The 13 reference contexts in paper E. Gubareva A., Yu. Dimitrienko I., Yu. Yurin V., Е. Губарева А., Ю. Димитриенко И., Ю. Юрин В. (2016) “Конечно-элементное моделирование процессов термоползучести на основе методов Рунге-Кутты // Finite Element Modeling of Thermo Creep Processes Using Runge-Kutta Method” / spz:neicon:technomag:y:2015:i:3:p:296-312

  1. Start
    1745
    Prefix
    , поскольку при длительной эксплуатации, измеряемой годами, в условиях воздействия высоких температур - до 1000 о С и выше, практически все жаропрочные конструкционные стали и сплавы проявляют существенную ползучесть [1-3 ]. Для моделирования деформаций ползучести, как известно, широко применяют различные варианты теории течения, старения и наследственные теории
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Деформации термоползучести большинства жаростойких сплавов, как правило, обнаруживают нелинейную зависимость от напряжений, и являются практически необратимыми, поэтому для расчета этих материалов наибольшее распространение получила теория пластического течения, наиболее адекватно описывающая данные эффекты.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    2339
    Prefix
    Конечно-элементный расчеты напряженнодеформированного состояния конструкций с учетом деформаций термоползучести в настоящее время реализованы в основных коммерческих программных пакетах, в том числе в ANSYS
    Exact
    [4]
    Suffix
    . Однако, в большинстве случаев для решения нелинейных уравнений ползучести применяется или явные методы или неявные, основанные на методе Эйлера аппроксимации производных по времени. Метод Эйлера достаточно эффективен с точки зрения экономии оперативной памяти при проведении вычислений, однако относительно затратен по времени вычислений и не всегда обеспечивает требуемую точность расчетов де
    (check this in PDF content)

  3. Start
    3106
    Prefix
    Целью настоящей работы является разработка конечно-элементного метода решения трехмерной задачи термоползучести на основе конечно-разностных схем Рунге-Кутты по времени, который должен быть эффективным с вычислительной точки зрения и обеспечивать возможность расчета напряженно-деформированного состояния в том числе тонкостенных конструкций
    Exact
    [5-9]
    Suffix
    с учетом эффекта термоползучести. Постановка задачи нелинейной теории термоползучести Рассмотрим краевую трехмерную задачу термоползучести на основе теории течения [10]: 0 4 0 0, () ( , ) 1 def ( )(() ) 2 0 ( ),( ) u c cc T c bb                   σ σСε ε ε ε F ε σ ε uu u ε σ n S u u (1) Здесь σ- тензор напряжений, ε- тензор малых дефо
    (check this in PDF content)

  4. Start
    3274
    Prefix
    -разностных схем Рунге-Кутты по времени, который должен быть эффективным с вычислительной точки зрения и обеспечивать возможность расчета напряженно-деформированного состояния в том числе тонкостенных конструкций [5-9] с учетом эффекта термоползучести. Постановка задачи нелинейной теории термоползучести Рассмотрим краевую трехмерную задачу термоползучести на основе теории течения
    Exact
    [10]
    Suffix
    : 0 4 0 0, () ( , ) 1 def ( )(() ) 2 0 ( ),( ) u c cc T c bb                   σ σСε ε ε ε F ε σ ε uu u ε σ n S u u (1) Здесь σ- тензор напряжений, ε- тензор малых деформаций, cε- тензор деформаций ползучести, 0()εα- тензор тепловых деформаций, ( , )cFεσ– дважды непрерывно дифференцируемая в некоторой области тензорная
    (check this in PDF content)

  5. Start
    3854
    Prefix
    деформаций ползучести, 0()εα- тензор тепловых деформаций, ( , )cFεσ– дважды непрерывно дифференцируемая в некоторой области тензорная функция, описывающая модель скоростей деформаций термоползучести , α - тензор температурного расширения, u- вектор перемещений,n- вектор внешней нормали, bS - заданный вектор напряжений на части поверхности тела  , - набла-оператор
    Exact
    [11,12]
    Suffix
    , - знак тензорного произведения, ()- скалярное произведение, 4С- тензор модулей упругости, bu- заданное перемещение. Температурное поле  будем считать известным, распределенным неравномерно в теле.
    (check this in PDF content)

  6. Start
    4373
    Prefix
    Среду будем считать изотропной, поэтому для нее  4 0 0 1 2 () 11 ( , ) 3 cr cuu T I                С E EΔ εE Fε σσ σ E (2) где 1I σ E σ - первый инвариант тензора напряжений, E- метрический тензор, u- второй инвариант (интенсивность) тензора напряжений
    Exact
    [11]
    Suffix
    , cu- интенсивность тензора скоростей деформаций, T,, , r - константы ползучести, , - упругие константы (параметры Ламе). Вводя тензор упругих напряжений 4e σСε, тензор напряжений ползучести σсс4  Сεи тензор термонапряжений 0 σ4  Сε, тензор напряжений может быть записан в виде следующего разложения: ec  σ σ σ σ (3) Численный p-стадийный явный метод
    (check this in PDF content)

  7. Start
    4854
    Prefix
    Вводя тензор упругих напряжений 4e σСε, тензор напряжений ползучести σсс4  Сεи тензор термонапряжений 0 σ4  Сε, тензор напряжений может быть записан в виде следующего разложения: ec  σ σ σ σ (3) Численный p-стадийный явный метод Рунге-Кутты Для численного решения исходной задачи (1),(2) применим p-стадийный явный метод Рунге-Кутты
    Exact
    [13-16]
    Suffix
    . Для этого тензорное соотношение ползучести: ( , ) cc ε F ε σ (4) рассмотрим как систему дифференциальных уравнений относительно тензора деформаций ползучести cε, как функции от временного параметра t.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    7856
    Prefix
    Одностадийный метод Эйлера первого порядка: A0,1 T w Метод конечных элементов с применением метода Рунге-Кутты для численного решения краевых задач термоползучести Пусть – – соболевское пространство вектор-функций, определенных на ограниченной области с липшицевой границей 
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Пусть (1)22:( )( )uuTr  WL - оператор, сопоставляющий элементу (1)2()uW след на u. Выделим в пространстве (1)2()W подпространство вектор-функций  (1) Z( )2( )( )uTr  u Wu0, а также подпространства векторфункций, обладающих классическими (не обобщёнными) производными всех порядков:  (1)( ) ( )2( )( )iuC V    u W, 0( )( )u 
    (check this in PDF content)

  9. Start
    8695
    Prefix
    4( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) () (), , def (),(11) (), u e mc m ss e mm ss mm ss e mmc m sbs mm sb                      σσ σ σСε εu σ n S σ σ n uu где () 2() m uLbu, () 2() m SLb. Будем предполагать, что тензор модулей упругости 4С удовлетворяет условию положительной определенности
    Exact
    [10]
    Suffix
    , т.е. для всякого симметричного тензора второго ранга εсправедливо неравенство(0): 4 ε   Сε ε ε (12) Для вывода слабой формулировки потребуется следующее тождество, справедливое для дифференцируемого симметричного тензорного поля Tи векторного поля a [11]: ()() def ( )     aTa Ta T (13) Умножив первое соотношение рассматриваемой системы скалярно на 0()
    (check this in PDF content)

  10. Start
    8957
    Prefix
    Будем предполагать, что тензор модулей упругости 4С удовлетворяет условию положительной определенности [10], т.е. для всякого симметричного тензора второго ранга εсправедливо неравенство(0): 4 ε   Сε ε ε (12) Для вывода слабой формулировки потребуется следующее тождество, справедливое для дифференцируемого симметричного тензорного поля Tи векторного поля a
    Exact
    [11]
    Suffix
    : ()() def ( )     aTa Ta T (13) Умножив первое соотношение рассматриваемой системы скалярно на 0()vV, применяя последнее тождество (для каждого оператора дивергенции тензора) и интегрируя по области  получим:  ( )( )( )( ) def ( )( )( )( )( )(())def ( )(14) e me mc mc m ssssdVdVdV      vσv σ σ σv σ σ Применяя для
    (check this in PDF content)

  11. Start
    10298
    Prefix
    под слабым решением краевой задачи на s-й стадии метода Рунге-Кутта в пространстве (1)2()W будем понимать такую вектор функцию ( )(1)( )2()msuW, что если ( )(1)2()mwW такая вектор-функция, что ( )( ) u() mm Trbwu, то ( )( ) ()() mm us  wZ и () () m us удовлетворяет последнему интегральному соотношению ()  vZ. Решение такой задачи существует и единственно
    Exact
    [13]
    Suffix
    . Перейдем в последнем интегральном соотношении к матричной форме. Для этого запишем компоненты соответствующих тензоров и векторов в декартовых координатах: Где > - пространство столбцов размерности n.
    (check this in PDF content)

  12. Start
    10602
    Prefix
    Для этого запишем компоненты соответствующих тензоров и векторов в декартовых координатах: Где > - пространство столбцов размерности n. Также введем матрицу дифференциальных операторов Dи матрицу модулей упругости в следующем виде
    Exact
    [16]
    Suffix
    : 1 2 3 21 31 32 00 00 00 0 0 0 D           , 111111221133 22222233 3333 2323 1313 1212 000 000 000 00 .0 С С С СС С C С симС С           . (18) Тогда интегральное соотношение можно записать в следующем виде:  ( )0( )( ) ( )( ) TTmTmсm Dv CDu dVsbsv SdDv CdV        (19) Слабое решение краевой зад
    (check this in PDF content)

  13. Start
    15189
    Prefix
    N GipiiGGGm G ps pI fffAu      (27) Тогда исключив из матрицы строки GA и столбцы, а из вектора G f строки с номерами pI(получив матрицу и вектор f G > N-q ) и учитывая произвольность вектора , приходим к разрешающей СЛАУ МКЭ схемы: ( )G (). GmG A usf (28) Семейство МКЭ схем при 0h сходится к слабому решению краевой задачи
    Exact
    [13]
    Suffix
    . Решение разрешающей СЛАУ в данной работе осуществляется на основе метода сопряженного градиента. Тестовая задача ползучести бруса при одноосном растяжении В качестве тестовой задачи для сравнения точности предложенного метода МКЭ с различными вариантами метода Рунге-Кутты рассмотрим задачу растяжения балки под действием продольной силы, с учетом деформаций ползучести.
    (check this in PDF content)