The 19 reference contexts in paper A. Karpenko P., A. Savelov S., V. Platitsyn I., А. Карпенко П., А. Савелов С., В. Платицын И. (2016) “Гибридизация методов зондирования области поиска и адаптивных взвешенных сумм в задаче Парето-аппроксимации // Hybridization of Sensing Methods of the Search Domain and Adaptive Weighted Sum in the Pareto Approximation Problem” / spz:neicon:technomag:y:2015:i:9:p:262-278

  1. Start
    2570
    Prefix
    Характерной чертой непопуляционных методов является отыскание на каждой итерации метода всего одной или нескольких точек, близких к множеству (фронту) Парето. Основными классами непопуляционных методов являются сеточные методы и методы на основе свертки целевых функций
    Exact
    [1]
    Suffix
    . В отличие от этого, популяционные методы предполагают отыскание на каждой итерации набора точек, близких к множеству или к фронту Парето. К популяционным методам относятся методы лексикографической турнирной селекции, чередующихся целевых функций, методы, использующие ранжирование агентов популяции, и методы, не использующие такое ранжирование [1].
    (check this in PDF content)

  2. Start
    2939
    Prefix
    К популяционным методам относятся методы лексикографической турнирной селекции, чередующихся целевых функций, методы, использующие ранжирование агентов популяции, и методы, не использующие такое ранжирование
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Работа посвящена исследованию эффективности нескольких авторских модификаций метода адаптивных взвешенных сумм (Adaptive Weighted Sum, AWS), предложенного в работе Рю, Ким и Ван (J-H.
    (check this in PDF content)

  3. Start
    3157
    Prefix
    Работа посвящена исследованию эффективности нескольких авторских модификаций метода адаптивных взвешенных сумм (Adaptive Weighted Sum, AWS), предложенного в работе Рю, Ким и Ван (J-H. Ryu, S. Kim, H. Wan)
    Exact
    [2]
    Suffix
    . Для решения задачи Парето-аппроксимации метод AWS использует аддитивную свертку частных целевых функций. Однако в отличие от классического метода суммы взвешенных критериев (Weighted Sum, WS), также использующего такую свертку, метод AWS предполагает адаптацию весовых коэффициентов в процессе итераций на основе информации о текущем положении подобласти поиска (об
    (check this in PDF content)

  4. Start
    4101
    Prefix
    Эффективное решение данного класса задача в методе AWS достигается за счет использования квадратичной аппроксимации целевых функций в текущей области доверия, то есть за счет использования квадратичных метамоделей (суррогатных моделей) этих функций
    Exact
    [3, 4]
    Suffix
    . В оригинальной версии метода AWS указанные метамодели строят на основе градиента и матрицы Гессе целевых функций. В данной работе для построения (квадратичных) метамоделей целевых функций используем методы теории планирования экспериментов [5], которые предполагают вычисление значений этих функций в узлах сетки, покрывающей область доверия (метод зондирования области поиск
    (check this in PDF content)

  5. Start
    4365
    Prefix
    В оригинальной версии метода AWS указанные метамодели строят на основе градиента и матрицы Гессе целевых функций. В данной работе для построения (квадратичных) метамоделей целевых функций используем методы теории планирования экспериментов
    Exact
    [5]
    Suffix
    , которые предполагают вычисление значений этих функций в узлах сетки, покрывающей область доверия (метод зондирования области поиска). Можно, очевидно, предложить большое число методов зондирования.
    (check this in PDF content)

  6. Start
    4886
    Prefix
    В работе рассмотрено две группы методов зондирования – методы на основе гиперкуба и методы на основе гиперсферы. Для каждой из этих групп на ряде тестовых МЦО-задач выполнено исследование эффективности следующих сеток: «латинский гиперкуб»
    Exact
    [6]
    Suffix
    ; сетка, являющаяся равномерно случайной по каждому из измерений; сетка, основанная на ЛПτ последовательностях [7]. Работа построена следующим образом. В первом разделе дана постановка МЦОзадачи.
    (check this in PDF content)

  7. Start
    5008
    Prefix
    Для каждой из этих групп на ряде тестовых МЦО-задач выполнено исследование эффективности следующих сеток: «латинский гиперкуб» [6]; сетка, являющаяся равномерно случайной по каждому из измерений; сетка, основанная на ЛПτ последовательностях
    Exact
    [7]
    Suffix
    . Работа построена следующим образом. В первом разделе дана постановка МЦОзадачи. Во втором разделе представлен метод AWS в его исходном виде. Третий раздел содержит описание предложенных модификаций метода.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    7047
    Prefix
    сумм Метод AWS в своем исходном варианте ориентирован на решение двухцелевой МЦО-задачи и включает в себя три следующие основные процедуры: - определение центральной точки; - формирование метамоделей частных критериев оптимальности; - решение оптимизационных задач на основе полученных метамоделей. Рассмотрим суть указанных процедур. Детальное изложение этих процедур дано в работе
    Exact
    [2]
    Suffix
    . Определение центральной точки. На этапе инициализации центральную точку 0CX выбираем случайным образом в области XD. На этом же этапе должны быть определены следующие свободные параметры алгоритма:  - начальный радиус области доверия (trust region radius); )1;0( - коэффициент сужения этой области; m in - минимальная величина радиуса области.
    (check this in PDF content)

  9. Start
    7674
    Prefix
    На итерации )1(t центральную точку отыскиваем среди точек текущей Парето-аппроксимации )(tXX, построенной на предыдущей итерации t. Здесь j* - индекс точки множества , которой соответствует наиболее изолированная точка множества
    Exact
    [2]
    Suffix
    . Формирование метамоделей. Метамодели представляют собой квадратичные аппроксимации )(1Xm, )(2Xm функций )(1Xf, )(2Xf в окрестности точки CX: Здесь )(CiXf, )(CiXH - градиент и матрица Гессе функции )(Xfi в точке CX соответственно; 2,1i.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    9610
    Prefix
    Модификации метода адаптивных взвешенных сумм Рассматриваем две группы модификаций, использующие в качестве области доверия: 1) гиперкуб K со стороной a и с центром в центральной точке XC(,,...,),2,1,XCCCxxx этой области, 2) гиперсферу Г радиуса a/2 с центром в той же точке. Каждая из групп модификаций включает в себя следующие типы сеток: - латинский гиперкуб
    Exact
    [6]
    Suffix
    ; - сетка, являющаяся равномерно случайной по каждому их измерений; - сетка, основанная на ЛПτ последовательностях [7]. Заметим, что в случае использования области доверия в виде гиперсферы сетку на основе латинского гиперкуба можно отнести к указанному классу экспериментальных планов лишь условно, поскольку речь в этом случае идет не о декартовом пространстве, но о пространстве полярных к
    (check this in PDF content)

  11. Start
    9723
    Prefix
    Каждая из групп модификаций включает в себя следующие типы сеток: - латинский гиперкуб [6]; - сетка, являющаяся равномерно случайной по каждому их измерений; - сетка, основанная на ЛПτ последовательностях
    Exact
    [7]
    Suffix
    . Заметим, что в случае использования области доверия в виде гиперсферы сетку на основе латинского гиперкуба можно отнести к указанному классу экспериментальных планов лишь условно, поскольку речь в этом случае идет не о декартовом пространстве, но о пространстве полярных координат.
    (check this in PDF content)

  12. Start
    10341
    Prefix
    Полагаем далее, что N – число вычислений значений (испытаний) целевых функций с целью зондирования области доверия с помощью данной сетки (плана). 3.1. Гиперкубовые методы зондирования Латинский гиперкуб. За основу возьмем класс планов, исследуемых в теории планирования эксперимента
    Exact
    [6]
    Suffix
    , основная реализационная идея которых состоит в том, что ни для каких двух точек плана их проекции на координатные оси не должны совпадать. Схема алгоритма имеет следующий вид. 1) Строим )(XN-матрицу }{,jibB, столбцами которой являются случайные перестановки без повторений набора чисел N,...,2,1. 2) В качестве пробной точки iQ, Ni:1 используем точку с координатами   
    (check this in PDF content)

  13. Start
    13154
    Prefix
    В противном случае повторно генерируем i-ую зондирующую точку; . Теоретическим основанием для применения описанной выше процедуры является тот факт, что последовательность точек }{iQ является равномерно распределенной
    Exact
    [7]
    Suffix
    . 4. Программная реализация модифицированного метода AWS В силу кроссплатформенности и высокой эффективности в качестве языка программирования использован язык C#. Разработка программы выполнена с использованием среды разработки программного обеспечения VisualStudio 2013, функционирующей под управлением операционной системы Microsoft Windows 7.
    (check this in PDF content)

  14. Start
    14442
    Prefix
    Исследование эффективности модификаций метода AWS 5.1. Тестовые функции Для исследования эффективности методов Парето-аппроксимации обычно используют тестовые МЦО-задачи известных наборов ZDT
    Exact
    [9]
    Suffix
    . При этом выделяют следующие классы тестовых задач: задачи с непрерывным выпуклым фронтом Парето; аналогичные задачи с вогнутым фронтом Парето; задачи с разрывным (несвязным) фронтом Парето.
    (check this in PDF content)

  15. Start
    14775
    Prefix
    При этом выделяют следующие классы тестовых задач: задачи с непрерывным выпуклым фронтом Парето; аналогичные задачи с вогнутым фронтом Парето; задачи с разрывным (несвязным) фронтом Парето. Оценка эффективности предложенных модификаций метода AWS выполнена на следующих представителях указанных классов задач
    Exact
    [9]
    Suffix
    . Задача ZDT7: D=30],:1[1,0XXix|XiX; fx=xfX)(11; f2)()(XhXg=X;    X i= i X X x gXgx,x=+ 2 2, 1 ()...19; . (,...,) () 1 2 1 gxxX fX hX= Задача является тридцатимерной и двухкритериальной, имеет непрерывный выпуклый фронт Парето (рисунок 3).
    (check this in PDF content)

  16. Start
    16011
    Prefix
    Эти индикаторы могут быть построены на основе большого числа унарных и бинарных критериев качества Паретоаппроксимации. В работе в качестве таких критериев используем два следующих унарных критерия
    Exact
    [10]
    Suffix
    . Среднее расстояние (GD) до точного фронта (Generalization Distance) определяет формула min , () 1 1 *               F j F jjE GD FF I, где * Fj - ближайшая к точке jF точка множества * DF; E - евклидова векторная норма.
    (check this in PDF content)

  17. Start
    16529
    Prefix
    Среднее рассеяние (SP) точек полученной Парето-аппроксимации (Spacing) представляет собой меру равномерности распределения решений этой аппроксимации. Критерий задает формула min 1 1 () 1     j ISPjddabs, где jkkjjkM dFXFX)(),(min 
    Exact
    [1:]
    Suffix
    ,  - минимальное манхеттоновское расстояние M между решением )(jXF и остальными аппроксимирующими решениями; d - среднее всех этих величин. В качестве индикаторов качества Парето-аппроксимации используем оценки математического ожидания критериев GD, SP, полученные методом мультистарта по m стартам исследуемого алгоритма.
    (check this in PDF content)

  18. Start
    20334
    Prefix
    Такая ситуация свидетельствует о противоречивости индикаторов GD, SP и является типичной для МЦО-задач. Выбор лучшего метода зондирования в этом случае может быть выполнен только ЛПР на основе его неформализованных или тем или иным образом формализованных предпочтений
    Exact
    [11]
    Suffix
    . 4) Для задачи ZDT3 результаты вычислительного эксперимента имеют принципиально иной характер: как по индикатору GD, так и по индикатору SP лучшим является метод зондирования на основе гиперкубовой ЛПτ последовательности.
    (check this in PDF content)

  19. Start
    21864
    Prefix
    Этот вывод показывает целесообразность дальнейших исследований эффективности различных методов зондирования. С этой целью авторы планируют использовать более широкий и сложный набор тестовых функций
    Exact
    [12]
    Suffix
    , рассмотреть другие индикаторы качества Парето-аппроксимации. Результаты исследования позволяют сформулировать следующую гипотезу: для всех классов задач Парето-аппроксимации метод зондирования на основе ЛПτ последовательностей дает хорошие результаты по обоим индикаторам качества аппроксимации.
    (check this in PDF content)