствиях, отражающихся на свойствах базовых теоретических кривых, порождаемых ОС, как-то фрагментируется и обходится в большинстве монографий и статей по вязкоупругости и механике полимеров. Недостаточно полно он освещён и в [1-43] (см. обзоры и более полную библиографию в
    Exact
    [44-46]
    Suffix
    ). Порой это приводит к скрытым допущениям, необоснованным ссылкам на математические результаты, неверным представлениям и попыткам использования линейных ОС для моделирования эффектов, которые они описывать не могут.
    (check this in PDF content)

  21. Start
    26419
    Prefix
    Из сравнения ТКР (4.1) с типичными ЭКР следуют минимальные необходимые ограничения на ФР в ОС (1.1): ()Rx положительна и дифференцируема, ()Rx отрицательна и возрастает при x0 (т.е. ()Rx убывает и выпукла вниз). Эти же ограничения можно вывести из диссипативного неравенства и требования затухания памяти материала
    Exact
    [8]
    Suffix
    . Случаи не запрещаются, но требуют особого рассмотрения. Отметим, что из монотонности ФР ()Rt и ФП ()t следует, что они могут иметь лишь точки разрыва первого рода на (0; ), что и существуют почти всюду и интегрируемы по Лебегу (если предел конечен), и что ОС (1.1) можно интегрировать по частям.
    (check this in PDF content)

  22. Start
    28105
    Prefix
    иным) свойствам семейств ТДД, к бесконечности начального (мгновенного) касательного модуля («модуля упругости», модуля сдвига и т.п.) в нуле, бесконечности скорости распространения волн, неограниченности оператора R, к склеиванию оператором Π скачков ()t (они вызывают лишь скачки , т.к. Экспериментальные КП куда более разнообразны по форме и типичных форм ЭКП существует несколько
    Exact
    [6,10]
    Suffix
    : КП со всеми тремя стадиями, КП с постоянной скоростью ползучести или только с убывающей (выпуклые вверх) или с возрастающей. Поэтому универсальными требованиями к ФП можно считать только положительность, возрастание и дифференцируемость ()t при 0t (помимо неявных ограничений, вытекающих из (1.2) и требований к ФР).
    (check this in PDF content)

  23. Start
    28572
    Prefix
    Поэтому универсальными требованиями к ФП можно считать только положительность, возрастание и дифференцируемость ()t при 0t (помимо неявных ограничений, вытекающих из (1.2) и требований к ФР). Ограничения на интервалы выпуклости ФП, казалось бы, можно варьировать в зависимости от свойств ЭКП классов материалов (например, в
    Exact
    [7, с.27]
    Suffix
    на рис.5 приведён «характерный график» функции ползучести с точкой перегиба). Однако следует проверить, не приводят ли они к недопустимым следствиям для других кривых модели (например, ТДД). Оказывается нарушение условия в некоторой точке влечёт наличие участка возрастания на теоретической кривой обратной ползучести и должно быть запрещено, т.к. в испытаниях структурно стаб
    (check this in PDF content)

  24. Start
    30187
    Prefix
    У всех стабильных материалов после снятия нагрузки наблюдается постепенное убывание (релаксация) деформации до некоторого уровня (нулевого для сетчатых полимеров в высокоэластичном состоянии). Это явление называется упругим восстановлением («recovery»), возвратом, последействием, обратной ползучестью
    Exact
    [6,10,60,68-85]
    Suffix
    . Задача его адекватного описания налагает на функцию ползучести дополнительное ограничение. Из требования (нестрогого) убывания теоретических кривых обратной ползучести (6.1) (с любым T) следует невозрастание (т.е. выпуклость вверх ()t).
    (check this in PDF content)

  25. Start
    31058
    Prefix
    Подобное явление ещё никогда не наблюдалось в испытаниях структурно стабильных материалов. Поэтому для на ФП в ОС (1.1) следует накладывать ограничение: ()t не имеет участков выпуклости вниз (это требование отсутствует во многих работах, например в
    Exact
    [1-7, 9-21, 25-28,32,34-36,39, 43 и др.]
    Suffix
    ). В силу (4.1) из этого следует, что линейные ОС не могут описывать стадию ускоряющейся ползучести. Можно доказать, что ограничение на ФП не является следствием остальных ограничений на ФР и ФП (и тождества (1.2)): существует гладкая убывающая ФР с , такая, что соответствующая ФП строго монотонна, но имеет участок с (хотя на всём этом участке ) [44].
    (check this in PDF content)

  26. Start
    31494
    Prefix
    Можно доказать, что ограничение на ФП не является следствием остальных ограничений на ФР и ФП (и тождества (1.2)): существует гладкая убывающая ФР с , такая, что соответствующая ФП строго монотонна, но имеет участок с (хотя на всём этом участке )
    Exact
    [44]
    Suffix
    . По (4.1), скорость ползучести убывает на луче 0t и, значит, имеет предел 0vv, . Тогда и ( ) /t tv при t, т.е. ( )( )tvt o t  , если 0v. Значит, при больших t ТКП (4.1) либо выходят на режим установившейся ползучести со скоростью 0v, либо обладают свойствами и ( )( )to t.
    (check this in PDF content)

  27. Start
    33597
    Prefix
    Отметим, что определить предельную остаточную деформацию  непросто, поскольку скорость обратной ползучести обычно велика в окрестности т. tT, а затем быстро падает до близких к нулю значений, восстановление идёт очень долго и трудно определить, закончилось ли оно. Для определения  используют нагрев, резко ускоряющий восстановление
    Exact
    [6,70]
    Suffix
    . Для моделей (2.1) v, т.е. 0v при 0 (для РеМ-2, СиМ-3 и РеМ-4). Если ФП ограничена (например, (2.1) с 0 или модель Работнова), то 0s и ( )0t. Нетрудно доказать, что ФП всех моделей СиМ-2k и РеМ-(2k+1) ограничены, а у РеМ-2k и СиМ(2k+1), , всегда 0v.
    (check this in PDF content)

  28. Start
    35465
    Prefix
    Для этого необходимо детальное аналитическое изучение свойств семейств КР и КП, которые порождает ОС (1.1) с произвольными ФР и ФП, и получение универсальных точных оценок их отклонения от идеальных КР и КП (4.1) при мгновенном деформировании в момент 0t
    Exact
    [45,46,65,66]
    Suffix
    . Систематическое исследование этих свойств в общем виде и даже краткий их перечень, к сожалению, отсутствуют в монографиях и обзорах по вязкоупругости, ползучести, механике полимеров и работах по исследованию и моделированию релаксации материалов и методикам определения ФР и ФП, в частности, в [1-43, 68-82] (в [46] дан подробный обзор состояния вопроса, в частности, дискуссии по поводу возможн
    (check this in PDF content)

  29. Start
    35775
    Prefix
    Систематическое исследование этих свойств в общем виде и даже краткий их перечень, к сожалению, отсутствуют в монографиях и обзорах по вязкоупругости, ползучести, механике полимеров и работах по исследованию и моделированию релаксации материалов и методикам определения ФР и ФП, в частности, в
    Exact
    [1-43, 68-82]
    Suffix
    (в [46] дан подробный обзор состояния вопроса, в частности, дискуссии по поводу возможности ревизии «ten-times rule» и расширения окна наблюдения ФР и список литературы, содержащий более двухсот работ).
    (check this in PDF content)

  30. Start
    35792
    Prefix
    Систематическое исследование этих свойств в общем виде и даже краткий их перечень, к сожалению, отсутствуют в монографиях и обзорах по вязкоупругости, ползучести, механике полимеров и работах по исследованию и моделированию релаксации материалов и методикам определения ФР и ФП, в частности, в [1-43, 68-82] (в
    Exact
    [46]
    Suffix
    дан подробный обзор состояния вопроса, в частности, дискуссии по поводу возможности ревизии «ten-times rule» и расширения окна наблюдения ФР и список литературы, содержащий более двухсот работ). Рассмотрим (непрерывную) монотонную программу деформирования *( )( / )tf t t при *[0; ]tt, ()tconst при *tt, где *,0t, (7.1) fx() - произвольная непрерывная неубывающая функция н
    (check this in PDF content)

  31. Start
    37145
    Prefix
    В сущности, можно гарантировать лишь два общих свойства: 1) если (0)R, то *(0; ) 0t для любой f; 2) если ()fx нестрого возрастает [0; ], то и *( ; )tt возрастает на *[0; / ]t (т.к. ). Качественные свойства КР на втором участке, наоборот, от f, как показал анализ
    Exact
    [65,46]
    Suffix
    , практически не зависят и совпадают со свойствами идеальной КР (4.1), влияние НС быстро затухает с течением времени, и КР (7.2) быстро сближаются с идеальной КР как при t, так и при *0t. В частности, доказано, что при любом фиксированном *t КР (7.2) убывает по t, выпукла вниз на луче *[ ; )t и имеет горизонтальную асимптоту ()R ; эта асимптота общая для всех КР (не зависит от *t
    (check this in PDF content)

  32. Start
    39374
    Prefix
    т. *tt содержит слагаемое, пропорциональное скачку : Тем самым доказано, что в линейной вязкоупругости всегда имеет место затухание памяти при релаксации – в том смысле, что модель забудет о любом воздействии (возмущении) конечной длительности *()t по прошествии достаточно большого времени (разность откликов *R стремится к нулю при */tt или по некоторой норме, когда t*0)
    Exact
    [45,52,65]
    Suffix
    . Для этого достаточно убывания и выпуклости вниз функции релаксации. Тогда как для затухания памяти при ползучести необходимо наложить на асимптотику ФП при t дополнительное ограничение: [45,52,64-66].
    (check this in PDF content)

  33. Start
    39576
    Prefix
    Для этого достаточно убывания и выпуклости вниз функции релаксации. Тогда как для затухания памяти при ползучести необходимо наложить на асимптотику ФП при t дополнительное ограничение:
    Exact
    [45,52,64-66]
    Suffix
    . Рассмотрим для иллюстрации общих свойств КР (7.2) модель РеМ-3 (рис.1,а) с НС f0.5(2 )222xx при [0; 0.5]x, f x( )22(1)1x    при [0.5;1]x (7.3) (()fx непрерывна, (0)(1)0ff, 0.5x - точка перегиба, (0.5)0.5f, интеграл S0.5).
    (check this in PDF content)

  34. Start
    39912
    Prefix
    Рассмотрим для иллюстрации общих свойств КР (7.2) модель РеМ-3 (рис.1,а) с НС f0.5(2 )222xx при [0; 0.5]x, f x( )22(1)1x    при [0.5;1]x (7.3) (()fx непрерывна, (0)(1)0ff, 0.5x - точка перегиба, (0.5)0.5f, интеграл S0.5). ФР РеМ-3 – ()tR tAer, , ,0Ar, поэтому КР (7.2) примут вид: 2 ( ; ) 4***()
    Exact
    [1]
    Suffix
    ( / ) t t tA tter f t t         при *0.5tt 20.5* ( ; ) 4****() [1(21)]( / ) t tttA ttteer f t t      при t[0.5 , ]**t t 220.5* ( ; ) 4**() (1) t tttA teer при tt*.
    (check this in PDF content)

  35. Start
    40002
    Prefix
    2) модель РеМ-3 (рис.1,а) с НС f0.5(2 )222xx при [0; 0.5]x, f x( )22(1)1x    при [0.5;1]x (7.3) (()fx непрерывна, (0)(1)0ff, 0.5x - точка перегиба, (0.5)0.5f, интеграл S0.5). ФР РеМ-3 – ()tR tAer, , ,0Ar, поэтому КР (7.2) примут вид: 2 ( ; ) 4***() [1]( / ) t t tA tter f t t         при *0.5tt 20.5* ( ; ) 4****()
    Exact
    [1(21)]
    Suffix
    ( / ) t tttA ttteer f t t      при t[0.5 , ]**t t 220.5* ( ; ) 4**() (1) t tttA teer при tt*. На рис. 4 приведены КР (7.2) модели РеМ-3 с 1A, 0.1r и 0.01; 0.1; 1 для двух НС с *10t: 3 fx4(0.5)0.5  (три чёрные КР) и f из (7.3) (голубые КР без излома в т. *t).
    (check this in PDF content)

  36. Start
    41019
    Prefix
    f для КР модели Кельвина верны точные оценки r f t t( / )***( ; )() ( / )t tA r f t t  при *tt, *( ; )()rt tA r   при *tt, т.е. все КР с любыми значениями ,,Ar для любых *0t и ()fx лежат в «полосе» между КР двух упругих элементов (жёлтые штрих-пунктирные кривые на рис. 4) с ФР Rr и RA r (т.е. с модулями упругости r и Ar). Нетрудно доказать
    Exact
    [46]
    Suffix
    , что с увеличением  (с уменьшением времени релаксации) КР целиком опускается вниз и при  семейство КР РеМ-3 сходится к КР упругого элемента с модулем Юнга Er (нижняя жёлтая штрих-пунктирная кривая), а при 0 семейство КР РеМ-3 сходится (снизу) к КР упругого элемента с модулем Юнга E A r.
    (check this in PDF content)

  37. Start
    42118
    Prefix
    При *3tt относительное отклонение КР с разными НС меньше 1% для всех 0.01; 0.1; 1, т.е. память о начальной стадии затухает очень быстро (благодаря тому, что у 1f и 2f одинаковое значение интеграла 0.5S
    Exact
    [46,65]
    Suffix
    ). Если ()f xx, то программа (7.1) превращается в двухпараметрическую программу деформирования с постоянными скоростями */at, *,0t («ramp tests»). Отклики ОС (1.1) на такие программы ramp-деформирования (кривые релаксации) имеют вид: 1 ** 00 ( ; )()( ) tt t ta R tdtR u du     при *[0; ]tt, * * 1 ** 0 ( ; )()( ) tt tt t ta R tdtR u du      при *tt
    (check this in PDF content)

  38. Start
    42853
    Prefix
    du      при *tt (7.4) Естественно, что в частном случае ()f xx КР (7.4) обладает специфическими дополнительными свойствами, помимо общих свойств КР (7.2), их удаётся изучить детальнее и получить более точные двусторонние оценки отклонений КР (7.4) от идеальной КР и универсальные двусторонние оценки для ФР через комбинации сдвигов КР (7.4) вдоль оси времени на *t, *0.5t и *1.5t
    Exact
    [46]
    Suffix
    . Основные обнаруженные в результате анализа свойств семейств КР (7.4) собраны в теореме заметки [67]. На рис.5 приведены КР модели РеМ-3 (ФР ( )etR tAr с 1A, 1, 0.1r; время релаксации 1 /1) с начальной стадией деформирования при постоянных скоростях 0.1; 0.2; 0.3; 1a (()f xx) до уровня 1 (соответственно - */10; 5; 10 / 3; 1t).
    (check this in PDF content)

  39. Start
    42953
    Prefix
    дополнительными свойствами, помимо общих свойств КР (7.2), их удаётся изучить детальнее и получить более точные двусторонние оценки отклонений КР (7.4) от идеальной КР и универсальные двусторонние оценки для ФР через комбинации сдвигов КР (7.4) вдоль оси времени на *t, *0.5t и *1.5t [46]. Основные обнаруженные в результате анализа свойств семейств КР (7.4) собраны в теореме заметки
    Exact
    [67]
    Suffix
    . На рис.5 приведены КР модели РеМ-3 (ФР ( )etR tAr с 1A, 1, 0.1r; время релаксации 1 /1) с начальной стадией деформирования при постоянных скоростях 0.1; 0.2; 0.3; 1a (()f xx) до уровня 1 (соответственно - */10; 5; 10 / 3; 1t).
    (check this in PDF content)

  40. Start
    44580
    Prefix
    СиМ-4 эквивалентна параллельному соединению моделей Фойгта и Максвелла (а также – последовательному соединению двух моделей Фойгта с разными временами ретардации, т.к. её ФП имеет вид 12 ( )12(1)(1) tt tee        
    Exact
    [62]
    Suffix
    ). Её КР (7.2) отличаются от КР РеМ-3 (рис.5) только на отрезке *[0; ]t, причём – только постоянным слагаемым */at  [46]. Поэтому КР (7.4) модели СиМ-4 имеют в т. *t разрыв со скачком a.
    (check this in PDF content)

  41. Start
    44704
    Prefix
    СиМ-4 эквивалентна параллельному соединению моделей Фойгта и Максвелла (а также – последовательному соединению двух моделей Фойгта с разными временами ретардации, т.к. её ФП имеет вид 12 ( )12(1)(1) tt tee         [62]). Её КР (7.2) отличаются от КР РеМ-3 (рис.5) только на отрезке *[0; ]t, причём – только постоянным слагаемым */at 
    Exact
    [46]
    Suffix
    . Поэтому КР (7.4) модели СиМ-4 имеют в т. *t разрыв со скачком a. При *0t (**0; )(0 )()ttRA r   , а 1 (****0; )[( )]tttr A O t       (в отличие от РеМ, у которых **(0; )(0 )ttR ).
    (check this in PDF content)

  42. Start
    46277
    Prefix
    Отметим, что отличие КР «фрактальной» модели от КР СиМ-4 в т. *tt и в правой окрестности этой точки превышают отличия их идеальных КР (розовая и красная штриховые линии) в 2-3 раза. / 0510 0 0.5 1 t Рис. 6. КР СиМ-4 и фрактальной модели (РеМ-3)+Ф при ramp-деформировании На результатах анализа общих свойствах семейств КР (7.4) при rampдеформировании
    Exact
    [46]
    Suffix
    и полученных универсальных оценках для ФР через КР (7.4), регистрируемые в испытаниях материалов, и их сдвиги вдоль оси времени основаны новые методики идентификации ФР, предложенные в [46] и статье «Двусторонние оценки для функции релаксации линейной теории наследственности через кривые релаксации при ramp-деформировании и методики её идентификации», представленной для публикации в ж
    (check this in PDF content)

  43. Start
    46513
    Prefix
    КР СиМ-4 и фрактальной модели (РеМ-3)+Ф при ramp-деформировании На результатах анализа общих свойствах семейств КР (7.4) при rampдеформировании [46] и полученных универсальных оценках для ФР через КР (7.4), регистрируемые в испытаниях материалов, и их сдвиги вдоль оси времени основаны новые методики идентификации ФР, предложенные в
    Exact
    [46]
    Suffix
    и статье «Двусторонние оценки для функции релаксации линейной теории наследственности через кривые релаксации при ramp-деформировании и методики её идентификации», представленной для публикации в журнал «Известия РАН.
    (check this in PDF content)

  44. Start
    47994
    Prefix
    aR x a dx  , или ( , )( / )aPa   (8.1) Легко проверить, что ()Pt - убывающая непрерывно дифференцируемая функция при 0t, причём ( )( )P tR t, ибо ()Rt убывает (( )( )P tR t лишь тогда, когда R t()const на [0, ]t, т.е. когда ОС (1.1) вырождается в закон Гука). Можно доказать, что при t ; для ФП справедлива оценка ( ) 1 /( )( )P ttR t  
    Exact
    [44]
    Suffix
    . Секущий и касательный модули ДД (8.1):    ( , ) /( / )aPa, ( )( / )Ra . Т.к. ( )0, ДД возрастает по . Из убывания ФР следует, что (при 0a) () убывает по , т.е ДД всегда выпукла вверх на луче 0.
    (check this in PDF content)

  45. Start
    48921
    Prefix
    Кстати, этим свойством обладает и нелинейная модель типа Максвелла с двумя материальными функциями (одна из них описывает упругие свойства и определяет форму мгновенной ДД, а вторая описывает реологию и определяет зависимости ДД от СД, скорости ползучести от напряжения и т.п.)
    Exact
    [55,58]
    Suffix
    . При СД a семейство ДД (8.1) любой регулярной модели сходится к предельной кривой (прямой) E равномерно на любом отрезке оси , ибо, в силу убывания Px(), [0, ][0, ] supsup( / )( / )0EPaEPaE         при a, поскольку ( 0)PE.
    (check this in PDF content)

  46. Start
    50208
    Prefix
    В частности, оно не годится (без модификации понятий) для материалов, у которых обнаруживается зависимость мгновенного или длительного модулей от СД (ряда керамических материалов, полимеров, композитов, костной ткани, твёрдого топлива и т.д.). Однако порой линейным ОС пытаются описать материалы, ЭДД которых имеют разные (это подчёркивается авторами) касательные в нуле при разных СД
    Exact
    [18,86,87 и др.]
    Suffix
    . При  ( , ) /ar  , и ДД обладает асимптотой только тогда, когда интеграл 0 I:[ ( )]Rr d   сходится: 00 qlim() lim [ ( / )][ ( )]rR x ar dx aRr d         .
    (check this in PDF content)

  47. Start
    55057
    Prefix
    Диаграммы деформирования при постоянных скоростях нагружения ДД с постоянной СН получается подстановкой в ОС (1.1) процесса bt: 0 ( , )( / )bx b dx  , или ( , )( / )bb  , где 1 0 ( ) :( ) t   ttd, 0t (9.1) Осреднение ФП ()t, 0t, - возрастающая непрерывно дифференцируемая функция, ( )( )tt  , ибо ()t возрастает; Можно доказать
    Exact
    [44]
    Suffix
    , что всегда ( ) ( )0.5t P t и ( ) / (0)( ) / (0)2P t Pt    при 0t. Через ()t выражается секущий модуль: 1 EbS:/( / )      .  ( , )( / )bb, а касательный модуль равен 1( , )( / )bb . ( , ) 0b, следовательно, ДД ( , )b   возрастает по .
    (check this in PDF content)

  48. Start
    57651
    Prefix
    Этот результат (как и остальные свойства ДД) двойствен критерию существования асимптоты у ДД с постоянной СД, причём угловые коэффициенты асимптот всех ДД совпадают. Модель «стандартного тела» (она эквивалентна параллельному соединению двух моделей Максвелла с разными временами релаксации
    Exact
    [44]
    Suffix
    ) – пример (регулярной) модели, чьи ДД при постоянных СН не имеют асимптот, а ДД при постоянных СД имеют (причём – горизонтальные, т.к. 0R). Из наличия у ДД (9.1) наклонной асимптоты rrYb следует, что, когда СН b0, семейство ДД ( , )b сходится (сверху) к прямой r, т.е. к ДД упругой модели с модулем :rE.
    (check this in PDF content)

  49. Start
    64612
    Prefix
    Отсутствие общего явного представления ( , )zb для ДД при постоянной СН (даже для модели Фойгта уравнение ( , )gb не удаётся разрешить относительно ) затрудняет сравнение количественных характеристик ДД. Тем не менее, можно доказать
    Exact
    [44]
    Suffix
    , что у любой регулярной модели ДД при постоянной СД ( , )ya целиком лежит ниже ДД при постоянной СН ( , )zb для СН b Ea (естественно сравнивать ДД для СД и СН, связанных линейно упругой зависимостью), причём разность ( ,)( , )zEaya возрастает по  (рис.9).
    (check this in PDF content)

  50. Start
    65134
    Prefix
    Точнее, для любой регулярной ФР (отличной от постоянной) и любой СД 0a справедливы неравенства z( ,)( , )Eaya и ( ,)( , )zEaya для всех 0 Доказательство опирается на следующую лемму
    Exact
    [44]
    Suffix
    . Лемма. Для любых дифференцируемых монотонных (в частности – для допустимых) ФР и ФП линейных ОС вязкоупругости с (0 )R   выполняется неравенство ( ) ( ) 1t R t при 0t. Если ФР имеет особенность в 0t, ДД могут вести себя иначе, и утверждения, доказанные для РеМ, могут не выполняться.
    (check this in PDF content)

  51. Start
    66051
    Prefix
    Для неограниченных ФР, не содержащих -сингулярности, тоже ( , )( , )zbya при малых  (у таких моделей (0 , ) 0ya, но (0 , )ya   и (0 , )za  ). Специфика семейств ДД моделей с неограниченной ФР рассмотрена в
    Exact
    [44,63]
    Suffix
    . В [44,62,63] детально изучены свойства семейств теоретических диаграмм деформирования (и произведения ФР и ФП) для всех (регулярных и сингулярных) трёх- и четырёхзвенных структурных реологических моделей и моделей с неограниченными степенными ФР. 11.
    (check this in PDF content)

  52. Start
    66062
    Prefix
    Для неограниченных ФР, не содержащих -сингулярности, тоже ( , )( , )zbya при малых  (у таких моделей (0 , ) 0ya, но (0 , )ya   и (0 , )za  ). Специфика семейств ДД моделей с неограниченной ФР рассмотрена в [44,63]. В
    Exact
    [44,62,63]
    Suffix
    детально изучены свойства семейств теоретических диаграмм деформирования (и произведения ФР и ФП) для всех (регулярных и сингулярных) трёх- и четырёхзвенных структурных реологических моделей и моделей с неограниченными степенными ФР. 11.
    (check this in PDF content)

  53. Start
    69193
    Prefix
    Тогда должно быть ( )0Rt при 0tt и, в силу (8.1), любая ТДД ( , )a будет иметь горизонтальный участок (площадку текучести): ( , )a  при 0, где 00:at,   P(0000/ )( )aat P tCa - линейно зависит от СД, C - площадь под графиком ФР. На первый взгляд, такие финитные функции релаксации допустимы. Однако, можно доказать
    Exact
    [44]
    Suffix
    , что ФП, ассоциированная с такой ФР в силу условия взаимной обратности операторов (1.2), не удовлетворяет ограничению (это влечёт наличие интервала возрастания на кривой обратной ползучести).
    (check this in PDF content)

  54. Start
    70403
    Prefix
    Цель данного параграфа – изучение общих свойств семейств теоретических КП при ступенчатом нагружении, порождаемых линейным ОС (1.1). Их детальное исследование в общем виде и даже краткий перечень, к сожалению, отсутствуют в монографиях и обзорах по вязкоупругости, ползучести и механике полимеров, в частности, в
    Exact
    [1-36,43,68-82]
    Suffix
    . В силу линейности и инвариантности относительно сдвигов оператора (1.1), он переводит кусочно постоянную программу нагружения с n ступеньками 1 11 1 ( )[h() h()]h() n iiinn i tt tt tt t        (12.1) (полагаем, что 00t и 1iitt) в сумму откликов на каждую ступеньку в отдельности: 1 1111 1 ( )(;)() h() n iiiinnn i tS t tt tt tt t    
    (check this in PDF content)

  55. Start
    73457
    Prefix
    Если 0v, то при циклическом импульсном нагружении (с коэффициентом асимметрии цикла равным нулю и произвольным временем отдыха между импульсами нагружения) происходит неограниченное нарастание пластической деформации (ratcheting). Если же 0v – то деформация ограничена и стабилизируется (в этом случае ОС (1.1) моделирует «приспособляемость» материала, «shakedown»). В работах
    Exact
    [45,65]
    Suffix
    исследованы свойства кривых ползучести с произвольной начальной стадией нагружения (НС) и условия независимости их асимптотики от НС (её длительности и программы нагружения); в частности, доказано, что условие 0v обеспечивает затухание влияния НС с течением времени (стремление к нулю отклонения от КП при мгновенном нагружении), т.е. является критерием затухания памяти при ползучести.
    (check this in PDF content)

  56. Start
    74392
    Prefix
    Тогда []0      Π Π Π при t, т.е. возмущение с финитным носителем вызывает затухающее отклонение отклика (не меняет асимптотики отклика, если (1)oΠ). Анализ свойств кривых релаксации с произвольной начальной стадией деформирования
    Exact
    [65,46]
    Suffix
    показал, что затухание памяти при релаксации имеет место всегда, т.е. не требует дополнительных ограничений на функцию релаксации (см. п.7). Из (12.2) и (12.5) следует ещё одно важное свойство КП (12.2) с произвольным количеством ступеней нагружения 2n для произвольной допустимой функции ползучести (возрастающей, выпуклой вверх) с любым 0v: Утверждение.
    (check this in PDF content)

  57. Start
    75399
    Prefix
    В частности, для программ, полученных любой перестановкой ступеней нагружения, кроме последней, параметр (12.6) (остаточная деформация) одинаков, и потому разность откликов (КП (12.2)) на эти программы всегда стремится к нулю при t (даже при v0). Это свойство обнаружено и детально исследовано в
    Exact
    [57,64]
    Suffix
    ; оно названо асимптотической коммутативностью ОС (1.1) при ступенчатом нагружении. Для иллюстрации общих свойств КП (12.2) при ступенчатом нагружении (12.1) рассмотрим случай 2n. Тогда при 1tt (когда 2()t) имеем: 1211( )( ) () ()ttt t       11212121( ; )()( ) () ( ; )S t tt ttS t t       , (12.7) S t t( ; )11( )()tt t  
    (check this in PDF content)

  58. Start
    80197
    Prefix
    Возникает вопрос: как ведут себя КП (12.7) при 21(0;), и при каком отношении 21/0 происходит смена возрастания КП на убывание? Точнее, когда у КП появляется интервал убывания (конечный или бесконечный) и точка минимума (см. рис.11д,е)? Этот эффект наблюдается в испытаниях разных материалов
    Exact
    [6,10,48,49,60,74,84,85,88]
    Suffix
    . Если ()    интервал убывания КП при 20 обязательно конечен, т.к. её главная часть в (12.8) возрастает. Если ()   , то 2( )( )(1)to    и, в принципе, КП может убывать на всём луче 1tt.
    (check this in PDF content)

  59. Start
    86554
    Prefix
    КП для ФП arctgAt c  при разных отношениях 21/ Таким образом, исследование общих свойств функции (13.2), соответствующей произвольной ФП, позволило классифицировать возможные типы поведения кривых ползучести при двухступенчатом нагружении с 21(0;) (подробнее см.
    Exact
    [45]
    Suffix
    ), и указать, когда линейное ОС (1.1) способно описывать наличие точки минимума у КП. В частности, оказалось, что возможно наличие и двух точек экстремума (минимума после максимума) на интервале *tt.
    (check this in PDF content)

  60. Start
    86760
    Prefix
    свойств функции (13.2), соответствующей произвольной ФП, позволило классифицировать возможные типы поведения кривых ползучести при двухступенчатом нагружении с 21(0;) (подробнее см. [45]), и указать, когда линейное ОС (1.1) способно описывать наличие точки минимума у КП. В частности, оказалось, что возможно наличие и двух точек экстремума (минимума после максимума) на интервале *tt. В
    Exact
    [45]
    Suffix
    также исследованы условия воспроизведения линейным ОС (1.1) эффекта Кольрауша (при знакопеременной программе нагружения (12.1) из трёх ступеней), а в [57, 64] обнаружено свойство асимптотической коммутативности КП ОС (1.1) при ступенчатом нагружении (при перестановке ступеней нагружения).
    (check this in PDF content)

  61. Start
    86918
    Prefix
    В частности, оказалось, что возможно наличие и двух точек экстремума (минимума после максимума) на интервале *tt. В [45] также исследованы условия воспроизведения линейным ОС (1.1) эффекта Кольрауша (при знакопеременной программе нагружения (12.1) из трёх ступеней), а в
    Exact
    [57, 64]
    Suffix
    обнаружено свойство асимптотической коммутативности КП ОС (1.1) при ступенчатом нагружении (при перестановке ступеней нагружения). Аналогичные результаты получены в [57], для КР, порождённых ОС нелинейной теории наследственности Ю.
    (check this in PDF content)

  62. Start
    87136
    Prefix
    В [45] также исследованы условия воспроизведения линейным ОС (1.1) эффекта Кольрауша (при знакопеременной программе нагружения (12.1) из трёх ступеней), а в [57, 64] обнаружено свойство асимптотической коммутативности КП ОС (1.1) при ступенчатом нагружении (при перестановке ступеней нагружения). Аналогичные результаты получены в
    Exact
    [57]
    Suffix
    , для КР, порождённых ОС нелинейной теории наследственности Ю.Н. Работнова с двумя материальными функциями, обобщающего ОС (1.1) посредством введения второй материальной функции ()x [5,13,72]: 0 ( ( ))()( ) t  ttd    , 0 ( )() ( ( ))( ) t tR td     , 0t.
    (check this in PDF content)

  63. Start
    87322
    Prefix
    Аналогичные результаты получены в [57], для КР, порождённых ОС нелинейной теории наследственности Ю.Н. Работнова с двумя материальными функциями, обобщающего ОС (1.1) посредством введения второй материальной функции ()x
    Exact
    [5,13,72]
    Suffix
    : 0 ( ( ))()( ) t  ttd    , 0 ( )() ( ( ))( ) t tR td     , 0t. В англоязычных работах ОС Работнова широко применяется для моделирования биологических тканей, но называется уравнением квазилинейной вязкоупругости – «QLV» – без упоминания имени Работнова. 14.
    (check this in PDF content)

  64. Start
    88888
    Prefix
    Подобный качественный анализ ОС, выявление арсенала его возможностей, области адекватности и способов настройки, создание своеобразного технического руководства модели – важная стадия аттестации любого ОС
    Exact
    [52-58]
    Suffix
    . В частности, выявлены качественные сходства и отличия ТДД при постоянных СН и СД, специфика ТДД моделей всех трёх основных классов моделей (с регулярной, неограниченной и сингулярной ФР); доказано, что все ТДД всегда монотонны и выпуклы вверх; что ТДД смещаются вверх с ростом СД и СН, но их мгновенный и длительный модули ER(0) и ()rR не зависят от скоростей; что при стремлении скорости к
    (check this in PDF content)

  65. Start
    93123
    Prefix
    по ней функцию релаксации, и т.д.), диаграмм деформирования с кусочно-постоянной скоростью деформации, кривых ползучести с произвольной начальной стадией нагружения (не обязательно монотонной), условий моделирования «аномального поведения» при ползучести и релаксации («anomalous stress relaxation», «unusual mechanical response in creep», «rate-reversal behavior in creep and relaxation»
    Exact
    [47-51]
    Suffix
    ), эффекта Кольрауша, эволюции петель гистерезиса, эффекта Маллинза, рэтчетинга (ratcheting) и приспособляемости (shakedown) и других эффектов, наблюдаемых при ступенчатом и кусочно линейном (в частности, циклическом) нагружениях вязкоупругопластичных материалов [5,10, 11, 14, 34- 36, 43, 47-51, 60, 70, 77, 82-85, 88-106].
    (check this in PDF content)

  66. Start
    93394
    Prefix
    («anomalous stress relaxation», «unusual mechanical response in creep», «rate-reversal behavior in creep and relaxation» [47-51]), эффекта Кольрауша, эволюции петель гистерезиса, эффекта Маллинза, рэтчетинга (ratcheting) и приспособляемости (shakedown) и других эффектов, наблюдаемых при ступенчатом и кусочно линейном (в частности, циклическом) нагружениях вязкоупругопластичных материалов
    Exact
    [5,10, 11, 14, 34- 36, 43, 47-51, 60, 70, 77, 82-85, 88-106]
    Suffix
    . В дальнейшем планируется обобщение (части) полученных результатов на случай линейного ОС вязкоупругости учитывающего эволюцию материала (старение и т.п.), в котором ФР и ФП имеют вид ( , )Ft, а не ()Ft, как в (1.1), а так же – на разные версии нелинейных ОС вязкоупругости, содержащие однократные интегралы (в частности, ОС Работнова [57], Ильюшина, Победри и ОС главной квазилинейной тео
    (check this in PDF content)

  67. Start
    93792
    Prefix
    В дальнейшем планируется обобщение (части) полученных результатов на случай линейного ОС вязкоупругости учитывающего эволюцию материала (старение и т.п.), в котором ФР и ФП имеют вид ( , )Ft, а не ()Ft, как в (1.1), а так же – на разные версии нелинейных ОС вязкоупругости, содержащие однократные интегралы (в частности, ОС Работнова
    Exact
    [57]
    Suffix
    , Ильюшина, Победри и ОС главной квазилинейной теории вязкоупругости).
    (check this in PDF content)