The 26 reference contexts in paper S. Solov’eva A., С. Соловьева А. (2016) “Специальный вариант метода моментов для интегральных уравнений Фредгольма второго рода // A Special Variant of the Moment Method for Fredholm Integral Equations of the Second Kind” / spz:neicon:technomag:y:2015:i:8:p:239-251

  1. Start
    1719
    Prefix
    Введение Рассмотрим линейное интегральное уравнение второго рода (УВР) )())(()())((tytKxtxtAx ])1,0[(It, (1) где  1 0 ()()(,)(),dssxstKtKx )()(),(),( ()2() KtsCIytCI mm  – известные функции, а )(tx C()()Im – искомая функция. Уравнения Фредгольма второго рода возникают во многих областях современной математики и ее приложений. В качестве иллюстрации можно привести работы
    Exact
    [1]
    Suffix
    –[5] и многие другие. Теория точных и приближенных методов решения УВР достаточно хорошо разработана. Полученные результаты можно найти, например, в справочных пособиях Иванова В.В., Верланя А.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    1723
    Prefix
    Введение Рассмотрим линейное интегральное уравнение второго рода (УВР) )())(()())((tytKxtxtAx ])1,0[(It, (1) где  1 0 ()()(,)(),dssxstKtKx )()(),(),( ()2() KtsCIytCI mm  – известные функции, а )(tx C()()Im – искомая функция. Уравнения Фредгольма второго рода возникают во многих областях современной математики и ее приложений. В качестве иллюстрации можно привести работы [1]–
    Exact
    [5]
    Suffix
    и многие другие. Теория точных и приближенных методов решения УВР достаточно хорошо разработана. Полученные результаты можно найти, например, в справочных пособиях Иванова В.В., Верланя А.
    (check this in PDF content)

  3. Start
    2004
    Prefix
    Теория точных и приближенных методов решения УВР достаточно хорошо разработана. Полученные результаты можно найти, например, в справочных пособиях Иванова В.В., Верланя А.Ф. и Сизикова В.С. Однако установлено
    Exact
    [6]
    Suffix
    , что по норме пространства непрерывно дифференцируемых функций классические проекционные методы дают более низкую точность приближения, чем по норме пространства непрерывных функций. В работе [7] дано обоснование специального варианта метода коллокации решения уравнений вида (1) в указанном пространстве, и установлена его неулучшаемость по порядку.
    (check this in PDF content)

  4. Start
    2206
    Prefix
    Однако установлено [6], что по норме пространства непрерывно дифференцируемых функций классические проекционные методы дают более низкую точность приближения, чем по норме пространства непрерывных функций. В работе
    Exact
    [7]
    Suffix
    дано обоснование специального варианта метода коллокации решения уравнений вида (1) в указанном пространстве, и установлена его неулучшаемость по порядку. В статье [8] предложенные идеи применены для разработки варианта метода коллокации, основанного на интерполяционных многочленах Эрмита–Фейера.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    2375
    Prefix
    установлено [6], что по норме пространства непрерывно дифференцируемых функций классические проекционные методы дают более низкую точность приближения, чем по норме пространства непрерывных функций. В работе [7] дано обоснование специального варианта метода коллокации решения уравнений вида (1) в указанном пространстве, и установлена его неулучшаемость по порядку. В статье
    Exact
    [8]
    Suffix
    предложенные идеи применены для разработки варианта метода коллокации, основанного на интерполяционных многочленах Эрмита–Фейера. В данной заметке разработан и теоретически обоснован в смысле [9, гл. 1] специальный вариант метода моментов решения уравнения (1) в пространстве гладких функций, при этом были использованы результаты и методы работ [7]–[8], [10]–[13].
    (check this in PDF content)

  6. Start
    2586
    Prefix
    В статье [8] предложенные идеи применены для разработки варианта метода коллокации, основанного на интерполяционных многочленах Эрмита–Фейера. В данной заметке разработан и теоретически обоснован в смысле
    Exact
    [9, гл. 1]
    Suffix
    специальный вариант метода моментов решения уравнения (1) в пространстве гладких функций, при этом были использованы результаты и методы работ [7]–[8], [10]–[13]. Более того, установлено, что построенный метод является оптимальным по порядку среди всевозможных полиномиальных прямых проекционных методов решения уравнения вида (1).
    (check this in PDF content)

  7. Start
    2745
    Prefix
    В данной заметке разработан и теоретически обоснован в смысле [9, гл. 1] специальный вариант метода моментов решения уравнения (1) в пространстве гладких функций, при этом были использованы результаты и методы работ
    Exact
    [7]
    Suffix
    –[8], [10]–[13]. Более того, установлено, что построенный метод является оптимальным по порядку среди всевозможных полиномиальных прямых проекционных методов решения уравнения вида (1). Структура работы следующая.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    2749
    Prefix
    В данной заметке разработан и теоретически обоснован в смысле [9, гл. 1] специальный вариант метода моментов решения уравнения (1) в пространстве гладких функций, при этом были использованы результаты и методы работ [7]–
    Exact
    [8]
    Suffix
    , [10]–[13]. Более того, установлено, что построенный метод является оптимальным по порядку среди всевозможных полиномиальных прямых проекционных методов решения уравнения вида (1). Структура работы следующая.
    (check this in PDF content)

  9. Start
    2754
    Prefix
    В данной заметке разработан и теоретически обоснован в смысле [9, гл. 1] специальный вариант метода моментов решения уравнения (1) в пространстве гладких функций, при этом были использованы результаты и методы работ [7]–[8],
    Exact
    [10]
    Suffix
    –[13]. Более того, установлено, что построенный метод является оптимальным по порядку среди всевозможных полиномиальных прямых проекционных методов решения уравнения вида (1). Структура работы следующая.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    2759
    Prefix
    В данной заметке разработан и теоретически обоснован в смысле [9, гл. 1] специальный вариант метода моментов решения уравнения (1) в пространстве гладких функций, при этом были использованы результаты и методы работ [7]–[8], [10]–
    Exact
    [13]
    Suffix
    . Более того, установлено, что построенный метод является оптимальным по порядку среди всевозможных полиномиальных прямых проекционных методов решения уравнения вида (1). Структура работы следующая.
    (check this in PDF content)

  11. Start
    3438
    Prefix
    Основное пространство Пусть )(ICC – класс функций, непрерывных на отрезке I, с чебышевской нормой. Через ()m YC )}0{(Nm будем обозначать пространство функций, имеющих непрерывную производную порядка m. Очевидно, что CC (0) . Следуя
    Exact
    [10]
    Suffix
    , введем в этом пространстве норму     1 0 ())0( m i i yYCyDy )(Yy, (2) где )()( () DφφtφY m . При 0m считаем, что yDy и CYyy. Известно (например, [10]), что функции из Y имеют вид     1 0 ()() m i i yttcit, (3) где )())(()(YyYtJDyt,      t m tsφsds m Jφt 0 1 ()() (1)! 1 ()() )(C, !/)0()(iyñii (0,1)mi.
    (check this in PDF content)

  12. Start
    3584
    Prefix
    Очевидно, что CC (0) . Следуя [10], введем в этом пространстве норму     1 0 ())0( m i i yYCyDy )(Yy, (2) где )()( () DφφtφY m . При 0m считаем, что yDy и CYyy. Известно (например,
    Exact
    [10]
    Suffix
    ), что функции из Y имеют вид     1 0 ()() m i i yttcit, (3) где )())(()(YyYtJDyt,      t m tsφsds m Jφt 0 1 ()() (1)! 1 ()() )(C, !/)0()(iyñii (0,1)mi. При 0m возьмем φφJ. Кроме того, Y по норме (2) вложено в C и полно (например, [9]).
    (check this in PDF content)

  13. Start
    3806
    Prefix
    Известно (например, [10]), что функции из Y имеют вид     1 0 ()() m i i yttcit, (3) где )())(()(YyYtJDyt,      t m tsφsds m Jφt 0 1 ()() (1)! 1 ()() )(C, !/)0()(iyñii (0,1)mi. При 0m возьмем φφJ. Кроме того, Y по норме (2) вложено в C и полно (например,
    Exact
    [9]
    Suffix
    ). Если Ystθ),( по переменной s равномерно относительно t, то будем писать, что θtsYs),(. Обозначим также через lH класс полиномов степени не выше l. При обосновании специального варианта метода моментов важную роль будет играть Лемма 1.
    (check this in PDF content)

  14. Start
    5492
    Prefix
    Если Yy, то а) D n D (FnF); б) ;)1(ln 1 FnnN YHnm D n в) ;)(ln)(1YynDyEOyFyn Y D n г) E()()DyEynmn , где символ  означает слабую эквивалентность. Доказательство аналогично доказательству соответствующих результатов в
    Exact
    [10]
    Suffix
    – [12], при этом существенно используются соотношения (2), (3) и (6). 2. Обобщенный метод моментов Пусть исходные данные в УВР (1) удовлетворяют условиям )(),)((2ICstKDt, Yy, (9) а Yx – искомая функция вида (3).
    (check this in PDF content)

  15. Start
    5497
    Prefix
    Если Yy, то а) D n D (FnF); б) ;)1(ln 1 FnnN YHnm D n в) ;)(ln)(1YynDyEOyFyn Y D n г) E()()DyEynmn , где символ  означает слабую эквивалентность. Доказательство аналогично доказательству соответствующих результатов в [10]–
    Exact
    [12]
    Suffix
    , при этом существенно используются соотношения (2), (3) и (6). 2. Обобщенный метод моментов Пусть исходные данные в УВР (1) удовлетворяют условиям )(),)((2ICstKDt, Yy, (9) а Yx – искомая функция вида (3).
    (check this in PDF content)

  16. Start
    8043
    Prefix
    ()max()(,)()() 1 0 1   cθψtssdsi m i i),)(( 1 0 1 0 nY t n m i nCi t εnxθεczθ)()(1 1 0 1         . (18) Следовательно, из (16) и (18) получим                  εAAngEhEO m i ni t nYYn n n ()()ln 1 0 11. (19) Поскольку функции ),(sth (по t) и )(tgi)1,0(mi удовлетворяют условию ДиниЛипшица, то на основании теоремы Джексона (например,
    Exact
    [14, с. 86]
    Suffix
    ) получим, что ε()(1)()non. Поэтому из теоремы 7 [9, с.19] при всех n таких, что 1)(1nnεAq, следует непрерывная обратимость операторов nnnYYA: и ограниченность по норме обратных операторов: (1)(:) 1111 AnnnnnYYAqA .
    (check this in PDF content)

  17. Start
    8105
    Prefix
    t n m i nCi t εnxθεczθ)()(1 1 0 1         . (18) Следовательно, из (16) и (18) получим                  εAAngEhEO m i ni t nYYn n n ()()ln 1 0 11. (19) Поскольку функции ),(sth (по t) и )(tgi)1,0(mi удовлетворяют условию ДиниЛипшица, то на основании теоремы Джексона (например, [14, с. 86]) получим, что ε()(1)()non. Поэтому из теоремы 7
    Exact
    [9, с.19]
    Suffix
    при всех n таких, что 1)(1nnεAq, следует непрерывная обратимость операторов nnnYYA: и ограниченность по норме обратных операторов: (1)(:) 1111 AnnnnnYYAqA . Правые части уравнений (13) и (14) в силу леммы 2 удовлетворяют условию  νyFyO(()ln).1nDyEn Y D n n  (20) Теперь благодаря неравенствам (19), (20) и теореме Джексона (например, [14, с. 86]) из теоремы 7 [9, с.
    (check this in PDF content)

  18. Start
    8451
    Prefix
    Поэтому из теоремы 7 [9, с.19] при всех n таких, что 1)(1nnεAq, следует непрерывная обратимость операторов nnnYYA: и ограниченность по норме обратных операторов: (1)(:) 1111 AnnnnnYYAqA . Правые части уравнений (13) и (14) в силу леммы 2 удовлетворяют условию  νyFyO(()ln).1nDyEn Y D n n  (20) Теперь благодаря неравенствам (19), (20) и теореме Джексона (например,
    Exact
    [14, с. 86]
    Suffix
    ) из теоремы 7 [9, с.19] следуют утверждения теоремы 1 с оценкой (12). Следствие 1. Пусть функции ),(sth (по t), )(tgi)1,0(mi, ))((tDy r раз непрерывно дифференцируемы на I и производные αLiptDytgtsth rr i r t)()(),(),ïî(),( ()()() (01)α.
    (check this in PDF content)

  19. Start
    8477
    Prefix
    Правые части уравнений (13) и (14) в силу леммы 2 удовлетворяют условию  νyFyO(()ln).1nDyEn Y D n n  (20) Теперь благодаря неравенствам (19), (20) и теореме Джексона (например, [14, с. 86]) из теоремы 7
    Exact
    [9, с.19]
    Suffix
    следуют утверждения теоремы 1 с оценкой (12). Следствие 1. Пусть функции ),(sth (по t), )(tgi)1,0(mi, ))((tDy r раз непрерывно дифференцируемы на I и производные αLiptDytgtsth rr i r t)()(),(),ïî(),( ()()() (01)α.
    (check this in PDF content)

  20. Start
    9161
    Prefix
    Если УВР (1) обладает решением вида (3) при данной правой части yY и приближающий оператор AFA D nn имеет непрерывный обратный, то погрешность приближенного решения nnYx * для правой части nDnnYyFy можно представить в виде x**(()ln)*1nzEOxn nY . Доказательство. Поскольку AFADnn, то в силу теоремы 5
    Exact
    [9, гл. 1]
    Suffix
    имеем nY D xxnYnnxxAFAE))(( **1*   , (21) где E – единичный оператор в пространстве Y, а nx – пока неизвестный элемент, который выберем так, чтобы правая часть равенства (21) была минимальной, а именно, возьмем xYn такой, что *inf()*1* 1 xxxfExmn nYfHnYmnn   .
    (check this in PDF content)

  21. Start
    9950
    Prefix
    Так как ÑÑ)0(, то при 0m уравнение (1) преобразуется в аналогичное уравнение в пространстве C, а предложенный в статье метод превращается в известный метод моментов, причем ),(),(stKsth, )()()(tytDy и оценка (12) хорошо согласуется с известной оценкой
    Exact
    [13]
    Suffix
    метода моментов решения уравнений второго рода в классе C. В заключение данного пункта отметим следующие важные для приложений факты. Теорема 3. В условиях теоремы 1 справедливы утверждения: обобщенный метод моментов для уравнения (1) устойчив относительно малых возмущений элементов системы (11); если уравнение (1) хорошо обусловлено, то аппроксимирующее уравнение (14) тоже хорошо об
    (check this in PDF content)

  22. Start
    10392
    Prefix
    В условиях теоремы 1 справедливы утверждения: обобщенный метод моментов для уравнения (1) устойчив относительно малых возмущений элементов системы (11); если уравнение (1) хорошо обусловлено, то аппроксимирующее уравнение (14) тоже хорошо обусловлено. Доказательство следует из теорем 11, 13
    Exact
    [9, с. 23–25]
    Suffix
    с учетом того, что при выполнении условий теоремы 1 операторы, обратные к операторам nA, ограничены по норме в совокупности (хотя бы при достаточно больших n). 3. Оптимизация проекционных методов решения УВР Пусть Y – банахово пространство, а nY – его произвольное подпространство, dimYn )(nNN, причем ).(nN Пусть }{nn – совокупность линейных операторов nnYY:.
    (check this in PDF content)

  23. Start
    11141
    Prefix
    Рассмотрим классы линейных операторных уравнений, каждое из которых имеет одно и только одно решение: ),(YyxyAx , (22) ),,(NnXxyAxnnnnnnn . (23) Пусть, далее, Yx* и nnYx* – соответственно решения уравнений (22) и (23), а {}f – множество коэффициентов уравнения (22), которое порождает класс }{**xY искомых функций. Следуя
    Exact
    [9, с. 40]
    Suffix
    , величину );;(infinf)( NX,nnY VVY nnnn   , (24) где (;;)sup(;;)sup,** nnfnnx**XnX VYVfYxx  будем называть оптимальной оценкой погрешности всевозможных прямых проекционных методов )(nn решения уравнения (22) на классе .
    (check this in PDF content)

  24. Start
    11663
    Prefix
    Пусть существует пространство YYn 0 размерности )(nN и операторы 00 n:nYY )( 0 nn, при которых ).();;()(00NYVVnnN (25) Тогда метод (22)–(23) при 00,nnnnYY называется оптимальным по порядку на классе  среди всевозможных прямых проекционных методов )(nnn решения уравнений (22)
    Exact
    [9, с. 40]
    Suffix
    ). Рассмотрим оптимизацию на классе однозначно разрешимых (равномерно относительно K) УBР (1) при ),(stK (по t), y(){()|(;)()})()(ωfωICfHtrmrmrmω, где )(ωω – некоторый заданный модуль непрерывности, ,...2,1,0r Тогда имеем mr ω mr XxYAxyKtyHωH  *}),ïî(;|{ *** )( * ωω.
    (check this in PDF content)

  25. Start
    12597
    Prefix
    В соответствии с результатами пунктов 1 и 2 обобщенный метод моментов порождает проекционный оператор 00:nDnnYYF, причем в силу леммы 2 (2) n D Fn. Далее, учитывая теорему 2 и теорему Джексона (например,
    Exact
    [14, с. 86]
    Suffix
    ), последовательно получим:   ()(;;)sup(()ln) * 1 0*0 ** VVFYxxOEznn nxHnY D Nnrm ω )()ln)(()ln)((011yFAxFNNωNOnnωnODnnDnrr. (27) Для получения нижней оценки воспользуемся тем, что УВР (1) при 0),(stK принадлежит рассматриваемому классу однозначно разрешимых в пространстве Y уравнений.
    (check this in PDF content)

  26. Start
    13243
    Prefix
    Имеем:  Y D n XyH n xH VNyFyxxrm nnmrnnω)2(*ω*)2( ()infsupinfsup** infsupinfsup, ω (2) ω (2)Cn CPDyH D n yH DyDFyDyFDy nnmrnnr   (28) где }{Ρ)2(nnP – множество алгебраических полиномиальных операторов 1:nnHCP, удовлетворяющих условию nnPP2 и обладающих свойством )(0)ω(1nnnPrn . Из леммы 2 ясно, что (2)(2) nnnnP. Так как (
    Exact
    [9, с. 171]
    Suffix
    ) nnndzPzrCn PzHrnn infsupω(1/)ln1 ω (2)   , (29) то из (28) и (29) получаем нижнюю оценку NNNdVrNln)/1(ω)(2. (30) Из соотношений (25), (27) и (30) следует утверждение теоремы с оценкой (26).
    (check this in PDF content)