The 32 reference contexts in paper A. Orlov A., V. Ignat'ev K., А. Орлов А., В. Игнатьев К. (2016) “Обратная магнитостатическая задача для ферромагнетиков // Inverse magnetostatic problem for ferromagnets” / spz:neicon:technomag:y:2014:i:1:p:300-324

  1. Start
    683
    Prefix
    материалов на основе решения обратной магнитостатической задачи, то есть восстановление намагниченности тела по измеренному вблизи его поверхности распределению магнитного поля, является важной задачей радиофизики и лежит в основе современных магнитных методов микроструктурного анализа, томографии и неразрушающего контроля. Понятие магнитного микрострутурного анализа введено Р.И. Янусом
    Exact
    [1]
    Suffix
    , как совокупность электромагнитных методов, позволяющих проверять изделия из ферромагнитных материалов на отсутствие в них структурных дефектов В России эта задача изучается почти в течение столетия многими исследователями как расчетным путем с использованием различных аппроксимаций, так и экспериментально, главным образом применительно к ферромагнетикам.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    1139
    Prefix
    из ферромагнитных материалов на отсутствие в них структурных дефектов В России эта задача изучается почти в течение столетия многими исследователями как расчетным путем с использованием различных аппроксимаций, так и экспериментально, главным образом применительно к ферромагнетикам. В качестве универсальной модели дефекта микроструктуры обычно принимается разработанная В.К. Аркадьевым
    Exact
    [2]
    Suffix
    эллипсоидная модель. Такая форма дефекта позволяет получать решения и для других форм, например для шара, узкой трещины, которая может быть уподоблена очень тонкому или удлиненному эллипсоиду. С. В.
    (check this in PDF content)

  3. Start
    1351
    Prefix
    Аркадьевым [2] эллипсоидная модель. Такая форма дефекта позволяет получать решения и для других форм, например для шара, узкой трещины, которая может быть уподоблена очень тонкому или удлиненному эллипсоиду. С. В. Вонсовский
    Exact
    [3]
    Suffix
    также рассматривал дефект в виде эллипсоида и показал, что сферический дефект действует наружу как диполь с моментом, помещенным в центр сферы. В случае трехосного эллипсоида нельзя считать, что созданное им внешнее поле эквивалентно действию некоторого диполя, помещенного в центре эллипсоида.
    (check this in PDF content)

  4. Start
    2069
    Prefix
    Сложность решения обратной магнитостатической задачи во многом обусловлена нелинейностью магнитных свойств, и следовательно сложной связь ю между параметрами дефектов и магнитных распределений. Так, А.Б. Сапожников
    Exact
    [4]
    Suffix
    показал, что внутренние дефекты ферромагнитных материалов создают существенно нелокальные распределения полей рассеяния. Попытка описать нелинейные магнитные свойства через нелинейные дифференциальные уравнения для потенциала магнитного поля проделаны в работе Р.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    2350
    Prefix
    Сапожников [4] показал, что внутренние дефекты ферромагнитных материалов создают существенно нелокальные распределения полей рассеяния. Попытка описать нелинейные магнитные свойства через нелинейные дифференциальные уравнения для потенциала магнитного поля проделаны в работе Р.В. Загидулина
    Exact
    [5]
    Suffix
    . При этом различные методы решения обратной задачи магнитостатики, оперируют с моделями, позволяющими исследовать образцы только в состоянии технического насыщения [1], поскольку ферромагнетики при меньших полях обладают остаточной намагниченностью, которая связана с микроструктурой материала неоднозначно [6] и существенно зависит от механических напряжений [7].
    (check this in PDF content)

  6. Start
    2517
    Prefix
    Попытка описать нелинейные магнитные свойства через нелинейные дифференциальные уравнения для потенциала магнитного поля проделаны в работе Р.В. Загидулина [5]. При этом различные методы решения обратной задачи магнитостатики, оперируют с моделями, позволяющими исследовать образцы только в состоянии технического насыщения
    Exact
    [1]
    Suffix
    , поскольку ферромагнетики при меньших полях обладают остаточной намагниченностью, которая связана с микроструктурой материала неоднозначно [6] и существенно зависит от механических напряжений [7]. Следует отметить, что регулярные сообщения в различных научных журналах о разработке и использовании нового математического и программного обеспечения для решения задач магнитостатики свидетельствуе
    (check this in PDF content)

  7. Start
    2658
    Prefix
    При этом различные методы решения обратной задачи магнитостатики, оперируют с моделями, позволяющими исследовать образцы только в состоянии технического насыщения [1], поскольку ферромагнетики при меньших полях обладают остаточной намагниченностью, которая связана с микроструктурой материала неоднозначно
    Exact
    [6]
    Suffix
    и существенно зависит от механических напряжений [7]. Следует отметить, что регулярные сообщения в различных научных журналах о разработке и использовании нового математического и программного обеспечения для решения задач магнитостатики свидетельствует о том, что эта область вычислительной электродинамики еще далека от своего логического завершения.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    2711
    Prefix
    При этом различные методы решения обратной задачи магнитостатики, оперируют с моделями, позволяющими исследовать образцы только в состоянии технического насыщения [1], поскольку ферромагнетики при меньших полях обладают остаточной намагниченностью, которая связана с микроструктурой материала неоднозначно [6] и существенно зависит от механических напряжений
    Exact
    [7]
    Suffix
    . Следует отметить, что регулярные сообщения в различных научных журналах о разработке и использовании нового математического и программного обеспечения для решения задач магнитостатики свидетельствует о том, что эта область вычислительной электродинамики еще далека от своего логического завершения.
    (check this in PDF content)

  9. Start
    3193
    Prefix
    использовании нового математического и программного обеспечения для решения задач магнитостатики свидетельствует о том, что эта область вычислительной электродинамики еще далека от своего логического завершения. Так, решение обратной магнитостатической задачи для слабонамагниченных ферромагнетиков считается невозможным из-за влияния магнитной предыстории, то есть остаточной намагниченности
    Exact
    [8]
    Suffix
    . Целью статьи является формулировка физических основ микроструктурного анализа ферромагнитных образцов в геомагнитном поле без дополнительного подмагничивания. Такой способ анализа является пассивным и более технологичным, чем рассмотренные в работах [1 – 8].
    (check this in PDF content)

  10. Start
    4187
    Prefix
    Магнитная предыстория объекта диагностики учитывается путем восстановления медленно меняющейся намагниченности. 1. Магнитостатика ферромагнетиков Основной проблемой магнитного микроструктурного анализа является некорректность обратной магнитостатической задачи
    Exact
    [10]
    Suffix
    , единственность ее решения может быть достигнута при наличии априорной информации, ограничивающей класс допустимых функций. Одним из таких предположений является физическая модель ферромагнетиков. В электродинамике конденсированных сред принимается, что магнитное поле создается свободными и связанными токами (токами проводимости jc и молекулярными jm).
    (check this in PDF content)

  11. Start
    4685
    Prefix
    В электродинамике конденсированных сред принимается, что магнитное поле создается свободными и связанными токами (токами проводимости jc и молекулярными jm). При этом принимается, что rot M(r) = jm(r), причем намагниченность M(r) непрерывна во всем пространстве и равна нулю вне намагниченного тела
    Exact
    [11]
    Suffix
    . Такое представление вполне приемлемо для диа- и парамагнетиков, в которых свободный ток создается движением электронов проводимости, а связанный – внутриатомным орбитальным движением валентных электронов.
    (check this in PDF content)

  12. Start
    5180
    Prefix
    Для ферромагнетиков же измерение гиромагнитного отношения по методу Эйнштейна – де Гааза дает значение 1,98, то есть в ферромагнетике намагниченность создается спиновыми магнитными моментами, которые не связаны с движением носителей заряда
    Exact
    [12]
    Suffix
    . В квантовой электродинамике показывается, что гамильтониан нерелятивистского электрона во внешнем магнитном поле B0 содержит слагаемое ( )srBˆˆ0γ−=H, где sˆ – спиновый оператор электрона, γ – гиромагнитное отношение [13].
    (check this in PDF content)

  13. Start
    5401
    Prefix
    В квантовой электродинамике показывается, что гамильтониан нерелятивистского электрона во внешнем магнитном поле B0 содержит слагаемое ( )srBˆˆ0γ−=H, где sˆ – спиновый оператор электрона, γ – гиромагнитное отношение
    Exact
    [13]
    Suffix
    . Известно, что среднее значение орбитального момента для невырожденных состояний равно нулю [14]. Кристаллическое поле ферромагнетика обладает достаточно низкой симметрией, чтобы снять все орбитальное вырождение и заморозить орбитальный момент.
    (check this in PDF content)

  14. Start
    5498
    Prefix
    В квантовой электродинамике показывается, что гамильтониан нерелятивистского электрона во внешнем магнитном поле B0 содержит слагаемое ( )srBˆˆ0γ−=H, где sˆ – спиновый оператор электрона, γ – гиромагнитное отношение [13]. Известно, что среднее значение орбитального момента для невырожденных состояний равно нулю
    Exact
    [14]
    Suffix
    . Кристаллическое поле ферромагнетика обладает достаточно низкой симметрией, чтобы снять все орбитальное вырождение и заморозить орбитальный момент. Поэтому в ферромагнетике спиновые и орбитальные переменные можно считать независимыми, и записать полную волновую функцию электрона ψ как произведение спиновой α(s) и орбитальной φ(r) частей.
    (check this in PDF content)

  15. Start
    6371
    Prefix
    1) Таким образом, нерелятивистский электрон в отсутствии орбитального момента взаимодействует с неоднородным магнитным полем как распределенный магнитный диполь с плотностью дипольного момента m(r) = мρ(r), где м – спиновый магнитный момент электрона, ρ(r) = |φ(r)| 2 , |м| = μB. В спиновый гамильтониан системы электронов входит слагаемое, описывающее дипольдипольное взаимодействие в виде
    Exact
    [14]
    Suffix
    ( )( ) 5 12 2 012 2ˆˆ ˆˆ3 4 ˆ r r d sssrsr− π γμ H=, (2) где r = r1 – r2. Если в полном спиновом гамильтониане выделить обменное взаимодействие, то полную волновую функцию двух электронов можно представить как произведение одноэлектронных функций ψ(r1, r2, s1, s2) = φ1(r1)α1(s1)φ2(r2)α2(s2).
    (check this in PDF content)

  16. Start
    7485
    Prefix
    Интегрирование в (3) ведется по объему D ферромагнетика, поскольку электроны в металле находятся в довольно глубокой потенциальной яме, можно считать, что все ρi(r ∉ D) ≡ 0. Интеграл (3) при r ∈ D является несобственным и условно сходящимся
    Exact
    [15]
    Suffix
    , неопределенность его значения физ ически обоснована модельным характером нерелятивистского гамильтониана (2). Формула (2) применима при r > r0, где r0 – характерное расстояние, на котором начинают проявляться эффекты нелокальности и радиационные поправки [13].
    (check this in PDF content)

  17. Start
    7747
    Prefix
    Интеграл (3) при r ∈ D является несобственным и условно сходящимся [15], неопределенность его значения физ ически обоснована модельным характером нерелятивистского гамильтониана (2). Формула (2) применима при r > r0, где r0 – характерное расстояние, на котором начинают проявляться эффекты нелокальности и радиационные поправки
    Exact
    [13]
    Suffix
    . Поскольку r0 много меньше радиуса орбитали валентных электронов, а сами поправки имеют порядок малости квадрата постоянной тонкой стру ктуры, с приемлемой для магнитометрии точностью можно принимать интеграл в (3) в смысле главного значения, когда стягиваемые к точке r области являются шарами [15].
    (check this in PDF content)

  18. Start
    8046
    Prefix
    Поскольку r0 много меньше радиуса орбитали валентных электронов, а сами поправки имеют порядок малости квадрата постоянной тонкой стру ктуры, с приемлемой для магнитометрии точностью можно принимать интеграл в (3) в смысле главного значения, когда стягиваемые к точке r области являются шарами
    Exact
    [15]
    Suffix
    . Если по ферромагнетику D не протекают токи проводимости, то полное магнитное поле B(r) во всем пространстве создано спиновыми магнитными моментами мi всех валентных электронов, локализованных в элементарных ячейках с центрами в точках rj ∈ D.
    (check this in PDF content)

  19. Start
    8865
    Prefix
    полная плотность магнитного момента как ()( )()0,≡∉ρ=∈∑DD i mrмiirmr. (5) В современной электродинамике сплошных сред рассматриваются макроскопические поля, плотности зарядов и токов как средние по макроскопически малому объему, содержащему при этом большое количество элементарных ячеек, от микроскопических, то есть локальных полей, плотностей зарядов и токов
    Exact
    [11]
    Suffix
    . При этом следует иметь ввиду, что определенные таким образом макроскопические величины являются в известном смысле феноменологическими, в отличие от микроскопических величин они зависят от выбора области усреднения.
    (check this in PDF content)

  20. Start
    9943
    Prefix
    Однако для анализа магнитостатической задачи удобно ввести микроскопическую намагниченность ( )rm~ как среднее от полной плотности магнитного момента m(r) по микроскопически малому объему одной элементарной ячейки v: ( )()∫∫∫′′−= v dr v ~13 mrmrr. (6) Поскольку для ферромагнетика элементарная ячейка определена однозначно
    Exact
    [12, 14]
    Suffix
    , микроскопическая намагниченность (6) также определена однозначно, в отличие от макроскопической намагниченности M(r), которая обычно вводится как среднее вида (6) по макроскопическому объему домена V.
    (check this in PDF content)

  21. Start
    10382
    Prefix
    В формуле (5) можно выделить суммирование по элементарным ячейкам ( )( )∑∑ρ= jk mrмjkjkr,,, где ρj,k(r) и мj,k плотность вероятности и магнитный момент k-го электрона в j-й элементарной ячейке, соответственно. В силу правила Гунда
    Exact
    [13]
    Suffix
    электроны, локализованные на d-орбиталях атома, имеют параллельные спины, поэт ому можно полагать, что мj,k = мj. Орбитали же электронов ориентированы в пространстве произвольно, что и обеспечивает нулевой средний орбитальный момент [14].
    (check this in PDF content)

  22. Start
    10621
    Prefix
    В силу правила Гунда [13] электроны, локализованные на d-орбиталях атома, имеют параллельные спины, поэт ому можно полагать, что мj,k = мj. Орбитали же электронов ориентированы в пространстве произвольно, что и обеспечивает нулевой средний орбитальный момент
    Exact
    [14]
    Suffix
    . Обозначим полную плотность вероятности в j-й элементарной ячейке как ρ( )( )∑ρ= k jjkrr,. Эта функция, как и все вводимые далее, нормирована не на единицу, как одноэлектронная плотность вероятности ρi(r), а на полное число электронов в объеме D.
    (check this in PDF content)

  23. Start
    12582
    Prefix
    Поэтому можно положить, что ( )( )( )( ) xyz rl m rl nn,,,, ~~ ,=βα≤ ∂ ρ∂ ≤ ∂ ∂ρ α β α rrrmr . (10) Эффективным методом решения обратных задач, к которым относится восстановление намагниченности тела по измеренному вне его, например, на поверхности S магнитному полю является регуляризация по А.Н. Тихонову
    Exact
    [10]
    Suffix
    . Ее применение к магнитостатической задаче предполагает определение множества функций, в котором ищется квазирешение, и параметров рег уляризации из физических оснований. В рассматриваемой задаче ими может быть условие ограничения вариации [16].
    (check this in PDF content)

  24. Start
    12827
    Prefix
    Ее применение к магнитостатической задаче предполагает определение множества функций, в котором ищется квазирешение, и параметров рег уляризации из физических оснований. В рассматриваемой задаче ими может быть условие ограничения вариации
    Exact
    [16]
    Suffix
    . Так, для вариации микроскопической намагниченности на расстоянии δr в первом порядке малости получаем ( )( )∑ αβα β         ∂ ∂ ≤δ      ∂ ∂ δ=δ⋅ , ~2 ~ r m mrr r mrr. (11) Поскольку элементарные ячейки в пределах домена полагаются одинаковыми, максимальная вариация микроскопической намагниченности соответствует вариации расстояния δr порядка ра
    (check this in PDF content)

  25. Start
    14043
    Prefix
    π μ = i i ji ij ji jiijij Bjv35 0 3~~ 4rr mn rr rrmrrn , (13) где обозначено Bj = Bn(rj∈ S), ()Dii∈=rmm~~, nj = n(rj∈ S) – внешняя нормаль к поверхности S в точке rj, vi – объем элементарной ячейки с центром в точке r = ri. Рассматривая СЛАУ (13) как переопределенную можно решать ее методами регуляризации, использующими условие ограничения вариаций вида (12)
    Exact
    [10, 16]
    Suffix
    . Таким образом можно однозначно определить микроскопическую намагниченность ( )rm~ внутри тела D как квазирешение СЛАУ (13) при условии, что она является сильно переопределенной, то есть число точек на поверхности S тела D, в которых измеряется нормальная компонента магнитной индукции, намного больше числа элементарных ячеек внутри тела D.
    (check this in PDF content)

  26. Start
    16225
    Prefix
    Если локализованным дефектом является внутренняя полость Vk ди аметром много меньше расстояния до поверхности тела, можно в пределах области Vk положить в подынтегральном выражении (17) ( ) mk( )( )krMr−=~ и воспользоваться мультипольным разложением
    Exact
    [11]
    Suffix
    . Тогда в первом приближении ( ) ( ) ()( ) ()()()         − ⋅−− − π− μ =53 03 4 k kkk k kkkV rr Mrrrrr rr Mr Br. (19) Для магнитомягкого ферромагнетика с редкими и малыми дефектами микроструктуры можно пол ожить ( ) ( ) ( ) ( )( )rdrd DD df33 ∫∫<<+rMrMrM.
    (check this in PDF content)

  27. Start
    16741
    Prefix
    Поэтому при решении методом регуляризации обратной задачи восстановления медленно меняющейся намагниченности M(r) по измеренному распределению магнитного поля B(r) величину |B(d)(r) + B(f)(r)| можно рассматривать как невязку
    Exact
    [16]
    Suffix
    . Для обоснования связи магнитного поля с макроскопической намагниченностью вида (14) необходимы определенные предположения о микроструктуре тела D. Будем считать его маг нитомягким и рассмотрим процесс намагничивания.
    (check this in PDF content)

  28. Start
    17406
    Prefix
    описана уравнением Гильберта [17 ]             γ α =γ×− ∂ ∂ dt d tM ef M MB M , (20) где α – коэффициент затухания, Bef – эффективное магнитное поле, воздействую щее на магнитный диполь. Анализ решения уравнения (20) показывает, что при α << 1 вектор намагниченности приближается к направлению поля Bef, совершая несколько витков вокруг него
    Exact
    [17]
    Suffix
    . Тогда квазилинейное решение уравнения (20) можно приближенно представить в виде интеграла Дюамеля ( )( ) ()∫ −∞ χ′−′′ μ = t tteftdtt,, 1 , 0 MrrBr, (21) где χ(r, t) – функция отклика, учитывающая гистерезис как запаздывание.
    (check this in PDF content)

  29. Start
    18233
    Prefix
    поле вида (4), создаваемое магнитными диполями тела D, кроме рассматриваемого, то есть ( ) (( ) ())()( ) dr Dd ′         −′ ′ − −′ ′⋅−′−′ π μ ′=∫∫∫ − 3 53 03 4rr Mr rr Mrrrrr Br. (22) Здесь d – шаровая полость диаметром порядка размера элементарной ячейки с центром в точке r. Интеграл (22) я вляется собственным, и div B'(r ∈ D, t) ≡ 0, rot B'(r ∈ D, t) ≡ 0
    Exact
    [15]
    Suffix
    . Тогда из уравнения (21) следует, что ( ) ( ) ∫() −∞ ⋅−′′ ∂ ∂χ′ μ = t eftdtt t t, 1, div, 0 Br r r Mr. (23) ( ) ( ) ∫() −∞ ×−′′ ∂ ∂χ′ μ = t eftdtt t t, 1, rot, 0 Br r r Mr. (24) Если микроструктура ферромагнетика достаточно однородная, можно положить, что во всех точках области D ( ) ∫ ∞ −∞ ′<< ∂ ∂χ′ D dt ,t1 r r ,
    (check this in PDF content)

  30. Start
    26221
    Prefix
    Поэтому получаемые данные необходимо предварительно обрабатывать, разделяя исходную последовательность данных на области, где предположительно располагается дефект. Для одномерных распределений магнитного поля было предложено использование дисперсии Алана
    Exact
    [9, 18]
    Suffix
    в качестве детектора расположения магнитных диполей. В случае, когда данные представляют собой двумерный массив данных k-ой компоненты магнитного поля Bk[i, j], оказалось наиболее эффективно использование детектора, основанного на дискретном операторе Лапласа [ ] [] [,] , , Sij Biijj Dij k L iL L jL k k x x y y ∑ ∑ ′=−−=′ ∆−′−′ =. (37) Здесь Lx, Ly – длины окна усреднения по соответст
    (check this in PDF content)

  31. Start
    30807
    Prefix
    спектре свертки получаем ( )( ) ()() (),,,,, 8 ,,exp 2 0 ∫ ∫∫ ∞ −∞ ± ∞ −∞ ∞ −∞ ±± π μ bpq=−−=dttqpKtqpfdxdyiqyipxyxB где обозначено () () () [()] ∫ ∫∫ − − ∞ −∞ ∞ −∞ ± ++± ±−−− = 2 2 22232 2 2exp ,, h h dz xyzh zhipxiqyitz Kpqtdxdy. Для спектральной интенсивности случайной составляющей поля рассеяния с учетом известной теоремы о дельта-коррелированности спектров случайных процессов
    Exact
    [19]
    Suffix
    получаем ( )() ()() () () ()( ) ( ),,, 8 ,, ~ ,, ~ 8 ,,,,,,,, 8 , 2 0 2 0 ** 2 0 pqtkpqtdtpqkpq GpqfpqtfpqtKpqtKpqtdtdt ± ∞ −∞ ± ± ∞ −∞ ∞ −∞ ±± Φ      π μ Φ≈      π μ = ′′′=      π μ = ∫ ∫ ∫ где с учетом теоремы о среднем обозначено ( )( ) ( )()() () () () ()( )()( ) ().0,, ~ ,,,, ~ ,,,,,,,, ~ ,,,,,,, ~ ,,,, * * kpqtpqtKpqtkpqkpqtdtpqpq Gpqbpqbpqpq
    (check this in PDF content)

  32. Start
    33790
    Prefix
    Метод определения месторасположения дефекта, основанный на двумерном детекторе вида (37) , является эффективным при определении местоположения локальных структурных неоднородностей. Дальнейшее исследование параметров дефектов, может быть осуществлено при помощи алгоритмов поиска глобального минимума
    Exact
    [20]
    Suffix
    . Проведенные эксперименты на искусственных дефектах в плоских ферромагнитных образцах показывают работоспособность изложенного метода.
    (check this in PDF content)