The 17 reference contexts in paper O. Anisimova V., S. Sakulin A., О. Анисимова В., С. Сакулин А. (2016) “Формирование интегральных оценок успеваемости учащихся с помощью операторов агрегирования // Forming of Students’ Academic Achievement Integral Indicator Based on Aggregation Operators” / spz:neicon:technomag:y:2015:i:3:p:256-268

  1. Start
    1431
    Prefix
    Ключевые слова: оператор агрегирования, нечёткая мера, нечёткий интеграл Шоке, оценка успеваемости Введение Традиционным подходом к формированию интегральных оценок успеваемости учащихся является агрегирование оценок по отдельным предметам с помощью средневзвешенного оператора
    Exact
    [1]
    Suffix
    . При этом каждому отдельному предмету (или результату отдельного теста) ставится в соответствие весовой коэффициент, с помощью которого задается степень важности отдельного предмета или теста.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    3224
    Prefix
    С другой стороны, если учащийся планирует стать техническим специалистом, то для него важнее на «отлично» знать русский язык и, например, физику с математикой, чем литературу или историю. Явления такого рода представляют собой предпочтительную зависимость критериев, которая известна из теории полезности
    Exact
    [2]
    Suffix
    . Известно, что никакой аддитивный оператор агрегирования, в том числе среднее арифметическое, не позволяет формализовать предпочтительную зависимость. Формализация подобных особенностей предметной области позволила бы избежать субъективизма в процессе принятия решений путем более детального и тщательного формирования интегральных оценок успеваемости.
    (check this in PDF content)

  3. Start
    3943
    Prefix
    Таким образом, в настоящее время представляется актуальной задача применения для агрегирования оценок такого оператора агрегирования, который позволил бы решить перечисленные проблемы. В качестве операторов агрегирования могут выступать нечеткие интегралы, а именно, интеграл Сугено, либо интеграл Шоке
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Оба этих интеграла позволяют формализовать описанные выше особенности предметной области, известные специалистам соответствующего профиля. Здесь следует отметить, что в литературе встречаются фиктивные упрощённые примеры применения неаддитивных операторов для агрегирования оценок учащихся [3].
    (check this in PDF content)

  4. Start
    4263
    Prefix
    Оба этих интеграла позволяют формализовать описанные выше особенности предметной области, известные специалистам соответствующего профиля. Здесь следует отметить, что в литературе встречаются фиктивные упрощённые примеры применения неаддитивных операторов для агрегирования оценок учащихся
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Однако, эти примеры не связаны с реальной практикой формирования оценок, а служат лишь для иллюстрации свойств неаддитивных операторов. 1. Нечеткие меры и интеграл Шоке 2-го порядка В большинстве практических случаев применяется интеграл Шоке по нечёткой мере 2-го порядка, или, что то же самое, интеграл Шоке 2-го порядка [4], поскольку он позволяет моделировать в
    (check this in PDF content)

  5. Start
    4609
    Prefix
    Однако, эти примеры не связаны с реальной практикой формирования оценок, а служат лишь для иллюстрации свойств неаддитивных операторов. 1. Нечеткие меры и интеграл Шоке 2-го порядка В большинстве практических случаев применяется интеграл Шоке по нечёткой мере 2-го порядка, или, что то же самое, интеграл Шоке 2-го порядка
    Exact
    [4]
    Suffix
    , поскольку он позволяет моделировать взаимодействия между критериями, оставаясь относительно простым. Кроме того, в отличие от интеграла Сугено, существуют инструменты для облегчения работы экспертов с интегралом Шоке 2-го порядка [5,6].
    (check this in PDF content)

  6. Start
    4865
    Prefix
    практических случаев применяется интеграл Шоке по нечёткой мере 2-го порядка, или, что то же самое, интеграл Шоке 2-го порядка [4], поскольку он позволяет моделировать взаимодействия между критериями, оставаясь относительно простым. Кроме того, в отличие от интеграла Сугено, существуют инструменты для облегчения работы экспертов с интегралом Шоке 2-го порядка
    Exact
    [5,6]
    Suffix
    . Рассмотрим кратко основные положения теории нечётких мер и интегралов, которые необходимы для реализации агрегирования оценок с использованием этого аппарата. Нечеткая мера есть функция множества, отражающая степень «важности» не только отдельного критерия (оценки), но и каждого из подмножеств этих критериев (оценок).
    (check this in PDF content)

  7. Start
    5388
    Prefix
    Нечеткая мера есть функция множества, отражающая степень «важности» не только отдельного критерия (оценки), но и каждого из подмножеств этих критериев (оценок). Нечёткий интеграл Шоке по нечёткой мере является обобщением понятия средневзвешенного оператора агрегирования для случая зависимых критериев. Нечёткая мера
    Exact
    [7]
    Suffix
    есть функция множества : 2[0,1]J, где 2J- множество всех подмножеств множества индексов агрегируемых критериев {1,...,}JH, которая удовлетворяет следующим условиям: 1) ( ) 0,( ) 1J ; 2) ,:( )( )D BJDBDB  .
    (check this in PDF content)

  8. Start
    6281
    Prefix
    Ввиду того, что для эксперта является весьма трудным и даже невыполнимым выбор всех 2 H значений коэффициентов ( ),DDJ, соответствующих 2 H подмножеств множества J, была предложена концепция нечёткой меры -ого порядка, JH
    Exact
    [8]
    Suffix
    , суть которой состоит в том, что для упрощения задания нечётких мер из рассмотрения исключаются зависимости между более чем  критериями. Здесь и далее для упрощения обозначений опускаются фигурные скобки, вместо { }, { , }ii j записывается ,i ij соответственно.
    (check this in PDF content)

  9. Start
    6802
    Prefix
    Вместо обозначения «критерий с индексом iJ» для краткости также употребляется «критерий i», вместо обозначения «множество индексов критериев J» употребляется «множество критериев J». Нечёткий интеграл Шоке 2-го порядка имеет вид
    Exact
    [4]
    Suffix
    :    iJJji СggHiijggjiijgi {,} (1),min()()()()(),..., (1) Индекс взаимодействия между двумя критериями i и j для случая второго порядка выражает знак и степень взаимодействия этих критериев и определяется выражением [4]: JjijiijjiI},{),()()(),( (2) Шепли [9] предложил определение коэффициента важности критерия, основанное на нескольких естественных аксиомах.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    7025
    Prefix
    Нечёткий интеграл Шоке 2-го порядка имеет вид [4]:    iJJji СggHiijggjiijgi {,} (1),min()()()()(),..., (1) Индекс взаимодействия между двумя критериями i и j для случая второго порядка выражает знак и степень взаимодействия этих критериев и определяется выражением
    Exact
    [4]
    Suffix
    : JjijiijjiI},{),()()(),( (2) Шепли [9] предложил определение коэффициента важности критерия, основанное на нескольких естественных аксиомах. В контексте теории нечетких мер индекс Шепли для критерия i по отношению к мере  определяется выражением: Jijiijiji jJi   ()()(), 2 1 (,)() ()  (3) 2.
    (check this in PDF content)

  11. Start
    7069
    Prefix
    Нечёткий интеграл Шоке 2-го порядка имеет вид [4]:    iJJji СggHiijggjiijgi {,} (1),min()()()()(),..., (1) Индекс взаимодействия между двумя критериями i и j для случая второго порядка выражает знак и степень взаимодействия этих критериев и определяется выражением [4]: JjijiijjiI},{),()()(),( (2) Шепли
    Exact
    [9]
    Suffix
    предложил определение коэффициента важности критерия, основанное на нескольких естественных аксиомах. В контексте теории нечетких мер индекс Шепли для критерия i по отношению к мере  определяется выражением: Jijiijiji jJi   ()()(), 2 1 (,)() ()  (3) 2.
    (check this in PDF content)

  12. Start
    13961
    Prefix
    можно с помощью отношений эквивалентности на множестве критериев: 21~ggJ (16) 43~ggJ (17) Если ученик хорош в физике или информатике (или плох в обеих), то лучше чтобы он был хорош в русском языке (или в алгебре и геометрии), чем в алгебре и геометрии (русском языке). Как уже было отмечено, суждения такого вида являются предпочтительной зависимостью критериев
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Они могут быть выражены через отношения предпочтений на множестве учеников: DC (18) FG (19) Отношение предпочтения (18) показывает, что ученик С при поступлении предпочтительнее, чем ученик D, поскольку он показывает отличную успеваемость по предметам, входящим в каждую из трех групп предметов.
    (check this in PDF content)

  13. Start
    14972
    Prefix
    меры Для того, чтобы получить оператор агрегирования 1AGG с целью его последующего применения для построения порядка вида (5) на множестве учеников, необходимо идентифицировать нечеткую меру на основе экспертных предпочтений, выраженных ограничениями (6-21). Для идентификации был выбран метод максимизации энтропии нечёткой меры при заданных ограничениях
    Exact
    [10]
    Suffix
    . Этот метод основан на принципе, предложенном Джейнсом в 1953 году [11]. Принцип Джейнса заключается в том, что если мы обладаем какой-то частью знаний о поведении случайной величины, то к той части знаний, которая нам недоступна, следует относиться наиболее непредвзято, максимизируя энтропию этой величины с учётом имеющихся знаний.
    (check this in PDF content)

  14. Start
    15049
    Prefix
    последующего применения для построения порядка вида (5) на множестве учеников, необходимо идентифицировать нечеткую меру на основе экспертных предпочтений, выраженных ограничениями (6-21). Для идентификации был выбран метод максимизации энтропии нечёткой меры при заданных ограничениях [10]. Этот метод основан на принципе, предложенном Джейнсом в 1953 году
    Exact
    [11]
    Suffix
    . Принцип Джейнса заключается в том, что если мы обладаем какой-то частью знаний о поведении случайной величины, то к той части знаний, которая нам недоступна, следует относиться наиболее непредвзято, максимизируя энтропию этой величины с учётом имеющихся знаний.
    (check this in PDF content)

  15. Start
    15427
    Prefix
    Принцип Джейнса заключается в том, что если мы обладаем какой-то частью знаний о поведении случайной величины, то к той части знаний, которая нам недоступна, следует относиться наиболее непредвзято, максимизируя энтропию этой величины с учётом имеющихся знаний. В отношении идентификации нечётких мер этот принцип предложил применять Кожадиновиц
    Exact
    [10]
    Suffix
    . В результате мы получим наименее специфичную нечёткую меру из всех возможных, при ограничениях, обусловленных экспертными предпочтениями. В соответствии с методом максимизации энтропии неравенства (4-13) с индексами взаимодействия переводятся в неравенства: II)2,1(1 (20) II)4,3(1 (21) II)3,1(1 (22) II)4,1(1 (23) II)3,2(1 (24)
    (check this in PDF content)

  16. Start
    16599
    Prefix
    Исходя из того, что все входные критерии определены на шкалах вида {0,..., 5}, а также принимая во внимание ограничения на значения порогов безразличия, применяемые для недопущения выбора значений порогов, при которых заведомо не имеет решения задача идентификации нечёткой меры
    Exact
    [12]
    Suffix
    , для меры  были выбраны следующие значения этих порогов: 005.0  I, 02.0  ,2.0  C. Для идентификации нечеткой меры  был использован специализированный пакет Kappalab [13]. Результаты этой идентификации выражены в виде параметров интеграла Шоке (индексов взаимодействия и индексов Шепли): 0015.0)2,1(I; 0015.0)3,1(I; I(1,4)0.0173; 0015.0)5,1(I; ;0015,0)4,2(
    (check this in PDF content)

  17. Start
    16775
    Prefix
    принимая во внимание ограничения на значения порогов безразличия, применяемые для недопущения выбора значений порогов, при которых заведомо не имеет решения задача идентификации нечёткой меры [12], для меры  были выбраны следующие значения этих порогов: 005.0  I, 02.0  ,2.0  C. Для идентификации нечеткой меры  был использован специализированный пакет Kappalab
    Exact
    [13]
    Suffix
    . Результаты этой идентификации выражены в виде параметров интеграла Шоке (индексов взаимодействия и индексов Шепли): 0015.0)2,1(I; 0015.0)3,1(I; I(1,4)0.0173; 0015.0)5,1(I; ;0015,0)4,2(I; 0168.0)5,2(I; I(3,4)0,0015; 0015,0)5,3(I; 2082.0)1(;2042.0)2(; 1865.0)3(; (4)0.1825; 2185.0)5(.
    (check this in PDF content)