The 26 reference contexts in paper S. Sakulin A., С. Сакулин А. (2016) “К вопросу выбора операторов агрегирования для формирования интегральных оценок успеваемости учащихся // The Question of Selecting Aggregation Operator to Develop Integral Students’ Academic Progress Score” / spz:neicon:technomag:y:2016:i:4:p:124-138

  1. Start
    1738
    Prefix
    оценки успеваемости учащихся используются для принятия решений о зачислении претендентов на различные вакантные места, составления всевозможных рейтингов, при назначении размера стипендий и т.п. В связи с этим вопрос обоснованного и тщательного формирования интегральных оценок успеваемости представляется важным. В настоящее время этому вопросу посвящён ряд публикаций
    Exact
    [1-4]
    Suffix
    . Во многом возможности агрегирования оценок определяются выбором типа оператора агрегирования, с помощью которого будет осуществляться объединение или свертка локальных оценок в интегральные на основе формализованных экспертных предпочтений.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    2005
    Prefix
    Во многом возможности агрегирования оценок определяются выбором типа оператора агрегирования, с помощью которого будет осуществляться объединение или свертка локальных оценок в интегральные на основе формализованных экспертных предпочтений. В статье
    Exact
    [2]
    Suffix
    основное внимание было уделено вопросу практической применимости аппарата нечётких мер и интегралов для формирования интегральных оценок успеваемости учащихся, вместе с тем, вопрос выбора оператора агрегирования не был в достаточной мере в ней рассмотрен.
    (check this in PDF content)

  3. Start
    4903
    Prefix
    Например, по мнению отдельно взятого эксперта, если учащийся стремится стать программистом, то для него важнее на «отлично» знать русский язык и, математику с информатикой, чем географию, биологию или литературу. Подобные рассуждения экспертов в теории полезности называют предпочтительной зависимостью
    Exact
    [5,6]
    Suffix
    . Формально предпочтительная зависимость критериев описывается следующим образом. Реализация оценок g представляет собой совокупность поставленных учащемуся оценок по отдельным предметам. Предположим, что предпочтения эксперта на множестве учеников (множестве реализаций оценок) А известны и выражены отношением нестрогого порядка А.
    (check this in PDF content)

  4. Start
    5951
    Prefix
    В противном случае подмножество оценок JD является предпочтительно зависимым от подмножества DJ. Полный набор оценок J называется взаимно предпочтительно независимым, если подмножество Dпредпочтительно независимо от подмножества DJ для каждого подмножества DJ
    Exact
    [6]
    Suffix
    . Таким образом, оператор агрегирования оценок нужно выбирать так, чтобы с его помощью возможно было бы формализовать подобные экспертные предпочтения. Ещё одной особенностью рассматриваемой прикладной области является требование к объективности агрегирования, при выполнении которого оператор не должен вносить в результат дополнительного субъективизма, не связанного с субъект
    (check this in PDF content)

  5. Start
    6975
    Prefix
    В качестве примера такой особенности прикладной области можно привести ситуацию, при которой важность какого-либо отдельного предмета при формировании интегральной оценки завышена относительно остальных предметов не в результате предпочтений эксперта, а в результате применения того или иного метода построения оператора агрегирования. Авторы работы
    Exact
    [7]
    Suffix
    , посвящённой выбору и построению операторов агрегирования в области систем принятия решений для медицинской диагностики, выделяют среди прочих свойств операторов их неформализованные свойства, такие как эмпирическая пригодность, адаптируемость и семантическая ясность.
    (check this in PDF content)

  6. Start
    9219
    Prefix
    В рассматриваемой прикладной области применяются также операторы с компенсационными свойствами, такие как среднее арифметическое, взвешенное среднее арифметическое. В настоящее время известно большое число форм операторов агрегирования, например, OWA операторы Ягера, интегралы Шоке и Сугено, а также другие, менее распространённые
    Exact
    [8]
    Suffix
    . Рассмотрим различные операторы агрегирования, исходя из перечисленных выше свойств, обусловленных соответствующими особенностями рассматриваемой прикладной области. Чаще всего на практике в качестве оператора агрегирования оценок применяют простое среднее арифметическое:    H h Hhg H AGGgg 1 1 1 (,...,) (3) Этот оператор обладает свойствами (1) и (2), но не отражает различия
    (check this in PDF content)

  7. Start
    10108
    Prefix
    оператором для агрегирования оценок, также обладающим свойствами (1) и (2), является взвешенное среднее арифметическое:    H h AGGggHhhgw 1 (1),..., (4) где hw - весовые коэффициенты, определяющие субъективный вес отдельных оценок,    H h wh 1 1 . Ни один аддитивный оператор агрегирования не в состоянии отразить предпочтительную зависимость, выраженную экспертом
    Exact
    [5]
    Suffix
    . Поэтому простое среднее арифметическое (3) и средневзвешенный оператор (4) не подходят для формирования интегральных оценок успеваемости. В качестве альтернативы рассмотренным операторам применимы OWA (Ordered Weighted Averaging) операторы Ягера.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    10440
    Prefix
    Поэтому простое среднее арифметическое (3) и средневзвешенный оператор (4) не подходят для формирования интегральных оценок успеваемости. В качестве альтернативы рассмотренным операторам применимы OWA (Ordered Weighted Averaging) операторы Ягера. С их помощью возможно отразить предпочтительную зависимость оценок
    Exact
    [8]
    Suffix
    . Пример использования такого оператора в области формальной оценки риска инвестирования в малое инновационное предприятие представлен в статье [9]. Для реализации такого применения необходимо формализовать предоставленную экспертом информацию о допустимой форме компромисса между значениями по разным отдельным показателям инвестиционной привлекательности с помощью нечёткого квантификатора
    (check this in PDF content)

  9. Start
    10633
    Prefix
    С их помощью возможно отразить предпочтительную зависимость оценок [8]. Пример использования такого оператора в области формальной оценки риска инвестирования в малое инновационное предприятие представлен в статье
    Exact
    [9]
    Suffix
    . Для реализации такого применения необходимо формализовать предоставленную экспертом информацию о допустимой форме компромисса между значениями по разным отдельным показателям инвестиционной привлекательности с помощью нечёткого квантификатора.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    11769
    Prefix
    Достоинством интеграла Шоке является возможность его применения для представления не только важности отдельных оценок, но и взаимозависимостей этих оценок, в частности, описанной выше предпочтительной зависимости и корреляции. В последнее время расширяется применение интеграла Шоке для решения практических задач в различных областях
    Exact
    [2,3,10-12]
    Suffix
    . Интеграл Шоке обладает свойством эмпирической пригодности в области формирования интегральных оценок успеваемости учащихся, поскольку для него выполняются свойства неубывания (1) и идемпотентности (2), и он пригоден для формального представления знаний эксперта о корреляции и предпочтительной зависимости оценок.
    (check this in PDF content)

  11. Start
    14134
    Prefix
    Грабиш для упрощения реализации этого подготовительного этапа предложил использовать нечёткие меры - го порядка, для которых зависимости между более чем  критериями не рассматриваются. Наиболее часто на практике применяется 2-аддитивная нечёткая мера. Несмотря на относительную простоту, она позволяет моделировать предпочтительную зависимость между критериями
    Exact
    [13]
    Suffix
    . Здесь следует отметить, что в случае, если экспертные предпочтения будут содержать зависимости между более чем двумя критериями, порядок нечёткой меры можно увеличить, что позволит в полном объёме формализовать знания эксперта.
    (check this in PDF content)

  12. Start
    14428
    Prefix
    Здесь следует отметить, что в случае, если экспертные предпочтения будут содержать зависимости между более чем двумя критериями, порядок нечёткой меры можно увеличить, что позволит в полном объёме формализовать знания эксперта. В случае 2-го порядка интеграл Шоке имеет вид
    Exact
    [14]
    Suffix
    :    iJJji СggHiijggjiijgi {,} (1),min()()()()(),..., (5) Величина и знак взаимодействия двух критериев i и j выражается индексом взаимодействия [14]: JjijiijijI},{),()()()( (6) Индекс Шепли критерия i выражает относительный вес этого критерия среди других критериев [14]: Jijiijii jJi   ()()(), 2 1 ()() ()  (7) Выполнение свойства семан
    (check this in PDF content)

  13. Start
    14582
    Prefix
    В случае 2-го порядка интеграл Шоке имеет вид [14]:    iJJji СggHiijggjiijgi {,} (1),min()()()()(),..., (5) Величина и знак взаимодействия двух критериев i и j выражается индексом взаимодействия
    Exact
    [14]
    Suffix
    : JjijiijijI},{),()()()( (6) Индекс Шепли критерия i выражает относительный вес этого критерия среди других критериев [14]: Jijiijii jJi   ()()(), 2 1 ()() ()  (7) Выполнение свойства семантической ясности интеграла Шоке не так очевидно, при работе с ним у экспертов часто возникают трудности.
    (check this in PDF content)

  14. Start
    14717
    Prefix
    В случае 2-го порядка интеграл Шоке имеет вид [14]:    iJJji СggHiijggjiijgi {,} (1),min()()()()(),..., (5) Величина и знак взаимодействия двух критериев i и j выражается индексом взаимодействия [14]: JjijiijijI},{),()()()( (6) Индекс Шепли критерия i выражает относительный вес этого критерия среди других критериев
    Exact
    [14]
    Suffix
    : Jijiijii jJi   ()()(), 2 1 ()() ()  (7) Выполнение свойства семантической ясности интеграла Шоке не так очевидно, при работе с ним у экспертов часто возникают трудности. Эти трудности связаны с тем, что многие практические специалисты не имеют ясного представления об интеграле Шоке и его параметрах.
    (check this in PDF content)

  15. Start
    15273
    Prefix
    Преодолеть эти трудности представляется возможным с помощью той или иной визуализации применяемого аппарата, дающей эксперту его интуитивное видение. В частности, существует графическая интерпретация интеграла Шоке второго порядка
    Exact
    [15]
    Suffix
    . Она представляет собой ограниченную область в прямоугольных координатах, где по оси абсцисс откладываются величины индексов Шепли критериев (7), а по оси ординат - значения индексов взаимодействия (6).
    (check this in PDF content)

  16. Start
    15611
    Prefix
    Она представляет собой ограниченную область в прямоугольных координатах, где по оси абсцисс откладываются величины индексов Шепли критериев (7), а по оси ординат - значения индексов взаимодействия (6). Недостаток графической интерпретации заключается в невозможности визуализации с её помощью более двух критериев. В статье
    Exact
    [16]
    Suffix
    рассмотрены возможные пути преодоления указанных трудностей. В частности, при работе с экспертом возможно применение визуализации интеграла Шоке на основе сопоставления ему физического объекта. Для формализации экспертных знаний об агрегировании оценок по отдельным предметам также возможно применение интеграла Сугено.
    (check this in PDF content)

  17. Start
    16248
    Prefix
    Однако, этот интеграл применяется для агрегирования, при котором на результат влияет порядок расположения значений отдельных оценок (порядковые шкалы) относительно друг друга, в то время, как применение интеграла Шоке предполагает влияние значений каждой из отдельных оценок на результат агрегирования
    Exact
    [6]
    Suffix
    , для интеграла Сугено не предложены средства визуализации. Кроме того, работа с интегралом Сугено осложняется тем, что для него не разработано применимое на практике "представление взаимодействия" и соответствующее программное обеспечение, подобно тому, как это сделано для интеграла Шоке [17].
    (check this in PDF content)

  18. Start
    16598
    Prefix
    Кроме того, работа с интегралом Сугено осложняется тем, что для него не разработано применимое на практике "представление взаимодействия" и соответствующее программное обеспечение, подобно тому, как это сделано для интеграла Шоке
    Exact
    [17]
    Suffix
    . Таким образом, интеграл Шоке по нечёткой мере в сравнении с другими операторами агрегирования наиболее соответствует особенностям рассматриваемой прикладной области формирования интегральных оценок успеваемости учащихся и пригоден к практическому применению. 3.
    (check this in PDF content)

  19. Start
    17315
    Prefix
    Нечёткая мера не определяется одними лишь предпочтениями эксперта, а зависит также от самого метода идентификации, с использованием которого она была получена. На сегодняшний день известны различные методы идентификации нечётких мер
    Exact
    [17]
    Suffix
    , например, метод наименьших квадратов, максимального разделения, наименьшей дисперсии и т.д. Выбор того или иного метода идентификации определяется исходя из особенностей прикладной области и целей самой идентификации.
    (check this in PDF content)

  20. Start
    17801
    Prefix
    Рассмотрим наиболее распространённые методы идентификации нечёткой меры применительно к интегралу Шоке, используемому для формирования интегральных оценок учащихся. Исторически первым методом идентификации нечётких мер стал метод наименьших квадратов
    Exact
    [17]
    Suffix
    . Этот метод отличается простотой, а также тем, что в качестве входных данных применяются желаемые значения интеграла Шоке на известных значениях оценок по отдельным предметам, другие виды экспертных предпочтений не учитываются.
    (check this in PDF content)

  21. Start
    19275
    Prefix
    Сделать это можно только косвенно, с помощью задания желаемых значений интеграла Шоке на обучающей выборке. Вместе с тем, к достоинствам рассмотренного метода можно отнести то, что он относительно прост в реализации. Метод максимального разделения для идентификации нечёткой меры
    Exact
    [18]
    Suffix
    заключается в максимизации целевой функции вида )(MSF при следующих ограничениях:                   CH Dk DG Dk DG CC aD aDiGJi ()() ()1, ()0, 0 1 gg Здесь JG, k- порядок нечёткой меры ,     DG GD aDD)()1()( - функция Мёбиуса по , CH- порог безразличия, задаваемый экспертом как минимальная значимая разность между результатами агрегиров
    (check this in PDF content)

  22. Start
    20021
    Prefix
    В качестве входной информации для этого метода идентификации пригодны предпочтения эксперта на множестве отдельных предметов J, на множестве реализаций оценок А и на множестве индексов взаимодействия
    Exact
    [18]
    Suffix
    , сформулированные в виде нестрогих порядков на соответствующих множествах, что выгодно отличает его от метода наименьших квадратов, так как при этом эксперт может в явном виде формализовать знания об относительной значимости и о корреляции оценок.
    (check this in PDF content)

  23. Start
    20936
    Prefix
    К недостаткам рассмотренного метода следует отнести также то, что решение в виде нечёткой меры не обязательно уникально. Достоинством этого метода является его относительная простота. В основу метода идентификации нечёткой меры путём минимизации её дисперсии
    Exact
    [19]
    Suffix
    положен принцип максимальной энтропии. В соответствии с этим принципом, в случае, если имеются частичные сведения о возможных реализациях случайной величины, то необходимо выбирать такое её вероятностное распределение, которое максимизирует неопределённость недостающих данных [20].
    (check this in PDF content)

  24. Start
    21216
    Prefix
    В соответствии с этим принципом, в случае, если имеются частичные сведения о возможных реализациях случайной величины, то необходимо выбирать такое её вероятностное распределение, которое максимизирует неопределённость недостающих данных
    Exact
    [20]
    Suffix
    . Иначе говоря, необходимо найти такое распределение, которое будет согласовано с доступными данными, а к недоступной информации необходимо относиться по возможности непредвзято. При работе с экспертом принцип максимизации энтропии означает, что среди распределений, совместимых с мнением эксперта, нужно выбирать распределение с максимальной энтропией.
    (check this in PDF content)

  25. Start
    21645
    Prefix
    Иначе говоря, необходимо найти такое распределение, которое будет согласовано с доступными данными, а к недоступной информации необходимо относиться по возможности непредвзято. При работе с экспертом принцип максимизации энтропии означает, что среди распределений, совместимых с мнением эксперта, нужно выбирать распределение с максимальной энтропией. В
    Exact
    [19]
    Suffix
    описано применение этого принципа в рамках метода идентификации нечётких мер. Этот метод основан на минимизации дисперсии нечёткой меры:  2 111 ! ! ( ):() ! MV i J G J iD G JGG Fa D i JJJ            Минимизация дисперсии нечёткой меры эквивалентна максимизации её энтропии [21]:   1 1 !
    (check this in PDF content)

  26. Start
    21960
    Prefix
    Этот метод основан на минимизации дисперсии нечёткой меры:  2 111 ! ! ( ):() ! MV i J G J iD G JGG Fa D i JJJ            Минимизация дисперсии нечёткой меры эквивалентна максимизации её энтропии
    Exact
    [21]
    Suffix
    :   1 1 ! ! ( ):() ( ) ! J M iG J i JGG HhG iG J       , где       0,0 ln,0 () еслиx xxеслиx hx По этой причине метод идентификации на основе минимизации дисперсии иногда упоминают как метод максимизации энтропии.
    (check this in PDF content)