The 25 reference contexts in paper A. Pоlyanskii R., A. Romanov S., A. Semikolenov V., А. Полянский Р., А. Романов С., А. Семиколенов В. (2016) “Асимптотический закон формы стекающей жидкой пленки при частичном смачивании // Asymptotic Law of the Falling Liquid Film Form in Partial Wetting” / spz:neicon:technomag:y:2015:i:1:p:276-291

  1. Start
    1640
    Prefix
    Так, например, задача о смачивании при растекании капельной жидкости вдоль твердой поверхности, вообще говоря, не имеет решения в рамках стандартной гидродинамической теории вязкой жидкости
    Exact
    [1]
    Suffix
    , если одновременно действует поверхностное натяжение и требуется выполнение условия Юнга при частичном смачивании. Возникающие проблемы удается решить, если вместо условия Юнга, которое задается на линии трехфазного контакта, переформулировать задачу с учетом дополнительного химического потенциала (или, подругому, расклинивающего давления), которым обладают частицы жидко
    (check this in PDF content)

  2. Start
    2349
    Prefix
    Очевидно, что именно расклинивающее давление ответственно за форму свободной поверхности вблизи линии трехфазного контакта. (Термин «расклинивающее давление» в настоящее время является общепринятым и был впервые введен Б. В. Дерягиным
    Exact
    [2]
    Suffix
    , [3].) В рамках такого подхода удается в замкнутом непротиворечивом виде сформулировать соответствующую задачу математической физики [4]. Уникальная зависимость расклинивающего давления от толщины жидкой пленки и угла наклона свободной поверхности приводит, с одной стороны, к вырождению уравнений гидродинамики на линии трехфазного контакта и, с другой стороны, к вы
    (check this in PDF content)

  3. Start
    2354
    Prefix
    Очевидно, что именно расклинивающее давление ответственно за форму свободной поверхности вблизи линии трехфазного контакта. (Термин «расклинивающее давление» в настоящее время является общепринятым и был впервые введен Б. В. Дерягиным [2],
    Exact
    [3]
    Suffix
    .) В рамках такого подхода удается в замкнутом непротиворечивом виде сформулировать соответствующую задачу математической физики [4]. Уникальная зависимость расклинивающего давления от толщины жидкой пленки и угла наклона свободной поверхности приводит, с одной стороны, к вырождению уравнений гидродинамики на линии трехфазного контакта и, с другой стороны, к выполне
    (check this in PDF content)

  4. Start
    2540
    Prefix
    (Термин «расклинивающее давление» в настоящее время является общепринятым и был впервые введен Б. В. Дерягиным [2], [3].) В рамках такого подхода удается в замкнутом непротиворечивом виде сформулировать соответствующую задачу математической физики
    Exact
    [4]
    Suffix
    . Уникальная зависимость расклинивающего давления от толщины жидкой пленки и угла наклона свободной поверхности приводит, с одной стороны, к вырождению уравнений гидродинамики на линии трехфазного контакта и, с другой стороны, к выполнению условия Юнга.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    2916
    Prefix
    Уникальная зависимость расклинивающего давления от толщины жидкой пленки и угла наклона свободной поверхности приводит, с одной стороны, к вырождению уравнений гидродинамики на линии трехфазного контакта и, с другой стороны, к выполнению условия Юнга. Эффективность такого подхода продемонстрирована авторами на нескольких примерах (см., например,
    Exact
    [5]
    Suffix
    , [6]). Несомненный интерес для анализа результатов экспериментов и технических приложений представляет формулирование в рамках этой парадигмы некоторых приближенных соотношений, связывающих скорость перемещения трехфазной границы с «динамическим» углом смачивания, зависящим от скорости перемещения линии трехфазного контакта.
    (check this in PDF content)

  6. Start
    2921
    Prefix
    Уникальная зависимость расклинивающего давления от толщины жидкой пленки и угла наклона свободной поверхности приводит, с одной стороны, к вырождению уравнений гидродинамики на линии трехфазного контакта и, с другой стороны, к выполнению условия Юнга. Эффективность такого подхода продемонстрирована авторами на нескольких примерах (см., например, [5],
    Exact
    [6]
    Suffix
    ). Несомненный интерес для анализа результатов экспериментов и технических приложений представляет формулирование в рамках этой парадигмы некоторых приближенных соотношений, связывающих скорость перемещения трехфазной границы с «динамическим» углом смачивания, зависящим от скорости перемещения линии трехфазного контакта.
    (check this in PDF content)

  7. Start
    3288
    Prefix
    Несомненный интерес для анализа результатов экспериментов и технических приложений представляет формулирование в рамках этой парадигмы некоторых приближенных соотношений, связывающих скорость перемещения трехфазной границы с «динамическим» углом смачивания, зависящим от скорости перемещения линии трехфазного контакта. Так, например, в
    Exact
    [7]
    Suffix
    рассматривается задача о безнапорном заполнении тонкого капилляра частично смачивающей жидкостью. Для замыкания системы уравнений в [7] используется полученное авторами обобщение известного асимптотического закона для динамического угла смачивания Таннера [8].
    (check this in PDF content)

  8. Start
    3436
    Prefix
    в рамках этой парадигмы некоторых приближенных соотношений, связывающих скорость перемещения трехфазной границы с «динамическим» углом смачивания, зависящим от скорости перемещения линии трехфазного контакта. Так, например, в [7] рассматривается задача о безнапорном заполнении тонкого капилляра частично смачивающей жидкостью. Для замыкания системы уравнений в
    Exact
    [7]
    Suffix
    используется полученное авторами обобщение известного асимптотического закона для динамического угла смачивания Таннера [8]. В настоящей работе численно определяется форма свободной поверхности жидкости вблизи линии трехфазного контакта при стекании жидкости со смоченной поверхности.
    (check this in PDF content)

  9. Start
    3565
    Prefix
    Так, например, в [7] рассматривается задача о безнапорном заполнении тонкого капилляра частично смачивающей жидкостью. Для замыкания системы уравнений в [7] используется полученное авторами обобщение известного асимптотического закона для динамического угла смачивания Таннера
    Exact
    [8]
    Suffix
    . В настоящей работе численно определяется форма свободной поверхности жидкости вблизи линии трехфазного контакта при стекании жидкости со смоченной поверхности. По результатам численных экспериментов получены аналогичные приближенные соотношения для отступающей трехфазной границы.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    4052
    Prefix
    По результатам численных экспериментов получены аналогичные приближенные соотношения для отступающей трехфазной границы. Постановка задачи В приближении теории смазки форма свободной поверхности одномерной жидкой пленки, растекающейся вдоль гладкой твердой поверхности при частичном смачивании, описывается уравнением
    Exact
    [4]
    Suffix
    – [6]:  2 3 2 1 0 3 hhh h txxxx         , (1) где h(x, t) - толщина слоя жидкости над твердой поверхностью, x, t - координата вдоль которой растекается жидкость (см. рис. 1) и время соответственно,  - динамическая вязкость,  - поверхностное натяжение, функция (h) определяет зависимость расклинивающего давления (или, с точностью до знак
    (check this in PDF content)

  11. Start
    4057
    Prefix
    Постановка задачи В приближении теории смазки форма свободной поверхности одномерной жидкой пленки, растекающейся вдоль гладкой твердой поверхности при частичном смачивании, описывается уравнением [4] –
    Exact
    [6]
    Suffix
    :  2 3 2 1 0 3 hhh h txxxx         , (1) где h(x, t) - толщина слоя жидкости над твердой поверхностью, x, t - координата вдоль которой растекается жидкость (см. рис. 1) и время соответственно,  - динамическая вязкость,  - поверхностное натяжение, функция (h) определяет зависимость расклинивающего давления (или, с точностью до знака, хим
    (check this in PDF content)

  12. Start
    4905
    Prefix
    S LSL S LShn an n aGn n a G        . (2) Здесь функция 32 3 1 2 Gcossincos    , nL, nS - концентрации молекул жидкости и твердого тела соответственно, aLL, aLS - постоянные взаимодействия молекул жидкость – жидкость и жидкость – твердое тело по Ван-дер-Ваальсу - Лондону соответственно. Все подробности вывода соотношений (1) и (2) приведены в
    Exact
    [4]
    Suffix
    . Из соотношения (2) следует, что если 2LL LL SLSa nn n a, то всегда существует некоторое значение угла  = 0,  >  > 0, такое, что (h) = 0,  = 0. Поэтому в рамках развиваемой теории при равновесии обязательно выполняется равенство  = 0 при h = 0.
    (check this in PDF content)

  13. Start
    8789
    Prefix
    Относительная роль поверхностного натяжения и расклинивающего давления определяется равенством: 3 00 ALL, h    где 0 > 0 - характерное значение кривизны поверхности пленки, h0 - некоторая «критическая» толщина пленки. При толщине пленки 33 hh0 расклинивающее давление должно учитываться наряду с поверхностным натяжением. Учитывая, что 2 0 ALL r  (смотри
    Exact
    [4]
    Suffix
    ), r0 - радиус молекулы жидкости по Вандер-Ваальсу, критическую толщину пленки можно оценить в виде 32 hr000 . Таким образом, получается оценка области толщин жидкой пленки, где учет расклинивающего давления целесообразен и возможен в рамках механики сплошной среды: .
    (check this in PDF content)

  14. Start
    9251
    Prefix
    Таким образом, получается оценка области толщин жидкой пленки, где учет расклинивающего давления целесообразен и возможен в рамках механики сплошной среды: . Если, например, принять r0 = 10 -10 м, 0 = 10 -4 м, то критическая толщина пленки h0 = 10-8 м 0. Экспериментальные данные свидетельствуют
    Exact
    [2, 3]
    Suffix
    , что молекулярная составляющая расклинивающего давления в некоторых случаях проявляется уже на толщинах порядка 10 -7 м. Поэтому говорят, что молекулярная составляющая расклинивающего давления носит диффузный характер.
    (check this in PDF content)

  15. Start
    9837
    Prefix
    Пусть 0 f f dx xt dt , где ()fxt - функция, определяющая положение трехфазной границы (см. рис. 1), при этом 0fx соответствует натеканию жидкости на сухую твердую поверхность, а 0fx - стеканию жидкости (см. рис. 1). Найдем форму уравнения (5), асимптотически справедливую при fxx t. Для большей наглядности воспользуемся методом работы
    Exact
    [9]
    Suffix
    . Дифференцируя первое из граничных условий по времени t, получим f0 ww x tx    , fx x t. Предположим, что это соотношение, строго выполняющееся на линии трехфазного контакта, выполняется и в некоторой окрестности трехфазной границы жидкости 0w, xfx t.
    (check this in PDF content)

  16. Start
    10896
    Prefix
    Важно отметить, что в случае бегущей волны, когда fxconst и ,w x tw, уравнение (7) является точным следствием соотношений (5), (6). Учет расклинивающего давления в уравнении (7) является принципиально важным и полностью решает проблему с выполнением условия Юнга на движущейся линии трехфазного контакта
    Exact
    [4]
    Suffix
    . Уравнение (7) достаточно полно может быть проанализировано только численно. Наибольший интерес представляет область вблизи линии трехфазного контакта, в которой роль расклинивающего давления существенна, то есть при 0w, 0 .
    (check this in PDF content)

  17. Start
    12525
    Prefix
    вид 212 23 12 10 2 f ppp xp         . (11) Из условий (9) и (10) следует граничное условие для уравнения (11) p = 0,  = 0. (12) Достаточно полное исследование задачи (11), (12) можно провести только численно. Характер особой точки p =  = 0 уравнения (12) может быть исследован методом изоклин или аналитически методом соприкасающихся парабол
    Exact
    [10]
    Suffix
    . Укажем лишь, что особая точка уравнения (11)  = 0 является седлом и существует единственная интегральная кривая входящая в эту точку, причем всегда p = 0 при  = 0, что гарантирует выполнение условие равновесия Юнга на линии трехфазного контакта.
    (check this in PDF content)

  18. Start
    12888
    Prefix
    Укажем лишь, что особая точка уравнения (11)  = 0 является седлом и существует единственная интегральная кривая входящая в эту точку, причем всегда p = 0 при  = 0, что гарантирует выполнение условие равновесия Юнга на линии трехфазного контакта. Для натекания жидкости на твердую поверхность 0fx расчеты показали (подробности смотри, например, в
    Exact
    [3]
    Suffix
    , [11]), что функция () есть монотонно растущая функция, причем, если независимая переменная   , то и зависимая переменная   . При этом вблизи линии трехфазного контакта при растекании существует тонкий переходный слой, кривизна свободной поверхности жидкости в котором достигает значительной величины.
    (check this in PDF content)

  19. Start
    12893
    Prefix
    Укажем лишь, что особая точка уравнения (11)  = 0 является седлом и существует единственная интегральная кривая входящая в эту точку, причем всегда p = 0 при  = 0, что гарантирует выполнение условие равновесия Юнга на линии трехфазного контакта. Для натекания жидкости на твердую поверхность 0fx расчеты показали (подробности смотри, например, в [3],
    Exact
    [11]
    Suffix
    ), что функция () есть монотонно растущая функция, причем, если независимая переменная   , то и зависимая переменная   . При этом вблизи линии трехфазного контакта при растекании существует тонкий переходный слой, кривизна свободной поверхности жидкости в котором достигает значительной величины.
    (check this in PDF content)

  20. Start
    14443
    Prefix
    Этот угол можно также назвать «макроскопическим» углом смачивания d в отличие от реального «микроскопического» угла смачивания, который в рамках развиваемой теории всегда равен равновесному углу смачивания e. Для динамического угла смачивания в
    Exact
    [3]
    Suffix
    получены оценки  22     ddefx, где неопределенная безразмерная величина 0const  имеет порядок нескольких единиц. Из последнего соотношения следует, что если выполнено сильное неравенство , то 3dfx  .
    (check this in PDF content)

  21. Start
    14718
    Prefix
    Для динамического угла смачивания в [3] получены оценки  22     ddefx, где неопределенная безразмерная величина 0const  имеет порядок нескольких единиц. Из последнего соотношения следует, что если выполнено сильное неравенство , то 3dfx  . Это соотношение совпадает с законом Таннера
    Exact
    [4]
    Suffix
    , хорошо подтвержденным экспериментально. Если же наоборот 22de  , то получим 22 2 def e x       , что подтверждается и численным экспериментом [14] и общими физическими соображениями.
    (check this in PDF content)

  22. Start
    14881
    Prefix
    Это соотношение совпадает с законом Таннера [4], хорошо подтвержденным экспериментально. Если же наоборот 22de  , то получим 22 2 def e x       , что подтверждается и численным экспериментом
    Exact
    [14]
    Suffix
    и общими физическими соображениями. Основные результаты Остановимся более подробно на случае стекания жидкости со смоченной твердой поверхности, то есть 0fx. Полученные ранее оценки, справедливые для натекания жидкости на твердую поверхность 0fx, здесь не имеют места.
    (check this in PDF content)

  23. Start
    16980
    Prefix
    Как видно, форма отступающей жидкой пленки может быть достаточно сложной. Такие режимы движения жидкой пленки реально реализуются, по-видимому, при полном смачивании и отсутствии линии трехфазного контакта
    Exact
    [12]
    Suffix
    . Рис. 2. Профили решений при * xf= 0,5 для различных значений постоянной: 1 – a4=0.1; 2 – a4= 0.05; 3 – a4= 0.5; 4 – a4= 1.0; 5 – a4= 5.0 Следуя общим принципам построения внутреннего асимптотического разложения [13], будем считать, что при удалении от линии трехфазного контакта кривизна поверхности должна стремиться к нулю.
    (check this in PDF content)

  24. Start
    17245
    Prefix
    Профили решений при * xf= 0,5 для различных значений постоянной: 1 – a4=0.1; 2 – a4= 0.05; 3 – a4= 0.5; 4 – a4= 1.0; 5 – a4= 5.0 Следуя общим принципам построения внутреннего асимптотического разложения
    Exact
    [13]
    Suffix
    , будем считать, что при удалении от линии трехфазного контакта кривизна поверхности должна стремиться к нулю. В частности, если комплекс 0fx, то решение уравнения должно переходить в стационарное решение:1 d d    при всех значениях переменной .
    (check this in PDF content)

  25. Start
    17942
    Prefix
    Указанное предположение, безусловно, отвечает существу проблемы, если только не рассматриваются объекты экстремально малого размера. Несмотря на большое внимание к данной проблеме в литературе
    Exact
    [14-25]
    Suffix
    , в настоящее время она далека от окончательного решения. В связи с этим, авторами было проведено большое количество вычислений формы свободной поверхности жидкости по уравнению (8) с граничными условиями (9), (10) явным методом Рунге – Кутты четвертого порядка точности.
    (check this in PDF content)