The 18 reference contexts in paper N. Tiannikova D., V. Timonin I., В. Тимонин И., Н. Тянникова Д. (2016) “Модификация критерия Реньи при проверке гипотез о значении коэффициента ускорения в испытаниях с переменной нагрузкой // Renyi Criterion Modification in Testing the Hypotheses About Acceleration Factor Meaning at Variable-Load Tests” / spz:neicon:technomag:y:2014:i:8:p:110-122

  1. Start
    1899
    Prefix
    Ключевые слова: форсированные испытания, статистики типа Реньи, испытания в переменных режимах, непараметрическая статистика, оценки Каплана-Мейера Введение Применение режима испытаний с переменной нагрузкой является главной особенностью предварительных исследований в теории форсированных испытаний
    Exact
    [1,2,3]
    Suffix
    . Не вдаваясь в излишнюю детализацию описания стандартных процедур проведения этих исследований (они подробно изложены в [4,5,6]), заметим, что они предназначены для определения функций пересчета между наработками на отказ в нормальном и форсированном режимах.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    2029
    Prefix
    , статистики типа Реньи, испытания в переменных режимах, непараметрическая статистика, оценки Каплана-Мейера Введение Применение режима испытаний с переменной нагрузкой является главной особенностью предварительных исследований в теории форсированных испытаний [1,2,3]. Не вдаваясь в излишнюю детализацию описания стандартных процедур проведения этих исследований (они подробно изложены в
    Exact
    [4,5,6]
    Suffix
    ), заметим, что они предназначены для определения функций пересчета между наработками на отказ в нормальном и форсированном режимах. Основным недостатком применяемых схем является необходимость испытаний не только в переменном, но и в постоянном режиме, что приводит к большим временным и материальным затратам.
    (check this in PDF content)

  3. Start
    2374
    Prefix
    Основным недостатком применяемых схем является необходимость испытаний не только в переменном, но и в постоянном режиме, что приводит к большим временным и материальным затратам. В связи с этим в работах
    Exact
    [7,8]
    Suffix
    был предложен новый метод проведения и обработки результатов предварительных исследований, который позволял определять функции пересчета только по испытаниям в переменном режиме, что значительно сокращает время на их проведение.
    (check this in PDF content)

  4. Start
    4308
    Prefix
    Обозначим 01( 1), ,..., iii   m  – реальные времена работы изделий i-ой группы в режимах 11 0, ,...,   m  соответственно. Тогда, очевидно, 01min ,..., iii m . Как доказано в
    Exact
    [9]
    Suffix
    , при соблюдении некоторых слабых ограничений на распределение наработок i, гипотеза (1) эквивалентна статистической гипотезе о том, что выборка 0i, 1011iii   , ..., ( 1)0( 1)( 1) iii mmm    извлечена из той же совокупности, что и выборка 12, ,..., iii   m с функцией распределения 0()Ft.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    5226
    Prefix
    Обозначим через 1 110 1( 1)0 1( 1), ,...,,..., , ,...,nnnmmQ     объединенную выборку из всех реальных и прогнозных наработок изделий. Пусть 100,...,n – выборка из наработок изделий до первого отказа каждого группы. Её можно рассматривать как прогрессивно цензурированную выборку
    Exact
    [10]
    Suffix
    из совокупности с 0()Ft. Тогда, при справедливости (1) можно оценить функцию надежности 0()Pt по выборкам Q и  согласно следующим формулам [10]:         1 1 1 1 1 2 1,0, 1 1, 1( 1), 1 0,, 1, dt i q dt P td tn m n i d tn dt Pt mn              где 12,d td t – количество элементов выборок  и Q, меньших t.
    (check this in PDF content)

  6. Start
    5371
    Prefix
    Её можно рассматривать как прогрессивно цензурированную выборку [10] из совокупности с 0()Ft. Тогда, при справедливости (1) можно оценить функцию надежности 0()Pt по выборкам Q и  согласно следующим формулам
    Exact
    [10]
    Suffix
    :         1 1 1 1 1 2 1,0, 1 1, 1( 1), 1 0,, 1, dt i q dt P td tn m n i d tn dt Pt mn              где 12,d td t – количество элементов выборок  и Q, меньших t.
    (check this in PDF content)

  7. Start
    5642
    Prefix
    функцию надежности 0()Pt по выборкам Q и  согласно следующим формулам [10]:         1 1 1 1 1 2 1,0, 1 1, 1( 1), 1 0,, 1, dt i q dt P td tn m n i d tn dt Pt mn              где 12,d td t – количество элементов выборок  и Q, меньших t. Оценка Pt называется оценкой Каплана-Мейера функции 0Pt по цензурированным данным
    Exact
    [10]
    Suffix
    . Очевидно, что 12d td t. В [8] для проверки (1) использовалась статистика вида    1 max1 11 m q mnqmt qq Pt TmnP tP t mP tP t       , которая является аналогом статистики Колмогорова-Смирнова применительно к рассматриваемой проблеме.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    5683
    Prefix
    Q и  согласно следующим формулам [10]:         1 1 1 1 1 2 1,0, 1 1, 1( 1), 1 0,, 1, dt i q dt P td tn m n i d tn dt Pt mn              где 12,d td t – количество элементов выборок  и Q, меньших t. Оценка Pt называется оценкой Каплана-Мейера функции 0Pt по цензурированным данным [10]. Очевидно, что 12d td t. В
    Exact
    [8]
    Suffix
    для проверки (1) использовалась статистика вида    1 max1 11 m q mnqmt qq Pt TmnP tP t mP tP t       , которая является аналогом статистики Колмогорова-Смирнова применительно к рассматриваемой проблеме.
    (check this in PDF content)

  9. Start
    6580
    Prefix
    Для проверки справедливости (1) предлагается статистика типа Реньи, которая имеет вид ( ) 1 (1 ) max q q Pq nPP Rm P      , (2) где 1() 1(1 ) m m x x m xx   , r mn     - глубина цензурирования. Заметим, что вид статистики (2) похож на вид стандартной двухвыборочной статистики Реньи
    Exact
    [11]
    Suffix
    , за исключением нормирующего множителя и области, по которой вычисляется максимум. Основным результатом статьи является определение точных (для конечных объёмов выборок) и асимптотического распределения (2) при справедливости гипотезы (1). 2.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    7020
    Prefix
    Основным результатом статьи является определение точных (для конечных объёмов выборок) и асимптотического распределения (2) при справедливости гипотезы (1). 2. Асимптотическое распределение Без ограничения общности можно считать, что 0( ) 1 , 0 1.P ttt    В
    Exact
    [7]
    Suffix
    была доказана теорема, на которую существенно опирается вывод основного результата работы. Теорема 1. [7] Распределение процесса ( )( ( ) ( ))mnqY t m n P t P t, 01tT  , слабо сходится при n к распределению непрерывного гауссовского процесса ()Yt с E Y t0,   1 1 1 11 1 1 mm m smss E Y s Y tt s            , 0.s t T
    (check this in PDF content)

  11. Start
    7126
    Prefix
    Асимптотическое распределение Без ограничения общности можно считать, что 0( ) 1 , 0 1.P ttt    В [7] была доказана теорема, на которую существенно опирается вывод основного результата работы. Теорема 1.
    Exact
    [7]
    Suffix
    Распределение процесса ( )( ( ) ( ))mnqY t m n P t P t, 01tT  , слабо сходится при n к распределению непрерывного гауссовского процесса ()Yt с E Y t0,   1 1 1 11 1 1 mm m smss E Y s Y tt s            , 0.s t T   Тогда для предельного распределения R справедлив следующий результат.
    (check this in PDF content)

  12. Start
    7954
    Prefix
    Заметим прежде всего, что в силу теоремы Гливенко и при условии (1), выполняется соотношение sup10 1qn t PPt   . Кроме того, в силу определения статистики (2), знаменатель qP ограничен снизу положительным числом. В этом случае, как было указано в
    Exact
    [11]
    Suffix
    , при определении асимптотических распределений можно заменить ()qPt на ее предельное значение (1 )t. Рассмотрим преобразование    1 1 1 11 11 mm m tmtt t mtt             :[0,1] [0,1].
    (check this in PDF content)

  13. Start
    9081
    Prefix
    111 11 1 11111 mmmm mmm tssmss t mttmsss                    1 11 11 11 1111 mmm mm tsmss mttmss                   11 11 1 111 11 11 1111 mmmm mm smsstmtt uv mssmtt                     , .uv Следовательно, W есть стандартный броуновский мост
    Exact
    [11]
    Suffix
    . Имеем (1 )() ( )sup 1 W L hPh        = 1 ( ) 1 (1 )( ( )) sup t1 ( ) Wt Ph t         = = 1 (1 )1 1 (1 )1 (1 )() sup (1 ) 1 (1 ) m m m t mtmt Vt Ph t mtt             = = 1 (1 )1 1 (1 ) (1 )() sup m1 m t mtt Yt Ph t           = ( ) 1 (1 ) limmax q q nP q nPP Pm P     
    (check this in PDF content)

  14. Start
    9715
    Prefix
     Доказанная теорема позволяет проверять гипотезы (1) при больших объемах выборок n. В реальных условиях эти объемы никогда не превышают нескольких десятков. Известно, что скорость сходимости распределений статистик типа Колмогорова – Смирнова очень медленная
    Exact
    [12]
    Suffix
    . По этой причине необходимо иметь метод вычисления точных распределений статистики (2). 3. Точные распределения В работе [8] был разработан общий метод вычисления точных распределений статистик типа Колмогорова – Смирнова.
    (check this in PDF content)

  15. Start
    9839
    Prefix
    Известно, что скорость сходимости распределений статистик типа Колмогорова – Смирнова очень медленная [12]. По этой причине необходимо иметь метод вычисления точных распределений статистики (2). 3. Точные распределения В работе
    Exact
    [8]
    Suffix
    был разработан общий метод вычисления точных распределений статистик типа Колмогорова – Смирнова. Он основан на модели случайного блуждания по ячейкам матрицы A треугольного вида. При этом вероятности ()P R h вычисляются как вероятности невыхода траекторий случайного блуждания из некоторого подмножества 0AA.
    (check this in PDF content)

  16. Start
    10628
    Prefix
    Пусть00 1 1,если одно из , ,1, 1,0. 0,в противном случае, ii i iijii j zVz W n Vimn W          Вектор 12, ,...,mnZz zz называется допустимым, если: 1. Z состоит из n единиц и 1mn нулей; 2.  1 1min ,i i Vi n m      . Очевидно, что в результате испытаний могут появиться только допустимые векторы. Теорема 3.
    Exact
    [8]
    Suffix
    Распределение вероятностей допустимых векторов не зависит от вида функции надежности 0()Pt и определяется следующим выражением:   11 ! 11 ...111 ! n nm mn p Zmr mmrmn m mn                1 1 ! 11 ! nmn j j mn mr mj mn     , (4) где jr – номер j-ого нуля в векторе Z.
    (check this in PDF content)

  17. Start
    11038
    Prefix
    зависит от вида функции надежности 0()Pt и определяется следующим выражением:   11 ! 11 ...111 ! n nm mn p Zmr mmrmn m mn                1 1 ! 11 ! nmn j j mn mr mj mn     , (4) где jr – номер j-ого нуля в векторе Z.  Чтобы вычислить точные распределения статистики R, введем следующую модель случайного блуждания
    Exact
    [8]
    Suffix
    . Пусть { } , 0,...,1 , 0,...,ijaA jn min  – двумерный массив ячеек (он имеет треугольный вид). Частица на первом шаге выходит из ячейки , ( 1)n n ma и на l-ом шаге переходит из 11, 11lln Wmn Wla    в ячейку ,1.lln W mn W la   На mn-ом шаге она заканчивает блуждание в ячейке 00a.
    (check this in PDF content)

  18. Start
    12662
    Prefix
    1)i n j n m  . 2. 1 () 1; ( )() ( ) m mm mn i j mnm mn i ji j      3.1 () (1 ) ( )() ( ) m mm mn i j mnm mn i ji j      1 1 (1) (1 ) i k mn i j nmn mk mmn mh mn i j mn            . Доказательство. Учитывая (4), нетрудно видеть, что вероятность реализации каждой траектории
    Exact
    [8]
    Suffix
    можно записать в виде    1111 1 11 mnzzmn lmn lmn lzmn lmn l l ll mWmWmn l p l            . (6) Пусть ij – множество «частичных» траекторий, оканчивающихся в ija (соответствующие Z имеют (ni) единиц и ( 1)n mj нулей на последних ()mn i j местах).
    (check this in PDF content)