The 26 reference contexts in paper E. Popova M., Е. Попова М. (2016) “Об одном способе построения оператора продолжения // About one method of extension operator construction” / spz:neicon:technomag:y:2014:i:2:p:161-172

  1. Start
    355
    Prefix
    УДК 517.518 Росси я, МГТУ им. Н.Э. Баумана Введение Теоремы о продолжении функций из изотропных пространств Соболева )(Ω l Wp с Ω на R n с сохранением дифференциальных свойств доказывались многими авторами
    Exact
    [1]
    Suffix
    – [10], [14]. Для областей с липшицевой границей оператор продолжения был построен в работе Кальдерона [1] при 1< p <∞, в работах Стейна [2], В.И. Буренкова [3] при 1 ≤ p ≤ ∞ ; для более общих областей – в работе Джонса [4].
    (check this in PDF content)

  2. Start
    361
    Prefix
    УДК 517.518 Росси я, МГТУ им. Н.Э. Баумана Введение Теоремы о продолжении функций из изотропных пространств Соболева )(Ω l Wp с Ω на R n с сохранением дифференциальных свойств доказывались многими авторами [1] –
    Exact
    [10]
    Suffix
    , [14]. Для областей с липшицевой границей оператор продолжения был построен в работе Кальдерона [1] при 1< p <∞, в работах Стейна [2], В.И. Буренкова [3] при 1 ≤ p ≤ ∞ ; для более общих областей – в работе Джонса [4].
    (check this in PDF content)

  3. Start
    367
    Prefix
    Н.Э. Баумана Введение Теоремы о продолжении функций из изотропных пространств Соболева )(Ω l Wp с Ω на R n с сохранением дифференциальных свойств доказывались многими авторами [1] – [10],
    Exact
    [14]
    Suffix
    . Для областей с липшицевой границей оператор продолжения был построен в работе Кальдерона [1] при 1< p <∞, в работах Стейна [2], В.И. Буренкова [3] при 1 ≤ p ≤ ∞ ; для более общих областей – в работе Джонса [4].
    (check this in PDF content)

  4. Start
    463
    Prefix
    Баумана Введение Теоремы о продолжении функций из изотропных пространств Соболева )(Ω l Wp с Ω на R n с сохранением дифференциальных свойств доказывались многими авторами [1] – [10], [14]. Для областей с липшицевой границей оператор продолжения был построен в работе Кальдерона
    Exact
    [1]
    Suffix
    при 1< p <∞, в работах Стейна [2], В.И. Буренкова [3] при 1 ≤ p ≤ ∞ ; для более общих областей – в работе Джонса [4]. С.К. Водопьянов и В.М. Гольдштейн [5] получили необходимые условия на Ω, при которых построение такого оператора возможно ( совпадающие при p = 2, l = 1, n = 2 с достаточными ).
    (check this in PDF content)

  5. Start
    498
    Prefix
    Баумана Введение Теоремы о продолжении функций из изотропных пространств Соболева )(Ω l Wp с Ω на R n с сохранением дифференциальных свойств доказывались многими авторами [1] – [10], [14]. Для областей с липшицевой границей оператор продолжения был построен в работе Кальдерона [1] при 1< p <∞, в работах Стейна
    Exact
    [2]
    Suffix
    , В.И. Буренкова [3] при 1 ≤ p ≤ ∞ ; для более общих областей – в работе Джонса [4]. С.К. Водопьянов и В.М. Гольдштейн [5] получили необходимые условия на Ω, при которых построение такого оператора возможно ( совпадающие при p = 2, l = 1, n = 2 с достаточными ).
    (check this in PDF content)

  6. Start
    518
    Prefix
    Баумана Введение Теоремы о продолжении функций из изотропных пространств Соболева )(Ω l Wp с Ω на R n с сохранением дифференциальных свойств доказывались многими авторами [1] – [10], [14]. Для областей с липшицевой границей оператор продолжения был построен в работе Кальдерона [1] при 1< p <∞, в работах Стейна [2], В.И. Буренкова
    Exact
    [3]
    Suffix
    при 1 ≤ p ≤ ∞ ; для более общих областей – в работе Джонса [4]. С.К. Водопьянов и В.М. Гольдштейн [5] получили необходимые условия на Ω, при которых построение такого оператора возможно ( совпадающие при p = 2, l = 1, n = 2 с достаточными ).
    (check this in PDF content)

  7. Start
    582
    Prefix
    Для областей с липшицевой границей оператор продолжения был построен в работе Кальдерона [1] при 1< p <∞, в работах Стейна [2], В.И. Буренкова [3] при 1 ≤ p ≤ ∞ ; для более общих областей – в работе Джонса
    Exact
    [4]
    Suffix
    . С.К. Водопьянов и В.М. Гольдштейн [5] получили необходимые условия на Ω, при которых построение такого оператора возможно ( совпадающие при p = 2, l = 1, n = 2 с достаточными ). В работе Буренкова [3] для областей с липшицевой границей был построен оператор продолжения Т, обладающий тем свойством, что продолженная функция бесконечно дифференцируема
    (check this in PDF content)

  8. Start
    621
    Prefix
    Для областей с липшицевой границей оператор продолжения был построен в работе Кальдерона [1] при 1< p <∞, в работах Стейна [2], В.И. Буренкова [3] при 1 ≤ p ≤ ∞ ; для более общих областей – в работе Джонса [4]. С.К. Водопьянов и В.М. Гольдштейн
    Exact
    [5]
    Suffix
    получили необходимые условия на Ω, при которых построение такого оператора возможно ( совпадающие при p = 2, l = 1, n = 2 с достаточными ). В работе Буренкова [3] для областей с липшицевой границей был построен оператор продолжения Т, обладающий тем свойством, что продолженная функция бесконечно дифференцируема вне Ω, и такого, что он является
    (check this in PDF content)

  9. Start
    804
    Prefix
    Водопьянов и В.М. Гольдштейн [5] получили необходимые условия на Ω, при которых построение такого оператора возможно ( совпадающие при p = 2, l = 1, n = 2 с достаточными ). В работе Буренкова
    Exact
    [3]
    Suffix
    для областей с липшицевой границей был построен оператор продолжения Т, обладающий тем свойством, что продолженная функция бесконечно дифференцируема вне Ω, и такого, что он является наилучшим в смысле скорости роста производных ()( )D Tf xα, lα>, при подходе к границе области.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    1653
    Prefix
    В этой же работе было показано, что показатель l−α нельзя заменить на εα−−l с ε>0. В случае анизотропных пространств Соболева вопрос о построении операторов продолжения изучался в работе В.П. Ильина
    Exact
    [6]
    Suffix
    для областей, удовлетворяющих сильному условию рога, для более общих областей — в работах Б.Л. Файна [8]. Наилучшие в смысле скорости роста производных высокого порядка от продолжающей функции операторы продолжения построены в работе В.
    (check this in PDF content)

  11. Start
    1769
    Prefix
    В случае анизотропных пространств Соболева вопрос о построении операторов продолжения изучался в работе В.П. Ильина [6] для областей, удовлетворяющих сильному условию рога, для более общих областей — в работах Б.Л. Файна
    Exact
    [8]
    Suffix
    . Наилучшие в смысле скорости роста производных высокого порядка от продолжающей функции операторы продолжения построены в работе В.И. Буренкова и Б.Л. Файна [9]. В работах [3], [9] оператор продолжения, наилучший в смысле скорости роста производных высокого порядка от продолжающей функции строился непосредственно.
    (check this in PDF content)

  12. Start
    1940
    Prefix
    Ильина [6] для областей, удовлетворяющих сильному условию рога, для более общих областей — в работах Б.Л. Файна [8]. Наилучшие в смысле скорости роста производных высокого порядка от продолжающей функции операторы продолжения построены в работе В.И. Буренкова и Б.Л. Файна
    Exact
    [9]
    Suffix
    . В работах [3], [9] оператор продолжения, наилучший в смысле скорости роста производных высокого порядка от продолжающей функции строился непосредственно. В [10], [14] было показано, что любой оператор продолжения 11( ) :,...,,..., ()nnlllln Ext WppWRΩ→ можно превратить в оператор продолжения ( )11 :,...,,..., ()nnlllln TWppWRΩ→, наилучший в с
    (check this in PDF content)

  13. Start
    1954
    Prefix
    Ильина [6] для областей, удовлетворяющих сильному условию рога, для более общих областей — в работах Б.Л. Файна [8]. Наилучшие в смысле скорости роста производных высокого порядка от продолжающей функции операторы продолжения построены в работе В.И. Буренкова и Б.Л. Файна [9]. В работах
    Exact
    [3]
    Suffix
    , [9] оператор продолжения, наилучший в смысле скорости роста производных высокого порядка от продолжающей функции строился непосредственно. В [10], [14] было показано, что любой оператор продолжения 11( ) :,...,,..., ()nnlllln Ext WppWRΩ→ можно превратить в оператор продолжения ( )11 :,...,,..., ()nnlllln TWppWRΩ→, наилучший в смысле скорости
    (check this in PDF content)

  14. Start
    1959
    Prefix
    Файна [8]. Наилучшие в смысле скорости роста производных высокого порядка от продолжающей функции операторы продолжения построены в работе В.И. Буренкова и Б.Л. Файна [9]. В работах [3],
    Exact
    [9]
    Suffix
    оператор продолжения, наилучший в смысле скорости роста производных высокого порядка от продолжающей функции строился непосредственно. В [10], [14] было показано, что любой оператор продолжения 11( ) :,...,,..., ()nnlllln Ext WppWRΩ→ можно превратить в оператор продолжения ( )11 :,...,,..., ()nnlllln TWppWRΩ→, наилучший в смысле скорости рост
    (check this in PDF content)

  15. Start
    2108
    Prefix
    Наилучшие в смысле скорости роста производных высокого порядка от продолжающей функции операторы продолжения построены в работе В.И. Буренкова и Б.Л. Файна [9]. В работах [3], [9] оператор продолжения, наилучший в смысле скорости роста производных высокого порядка от продолжающей функции строился непосредственно. В
    Exact
    [10]
    Suffix
    , [14] было показано, что любой оператор продолжения 11( ) :,...,,..., ()nnlllln Ext WppWRΩ→ можно превратить в оператор продолжения ( )11 :,...,,..., ()nnlllln TWppWRΩ→, наилучший в смысле скорости роста производных высокого порядка, применив к нему оператор приближения с сохранением граничных значений.
    (check this in PDF content)

  16. Start
    2115
    Prefix
    Буренкова и Б.Л. Файна [9]. В работах [3], [9] оператор продолжения, наилучший в смысле скорости роста производных высокого порядка от продолжающей функции строился непосредственно. В [10],
    Exact
    [14]
    Suffix
    было показано, что любой оператор продолжения 11( ) :,...,,..., ()nnlllln Ext WppWRΩ→ можно превратить в оператор продолжения ( )11 :,...,,..., ()nnlllln TWppWRΩ→, наилучший в смысле скорости роста производных высокого порядка, применив к нему оператор приближения с сохранением граничных значений.
    (check this in PDF content)

  17. Start
    2514
    Prefix
    показано, что любой оператор продолжения 11( ) :,...,,..., ()nnlllln Ext WppWRΩ→ можно превратить в оператор продолжения ( )11 :,...,,..., ()nnlllln TWppWRΩ→, наилучший в смысле скорости роста производных высокого порядка, применив к нему оператор приближения с сохранением граничных значений. В настоящей работе получено обобщение результатов
    Exact
    [10]
    Suffix
    , [14]. Пусть 1Ω ⊂Ω и ( )1ZΩ — некоторое банахово пространство функций, заданных на Ω1. Оказывается, что все определяется лишь тем функциональным пространством, в которое осуществляется продолжение, т.е. произвольный оператор продолжения ( )( )Ω→Ωn ll ExtZWp ,..., 1 :1 можно сделать наилучшим в смысле скорости роста производных высокого порядка с помощью оператора пр
    (check this in PDF content)

  18. Start
    2520
    Prefix
    , что любой оператор продолжения 11( ) :,...,,..., ()nnlllln Ext WppWRΩ→ можно превратить в оператор продолжения ( )11 :,...,,..., ()nnlllln TWppWRΩ→, наилучший в смысле скорости роста производных высокого порядка, применив к нему оператор приближения с сохранением граничных значений. В настоящей работе получено обобщение результатов [10],
    Exact
    [14]
    Suffix
    . Пусть 1Ω ⊂Ω и ( )1ZΩ — некоторое банахово пространство функций, заданных на Ω1. Оказывается, что все определяется лишь тем функциональным пространством, в которое осуществляется продолжение, т.е. произвольный оператор продолжения ( )( )Ω→Ωn ll ExtZWp ,..., 1 :1 можно сделать наилучшим в смысле скорости роста производных высокого порядка с помощью оператора приближе
    (check this in PDF content)

  19. Start
    5501
    Prefix
    Положим ( )( ), 1 () 2 ∈0Ω     − =∫ Ω ∞ δ δλλλ δδ fydyC xy fxw где w удовлетворяет условиям {}()10,...,:( , 0) 1nllwC zzρ ∞ ∈≤; (4) ()1 Rn ∫w z dz=. (5) Докажем, что ,...,1 0() lim0lln Wp ffλδ δΩ→ −=. (6) Прежде всего, δλ1,...,()()(\)(\)3,...,13,...,13,...,1δλδδλδδΩΩΩΩΩΩ −≤−++nll WpllnpllnpllnpWWW ffffff (7) В
    Exact
    [14]
    Suffix
    было показано, что если ( )Ω∈nllpWf,...,1 и для любого компакта s (())( ),0,0 ' 1\ ∩ΩΩ=→δδ δ l fLS то 1( ) ( ),,...,; () 0,; llnn p fx x ФxW R x ∈Ω =∈ ∈Ω . (8) Вернёмся к оценке слагаемых в правой части неравенства (7).
    (check this in PDF content)

  20. Start
    6042
    Prefix
    Так как δ3Ω∈x функция f( )xλδ является усреднением функции )(xfили )(xФ (см. (8)), то есть [] []λλλδδδ)()()(xФxfxf== и ( ) ln ФxRn l,..., p ()W1∈ (см. (8)), то () [ ]( )[ ]( )0n,...,1,...,1 1,...,3R −=−≤−→Ω WpllnΩnllpnllpWW ffФФФФλλ δ δλδδ при 0→δ на основании свойств средних функций (см.
    Exact
    [11]
    Suffix
    ). В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега ()0 1,...,3\ ΩΩ→ Wpllnδ f при 0→δ. Оценим теперь δλ()()δδλδδ3,...,13,...,1\\ΩΩΩΩ =nll np ll WpW ff. Так как ∫()( )()()∫ −∈Ω + ∈Ω +−      =     − = ρ<δδδ δλλλλλ δδδδ2 i 1,...,(,)2 ii,11)(l i l i l i xz l y ldzzxf z fydyDw xy DfxDw i llnxy i то () ()() ( ) ()() ( )() () ( ) ( ) 0 () 11 1 (\) 0,1 l (\) 0,\ l i 0,(\) l \i l
    (check this in PDF content)

  21. Start
    7601
    Prefix
    Разобьём множество Ω на “слои” в соответствии с расстоянием :)(,...,l1xnlρ {} m ll m mxxn −−− Ω=∈Ω<≤2)(2:,..., 1 ρ1. Обозначим через ~ Ωm объединение трёх “слоёв”, через ~ ~ Ωm — пяти:  1 1 ~ , + =− Ω=Ω m sm ms 2 2 ~ ~+ =− Ω=Ω m sm ms. Согласно лемме о разбиении единицы
    Exact
    [12]
    Suffix
    существует последовательность неотрицательных функций ( ),...,2,1,0,±±=∈∞mRCnmψ таких, что 1) ∑ ∞ =−∞ =∈Ω m ψmxx;,1)( 2) ; supp ~ ΩmmmΩ⊂⊂ψ 3)  +∞ =−∞ Ω= m supp ψm, причём кратность покрытия {}mψ supp равна 2; 4) для любого мультииндекса ()nααα,...,1= ( )λα α αψ, m,,...,2)(1 m DxClln⋅≤.
    (check this in PDF content)

  22. Start
    8162
    Prefix
    С помощью этой последовательности функций { }mψ построим усреднение с переменным шагом следующим образом ( )( )∑∫ +∞ =−∞ =+− mR m m n EfxxfxzGzdz)()2()()(1 λ ψ, где )(zG — ядро усреднения, описанное в книге О.В. Бесова, В.П. Ильина, С.М. Никольского
    Exact
    [13]
    Suffix
    гл.2 п.7. С помощью )(zG строятся усреднения в интегральных представлениях функций. )(zG имеет вид ( )        − − =∫ − Rn k wyzydy k z Gz)()( 1! ()D 1 kθ. (9) Здесь 1( ,...,)nkk k=, где ik — достаточно большие натуральные числа; 1 (1,...,1),= 1 ()( ) n j j θθxx = =∏, ()tθ — функция Хевисайда, w — какое-либо ядро усреднения, удовлетворяющее условиям (4), (5).
    (check this in PDF content)

  23. Start
    8887
    Prefix
    Докажем, что оператор продолжения, определяемый равенством ( )( ) ( )( ) ()( ) 1 11 ,\; ,\, Extxx Tfx E Extxx G ∈Ω ∂Ω = ∈ =ΩΩ , удовлетворяет условиям теоремы. Докажем, прежде всего, что fTrExtfTrTf==. Рассмотрим разность ()( ) ()( ) ( )( ) 1 1 0,\; ,. x TfExtfx E ExtfxExtxx G ∈Ω ∂Ω −= −∈ (10) Согласно теореме 1 из
    Exact
    [15]
    Suffix
    ()∞<− − 1,...,() ' 1GL l ll np EExtfExtfρ, откуда следует, что при 0→δ ()[] () ( ) '' 1 ' 0 1(\),...,1\ l LGG l ll l EExtfExtfLGGpnpExtfExtfEδρδδδ=−≤− −, так как '' 1)(,..., ll ρllxnδ≤. Следовательно, в силу леммы (1) существует последовательность функций φs,1,2,...,=s таких, что ( )ExtfExtfEGCss−→∈∞10,φφ в ( )GWn ll p 1,..., . (11) Построим функции o φs в соответствии с (1).
    (check this in PDF content)

  24. Start
    9436
    Prefix
    В силу (10) и (11) TfExtf o φs−→ в ( ) ll1,...,n WpΩ, s→∞. Следовательно, по определению 2 ()0=−ExtfTfTr. Из линейности оператора Tr следует, что fTrExtfTrTf==. Свойства 1), 2) следуют из теоремы 1 (см.
    Exact
    [15]
    Suffix
    ). Теорема доказана. След часто определяется следующим образом (см., например, книгу С.В. Успенского, Г.П. Демиденко, В.Г. Перепёлкина [16]). Пусть kR∩Ω=Ωk. Определение 3. Функцию ( )kpLΩ∈ψ будем называть следом функции ( )1 ll,...,n fWp∈Ω, fkψΩ=, если для любой последовательности гладких функций ( ),...,2,1,=Ω∈ C∞s φs такой, что lim( )0,...,1=−Ω→∞nllpWssfφ, выполняется lim0)(=−Ω s→∞
    (check this in PDF content)

  25. Start
    9574
    Prefix
    Из линейности оператора Tr следует, что fTrExtfTrTf==. Свойства 1), 2) следуют из теоремы 1 (см. [15]). Теорема доказана. След часто определяется следующим образом (см., например, книгу С.В. Успенского, Г.П. Демиденко, В.Г. Перепёлкина
    Exact
    [16]
    Suffix
    ). Пусть kR∩Ω=Ωk. Определение 3. Функцию ( )kpLΩ∈ψ будем называть следом функции ( )1 ll,...,n fWp∈Ω, fkψΩ=, если для любой последовательности гладких функций ( ),...,2,1,=Ω∈ C∞s φs такой, что lim( )0,...,1=−Ω→∞nllpWssfφ, выполняется lim0)(=−Ω s→∞kpLs φψ. (12) Нетрудно видеть, что для следа, определённого подобным образом, выполняется условие определения 2.
    (check this in PDF content)

  26. Start
    10310
    Prefix
    Таким образом, линейный оператор TrfWpllp( )kLnΩ∈→∈ψ,...,1: является оператором следа в смысле определения 2. Пусть далее Ω удовлетворяет сильному условию l-рога, ( ).,1 1,..., <<∞∈Ωn ll pfWp Тогда (см.
    Exact
    [16]
    Suffix
    ) существует след fkr1,...,( ),krpkBΩ∈=Ωψгде         =−+∑∑ == n j k jjj ii plpl rl 11 1111 1, 1,...,ik=, 1p< <∞. Таким образом, справедливо следующее следствие. Следствие. Пусть nR⊂Ω — открытое множество, удовлетворяющее сильному условию lрога, .1∞<<pТогда существует оператор продолжения k()( )Ω→∩Ωn ll p rrk TBpWR 1,...,,...,1 :, где         =−+∑∑ == n j k jjj ii plpl
    (check this in PDF content)