The 10 reference contexts in paper E. Abrosimova A., V. Danilov L., В. Данилов Л., Е. Абросимова А. (2016) “Определение предельного крутящего момента для стержня многосвязного поперечного сечения // Determination of Ultimate Torque for Multiply Connected Cross Section Rod” / spz:neicon:technomag:y:2015:i:6:p:361-371

  1. Start
    2786
    Prefix
    Напряженное состояние характеризуется следующими компонентами: 0xyzxy        (1)    zx0;0zy (2) Когда весь стержень находится в пластическом состоянии, поперечные сечения поворачиваются вокруг оси z, и компоненты смещения выражаются зависимостями
    Exact
    [1]
    Suffix
    : -xyzUθzy; U θzx; U w(x,y) , (3) где θ – относительный угол закручивания, w(x,y)– функция депланации сечения. Компоненты напряжения zx и zy должны удовлетворять уравнению равновесия: 0 y zxzy x    (4) и условию пластичности: 222    zxTzy (5) при граничных условиях на боковых поверхностях и торцах [3]: 0zx xzyynn    (6) ()zyzx A xydA M  ,
    (check this in PDF content)

  2. Start
    3088
    Prefix
    Компоненты напряжения zx и zy должны удовлетворять уравнению равновесия: 0 y zxzy x    (4) и условию пластичности: 222    zxTzy (5) при граничных условиях на боковых поверхностях и торцах
    Exact
    [3]
    Suffix
    : 0zx xzyynn    (6) ()zyzx A xydA M  , (7) где ,xynnнаправляющие косинусы нормали к контуру поперечного сечения; A – площадь сечения. 1.1. Функция напряжений Уравнение равновесия (4) и условие пластичности (5) удовлетворяются, если ввести следующие две функции напряжений )и)x,y x,yв виде [2]: TT;,zxzysin cos yx          
    (check this in PDF content)

  3. Start
    3409
    Prefix
    при граничных условиях на боковых поверхностях и торцах [3]: 0zx xzyynn    (6) ()zyzx A xydA M  , (7) где ,xynnнаправляющие косинусы нормали к контуру поперечного сечения; A – площадь сечения. 1.1. Функция напряжений Уравнение равновесия (4) и условие пластичности (5) удовлетворяются, если ввести следующие две функции напряжений )и)x,y x,yв виде
    Exact
    [2]
    Suffix
    : TT;,zxzysin cos yx              (8) Для определения функции)x,yподставим выражения (8) в уравнение (4) : 0cos sin xy       (9) Уравнению (9) соответствуют дифференциальные уравнения характеристик: 0 xy cos sin     , (10) проинтегрировав которые, находим: ( );y x tg fconst      (11) Подставив выражени
    (check this in PDF content)

  4. Start
    4975
    Prefix
    с учетом выражений (8), (12), (13) следует зависимости: T ddxdy dnx dny dn      (15) Проинтегрировав (15), находим вид функции напряжений: TTjnC     (16) Здесь n – длина нормали, отсчитываемая от контура с номером j внутрь сечения. В соответствии с выражением (16) геометрической интерпретацией функции  является поверхность постоянного ската
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Для определения контурных значений функции напряжений jпринимаем для внешнего контура 10C, а остальные значения Cj найдем, построив поле нормалей последовательно от внешнего до внутренних и затем от ближайшего внутреннего до остальных и т.д.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    6112
    Prefix
    точках сечения, в которых пересекаются нормали, идущие от разных контуров или от разных участков одного и того же контура, так как тогда направление вектора полного касательного напряжения становится неопределенным. Эту неоднозначность можно устранить введением линии разрыва напряжений, не нарушающего условия равновесия. Линии разрыва определяются следующими соотношениями
    Exact
    [4]
    Suffix
    : 1 ( , )( , ) 2 pq dy tgx yx y dx  (18) ( , )( , )ppqqn x yCn x yC   (19) Здесь индексы p и q обозначают решения (11) и (16), примыкающие к контурам p и q соответственно. 1.2.
    (check this in PDF content)

  6. Start
    6810
    Prefix
    20) где m – число областей регулярности, iF – площадь области регулярности, jS– площадь, ограниченная контуром с номером j, TjC– значение функции напряжений на контуре, являющемся частью границы области регулярности. 2. Двухсвязное круговое несимметричное сечение Рассмотрим применение формулы (20) к расчету сечения в виде эксцентричного кольца (см. рис.2)
    Exact
    [5]
    Suffix
    . Рис. 2. Поперечное сечение в виде эксцентричного кольца с линией разрыва В этом случае линией разрыва напряжений является эллипс, фокусы которого совпадают с центрами окружностей, а полуоси равны ar и 2 2ar r.
    (check this in PDF content)

  7. Start
    7914
    Prefix
    Вычислив интегралы, получаем: 33 T 1 (2 (2 )(2 ) ) 23 M     Rrr rar ra  (25) Для симметричного кольца (a = 0) и сплошного круга (r = 0) из (25) следуют хорошо известные результаты для этих частных простейших сечений
    Exact
    [6]
    Suffix
    . В качестве примера представим зависимость предельного крутящего момента 3 2T M R от эксцентриситета a R при отношении радиусов 0.3rR (см. рис. 3а) и зависимость от отношения радиусов r R при 0.3aR (см. рис. 3б) [7]. а б Рис. 3.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    8167
    Prefix
    В качестве примера представим зависимость предельного крутящего момента 3 2T M R от эксцентриситета a R при отношении радиусов 0.3rR (см. рис. 3а) и зависимость от отношения радиусов r R при 0.3aR (см. рис. 3б)
    Exact
    [7]
    Suffix
    . а б Рис. 3. Зависимость предельного крутящего момента: а – от эксцентриситета; б – от отношения радиусов Из рис. 3 следует, что величина смещения оказывает больше влияния на значение предельного крутящего момента, чем диаметр отверстия. 3.
    (check this in PDF content)

  9. Start
    10210
    Prefix
    В качестве примера использования разработанного метода рассчитан предельный момент для сечения со следующими размерами: R251212мм, 12мм, 6мм, 9.434мм, 14.142ммrraa            3 MпрT17332.04мм  Для сравнения был проведен расчет в пакете 3Dмоделирования Компас3D
    Exact
    [8]
    Suffix
    : 3 MпрT17303мм  Различие результатов составило 0.17%. Представленная методика определения предельного пластического момента кручения также позволяет исследовать ползучесть стержней многосвязного поперечного сечения [9].
    (check this in PDF content)

  10. Start
    10433
    Prefix
    , 9.434мм, 14.142ммrraa            3 MпрT17332.04мм  Для сравнения был проведен расчет в пакете 3Dмоделирования Компас3D [8]: 3 MпрT17303мм  Различие результатов составило 0.17%. Представленная методика определения предельного пластического момента кручения также позволяет исследовать ползучесть стержней многосвязного поперечного сечения
    Exact
    [9]
    Suffix
    . Заключение 1. Разработан аналитический метод расчета предельного крутящего момента для стержней многосвязного поперечного сечения на примере двухсвязного и трехсвязного сечений. 2. Выведена формула предельного крутящего момента для двухсвязного поперечного сечения. 3.
    (check this in PDF content)