The 9 reference contexts in paper N. Tiannikova D., V. Timonin I., В. Тимонин И., Н. Тянникова Д. (2016) “Метод вычисления точных распределений статистик типа Колмогорова-Смирнова в случае нарушения однородности и независимости анализируемых выборок // The Method of Calculating the Exact Distributions of the Kolmogorov-Smirnov Statistics in Case of Violation of Homogeneity and Independence of the Analyzed Samples” / spz:neicon:technomag:y:2014:i:1:p:227-237

  1. Start
    1852
    Prefix
    типа Колмогорова-Смирнова, непараметрическая статистика, оценки Каплана-Мейера, степенные зависимости Лемана Введение В ряде задач теории надежности необходимо проверять непараметрические гипотезы о связях функции распределения нескольких выборок в случае, когда не выполняются классические условия независимости и одинаковой распределенности элементов выборок. Например, в работах
    Exact
    [1,2,3]
    Suffix
    проверялась гипотеза о степенной зависимости функций распределения нескольких независимых выборок. В [4,5,6] проверялась однородность двух выборок, элементы которых являются зависимыми случайными величинами.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    1961
    Prefix
    Лемана Введение В ряде задач теории надежности необходимо проверять непараметрические гипотезы о связях функции распределения нескольких выборок в случае, когда не выполняются классические условия независимости и одинаковой распределенности элементов выборок. Например, в работах [1,2,3] проверялась гипотеза о степенной зависимости функций распределения нескольких независимых выборок. В
    Exact
    [4,5,6]
    Suffix
    проверялась однородность двух выборок, элементы которых являются зависимыми случайными величинами. Для вычисления точных распределений (для конечного объёма выборок) статистик, предложенных в этих работах, были разработаны численные алгоритмы, позволяющие табулировать точные распределения для больших объёмов выборок.
    (check this in PDF content)

  3. Start
    2510
    Prefix
    вычисления точных распределений (для конечного объёма выборок) статистик, предложенных в этих работах, были разработаны численные алгоритмы, позволяющие табулировать точные распределения для больших объёмов выборок. В настоящей работе предложен общий алгоритм вычисления распределений статистик типа Колмогорова-Смирнова, частным случаем которого являются алгоритмы, описанные в
    Exact
    [1-9]
    Suffix
    . В основе алгоритма лежит специальная модель случайного блуждания частицы по ячейкам, на множестве которых определена некоторая функция12( , ,...,)kh x xx. 1. Модель случайного блуждания Обозначим, 12,,...,kn nn─ k-мерное множество ячеек 1 2., ,...,, 0,1,ki iijjain jk   (kмерный параллелепипед).
    (check this in PDF content)

  4. Start
    5150
    Prefix
    Множитель qh ix обеспечивает обращение в нуль вероятностей тех траекторий, на которых значения qhi превышает x. Главная задача при применении метода состоит в получении вероятностей (1). Ниже приведены примеры применения соотношения (2) для некоторых частных случаев. 2. Частные случаи Пример 1. В
    Exact
    [2]
    Suffix
    рассматривалась следующая задача. Пусть имеется k независимых выборок 1,,iiiin  , ~ijiFt, 1,..., ;ik1,..., ;ijn 1 , k i i nn   где in ─ объем i-ой выборки. По этим данным проверялась гипотеза 101:...krrkHF tFt, (3) где 1ir ─ заданные числа.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    5870
    Prefix
    1 max i k r ii i t n FFFk T          . (4) Здесь iFt ─ эмпирическая функция распределения i-ой выборки;  1 i; k r ii i FFt   ii;nn00 21 1 1 11;ii k rr ii i rFF    1Fk    ;01;iirr    0000 212 241212 11 i111 2iii kk rrrr iiii ii rFFr FF       . Метод вычисления точных распределений статистики, предложенный в
    Exact
    [2]
    Suffix
    , является частным случаем алгоритма, предложенного в настоящей статье. Для этой задачи   n n12,,...,kn. Функция 1,...,kqh iih i определяется следующим образом. 1 11 2 1 ,, 11 , 0,1... , k kk krr k iijiijj jk ii nzin jk nn         где 1, 1 1 j k r k j iij jj i zn nn     .
    (check this in PDF content)

  6. Start
    7562
    Prefix
    0,98561 100 0,89624 0,89898 0,98204 0,98260 150 0,89362 0,89477 0,98079 0,98140 200 0,89146 0,89224 0,98024 0,98070 250 0,88968 0,89058 0,97986 0,98020 300 0,88855 0,88945 0,97952 0,97987 400 0,88682 0,88752 0,97907 0,97939 500 0,88569 0,88651 0,97879 0,97908  0,87857 0,87857 0,97653 0,97653 Рис.1.Графики вероятностей 1V в зависимости от 123n nnn   Пример 2.В работе
    Exact
    [5]
    Suffix
    рассматривалась следующая задача. Имеется N одинаковых систем, каждая из которых состоит изm идентичных параллельно соединенных элементов. Все элементы испытываются до отказа и функция надежности элементов оценивается двумя способами: по полной выборке Q из отказов всех элементов (()qPt) и по прогрессивно цензурированной выборке , образованной первыми порядковыми статистиками
    (check this in PDF content)

  7. Start
    8344
    Prefix
    Они имеют вид         1 1 1 1 1 2 1,0, 1 1, 1(1), 1 0,, 1, dt i q dt P td tN m N i d tN dt Pt mN              (5) где 12,d t d t ─ количество элементов выборок  и Q соответственно, меньших t. Для проверки того, что обе оценки оценивают одну и ту же функцию надежности Pt0, в
    Exact
    [5]
    Suffix
    рассматривалась статистика    1 max1. 11 m q mNqmt qq Pt TmNP tP t mP tP t       (6) Метод вычисления точных распределений статистики (6), предложенный в [5], может быть получен из общего алгоритма (2), предложенного в настоящей статье.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    8518
    Prefix
    Для проверки того, что обе оценки оценивают одну и ту же функцию надежности Pt0, в [5] рассматривалась статистика    1 max1. 11 m q mNqmt qq Pt TmNP tP t mP tP t       (6) Метод вычисления точных распределений статистики (6), предложенный в
    Exact
    [5]
    Suffix
    , может быть получен из общего алгоритма (2), предложенного в настоящей статье. Заметим, что в оригинальной статье рассматривался алгоритм, в котором блуждание осуществлялось в обратном порядке. В данном примере размерность  равна двум (2k).
    (check this in PDF content)

  9. Start
    9960
    Prefix
    0,95145 0,95138 20000 0,89938 0,89931 0,95120 0,95115 30000 0,89915 0,89909 0,95107 0,95104 40000 0,89901 0,89897 0,95100 0,95097 50000 0,89892 0,89888 0,95095 0,95093 60000 0,89885 0,89881 0,950952 0,95089  0,89810 0,89810 0,95051 0,95051 Рис.2. Графики вероятностей 2V в зависимости от n Предложенный метод применим и при расчётах точных распределений статистик типа Реньи
    Exact
    [10,11,12,13]
    Suffix
    , применяемых для проверок аналогичных гипотез при цензурированных данных. Заключение В работе разработан метод вычисления распределений статистик типа КолмогороваСмирнова, когда анализируемые выборки не обязательно принадлежат одной совокупности.
    (check this in PDF content)