The 9 references with contexts in paper I. Chumakov A., V. Chepurko A., A. Antonov V., И. Чумаков А., В. Чепурко А., А. Антонов В. (2016) “НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ НЕПОЛНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ КИЖИМА // ON SOME PROPERTIES OF KIJIMA INCOMPLETE RECOVERY MODELS” / spz:neicon:sustain:y:2015:i:3:p:3-15

1
Wibowo W. On approaches for repairable system analysis : Renewal Process, Nonhomogenous Poisson Process, General Renewal Process / W. Wibowo // Indonesia, Jurnal Industri, 2010 —Vol.9, No1 —P.60-66.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=2339
    Prefix
    Виртуальный возраст и распределение наработки связаны следующим соотношением: пусть vi-1 – виртуальный возраст элемента на момент (i – 1)-го восстановления. Тогда случайная величина Xi имеет следующую условную функцию распределения
    Exact
    [1, 2]
    Suffix
    : 4 (1) где F(x) – функция распределения наработки до первого отказа (НПО) для абсолютно нового элемента. Модель Кижима-1 предполагает, что n-е восстановление влияет только на повреждения, полученные элементом между (n – 1)-м и n-м отказом, уменьшая прирост виртуального возраста элемента с Xi до qXi.

  2. In-text reference with the coordinate start=3493
    Prefix
    Оценка параметров модели возможна различными способами. 2. параметрическая оценка параметров модели 2.1. Метод максимального правдоподобия Рассмотрим подход с использованием метода максимального правдоподобия (ММП)
    Exact
    [1, 5]
    Suffix
    . В качестве допущения здесь и далее будем предполагать, что НПО имеет распределение Вейбулла. Функция этого распределения имеет различные формы записи. В работе использована следующая форма, упрощающая дальнейшие расчеты: (4) Для (1) с учетом (4) логарифмическая функция правдоподобия (ЛФП) известна [4]: (5) где vi зависят от q в виде (2) или (3).

  3. In-text reference with the coordinate start=3916
    Prefix
    В работе использована следующая форма, упрощающая дальнейшие расчеты: (4) Для (1) с учетом (4) логарифмическая функция правдоподобия (ЛФП) известна [4]: (5) где vi зависят от q в виде (2) или (3). Оценки λ, β, q могут быть получены с применением численных методов
    Exact
    [1, 5]
    Suffix
    . Далее предположим, что под наблюдением находится одновременно k абсолютно одинаковых восстанавливаемых элементов. В таком случае полагаем, что i-е времена отказа имеют одинаковые распределения для каждого элемента.

2
Каминский М., Кривцов В. Применение метода Монте-Карло к оценке обобщенного процесса восстановления при анализе данных об отказах в период действия гарантийных обязательств // Reliability: Theory & Applications. —2006. — No1 — C.32-34.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=2339
    Prefix
    Виртуальный возраст и распределение наработки связаны следующим соотношением: пусть vi-1 – виртуальный возраст элемента на момент (i – 1)-го восстановления. Тогда случайная величина Xi имеет следующую условную функцию распределения
    Exact
    [1, 2]
    Suffix
    : 4 (1) где F(x) – функция распределения наработки до первого отказа (НПО) для абсолютно нового элемента. Модель Кижима-1 предполагает, что n-е восстановление влияет только на повреждения, полученные элементом между (n – 1)-м и n-м отказом, уменьшая прирост виртуального возраста элемента с Xi до qXi.

  2. In-text reference with the coordinate start=3061
    Prefix
    Виртуальный возраст элемента после n-го восстановления можно записать в виде: (2) Модель Кижима-2 предполагает, что каждое восстановление влияет на суммарные повреждения, соответственно уменьшая суммарный виртуальный возраст: (3) Таким образом, распределение НПО и коэффициент q полностью определяют процессы восстановления моделей Кижима. В том числе, по
    Exact
    [2, 3, 4]
    Suffix
    случай q = 0 описывает полное восстановление, случай q = 1 описывает минимальное восстановление, случай 0 < q < 1 описывает неполное восстановление «хуже, чем новое, но лучше, чем было перед отказом».

  3. In-text reference with the coordinate start=6266
    Prefix
    из определения самих процессов. 3. оценки ведущей функции потока методом конечных сумм МО среднего числа отказов на интервале (0; t] также известно, как «функция восстановления», «ведущая функция потока» (ВФП). Для случая неполного восстановления данная величина определяется интегральным уравнением, решение которого невозможно аналитическим путем, и даже численное решение затруднительно
    Exact
    [2]
    Suffix
    . По определению, ВФП может быть представлена в виде бесконечной суммы [7, стр.88]: (7) где Gi(x) – функция распределения момента времени i-го отказа Si. В отличие от распределения (1), Gi(x) – безусловное распределение.

3
Mettas A., Zhao W. Analysis of Repairable Systems with General Repair // Reliability and Maintainability Symposium, 2005 —P.176–182.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=3061
    Prefix
    Виртуальный возраст элемента после n-го восстановления можно записать в виде: (2) Модель Кижима-2 предполагает, что каждое восстановление влияет на суммарные повреждения, соответственно уменьшая суммарный виртуальный возраст: (3) Таким образом, распределение НПО и коэффициент q полностью определяют процессы восстановления моделей Кижима. В том числе, по
    Exact
    [2, 3, 4]
    Suffix
    случай q = 0 описывает полное восстановление, случай q = 1 описывает минимальное восстановление, случай 0 < q < 1 описывает неполное восстановление «хуже, чем новое, но лучше, чем было перед отказом».

  2. In-text reference with the coordinate start=4222
    Prefix
    Далее предположим, что под наблюдением находится одновременно k абсолютно одинаковых восстанавливаемых элементов. В таком случае полагаем, что i-е времена отказа имеют одинаковые распределения для каждого элемента. Запишем ЛФП аналогично (5), но с одновременным учетом k выборок времен до отказа
    Exact
    [3]
    Suffix
    : . (6) Функция (6) дает возможность найти оценки параметров аналогично (5). 2.2. оценка погрешности метода максимального правдоподобия Чтобы найти дисперсии оценок ММП, необходимо построить информационную матрицу Фишера [6, стр. 201].

4
Чумаков И.А., Антонов А.В. Оценки характеристик надежности в предположении неполного восстановления // Надежность. —2014. — No1 (48). — С.3 11.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=3061
    Prefix
    Виртуальный возраст элемента после n-го восстановления можно записать в виде: (2) Модель Кижима-2 предполагает, что каждое восстановление влияет на суммарные повреждения, соответственно уменьшая суммарный виртуальный возраст: (3) Таким образом, распределение НПО и коэффициент q полностью определяют процессы восстановления моделей Кижима. В том числе, по
    Exact
    [2, 3, 4]
    Suffix
    случай q = 0 описывает полное восстановление, случай q = 1 описывает минимальное восстановление, случай 0 < q < 1 описывает неполное восстановление «хуже, чем новое, но лучше, чем было перед отказом».

  2. In-text reference with the coordinate start=3800
    Prefix
    Функция этого распределения имеет различные формы записи. В работе использована следующая форма, упрощающая дальнейшие расчеты: (4) Для (1) с учетом (4) логарифмическая функция правдоподобия (ЛФП) известна
    Exact
    [4]
    Suffix
    : (5) где vi зависят от q в виде (2) или (3). Оценки λ, β, q могут быть получены с применением численных методов [1, 5]. Далее предположим, что под наблюдением находится одновременно k абсолютно одинаковых восстанавливаемых элементов.

  3. In-text reference with the coordinate start=7525
    Prefix
    Моделирование наработок до отказа Считая известными значения параметров распределения и коэффициента восстановления моделей Кижима, становится возможным моделировать процессы Кижима (2) и (3). Функция распределения НПО определяется (1). Из
    Exact
    [4]
    Suffix
    получим формулу для i-й наработки до отказа: . (10) Для моделирования необходимо разыграть U~U[0;1]. 4.2. оценка ведущей функции потока Популярным способом вычисления ВФП в случае неполного восстановления является метод статистических испытаний, пригодный в т.ч. для прогнозирования оценки в будущем.

5
Guo H., Liao H., Pulido J. Failure Process Modeling For Systems With General Repairs / // MMR 2011. International Conference on Mathematical Methods in Reliability, 2011.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=3493
    Prefix
    Оценка параметров модели возможна различными способами. 2. параметрическая оценка параметров модели 2.1. Метод максимального правдоподобия Рассмотрим подход с использованием метода максимального правдоподобия (ММП)
    Exact
    [1, 5]
    Suffix
    . В качестве допущения здесь и далее будем предполагать, что НПО имеет распределение Вейбулла. Функция этого распределения имеет различные формы записи. В работе использована следующая форма, упрощающая дальнейшие расчеты: (4) Для (1) с учетом (4) логарифмическая функция правдоподобия (ЛФП) известна [4]: (5) где vi зависят от q в виде (2) или (3).

  2. In-text reference with the coordinate start=3916
    Prefix
    В работе использована следующая форма, упрощающая дальнейшие расчеты: (4) Для (1) с учетом (4) логарифмическая функция правдоподобия (ЛФП) известна [4]: (5) где vi зависят от q в виде (2) или (3). Оценки λ, β, q могут быть получены с применением численных методов
    Exact
    [1, 5]
    Suffix
    . Далее предположим, что под наблюдением находится одновременно k абсолютно одинаковых восстанавливаемых элементов. В таком случае полагаем, что i-е времена отказа имеют одинаковые распределения для каждого элемента.

  3. In-text reference with the coordinate start=8142
    Prefix
    Nj – количество отказов, произошедших до времени t, есть значение ВФП, далее моделирование повторяется необходимое число раз S. Итоговая оценка ВФП HМ(t) вычисляется как среднее из смоделированных значений
    Exact
    [5]
    Suffix
    : . (11) 6 4.3. оценка среднего прямого и обратного остаточного времени Среднее прямое остаточное время (СПОВ) [7] – это МО оставшегося времени работы объекта до очередного отказа от момента времени t, в который система была работоспособна.

6
Антонов А.В. Системный анализ. Учеб. для вузов — М.: Высшая школа, 2004. — 454 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=4443
    Prefix
    Запишем ЛФП аналогично (5), но с одновременным учетом k выборок времен до отказа [3]: . (6) Функция (6) дает возможность найти оценки параметров аналогично (5). 2.2. оценка погрешности метода максимального правдоподобия Чтобы найти дисперсии оценок ММП, необходимо построить информационную матрицу Фишера
    Exact
    [6, стр. 201]
    Suffix
    . Запишем вектор параметров (λ, β, q) в виде (θ1, θ2, θ3). Элементы информационной матрицы Фишера вычисляются следующим образом: . Дисперсии оценок определяются из ковариационной матрицы V = I-1, при этом D(θi)=V(i,i).

7
Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание / — М.: Радио и связь, 1988. — 357 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=8311
    Prefix
    Nj – количество отказов, произошедших до времени t, есть значение ВФП, далее моделирование повторяется необходимое число раз S. Итоговая оценка ВФП HМ(t) вычисляется как среднее из смоделированных значений [5]: . (11) 6 4.3. оценка среднего прямого и обратного остаточного времени Среднее прямое остаточное время (СПОВ)
    Exact
    [7]
    Suffix
    – это МО оставшегося времени работы объекта до очередного отказа от момента времени t, в который система была работоспособна. Среднее обратное остаточное время (СООВ) – это МО времени работы объекта от начала эксплуатации либо последнего восстановления до момента времени t, в который система работоспособна.

8
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы — М.: Наука, 2003. — 635 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=9586
    Prefix
    V(t) и СООВ R(t) вычисляются как среднее из смоделированных значений: (12) . (13) Ниже в п.6 будут приведены результаты расчетов по данным формулам. 4.4. оценка погрешности вычислений методом статистических испытаний Как известно, при использовании метода статистических испытаний можно получить оценку погрешности не гарантированно, а лишь с некоторой степенью достоверности. Согласно
    Exact
    [8, стр. 234]
    Suffix
    и ЦПТ, получаем верхнюю границу ошибки для (11) с коэффициентом доверия β: (14) где: tβ – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t) = β/2. – несмещенная оценка дисперсии оценки HM. 5. исследование существования предельной точки процесса кижима 5.1. расходимость последовательности моментов отказов для минимального восстановления Для некоторых моделей неполного восстановлен

9
Чепурко В.А., Чепурко С.В. Модели неоднородных потоков в теории восстановления. — Обнинск: НИЯУ МИФИ, 2012. — 162 c.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=10313
    Prefix
    восстановления Для некоторых моделей неполного восстановления, последовательность математических ожиданий (МО) моментов времени i-го отказа M(Sn), может сходиться, т.е. иметь предел при i → ∞. В частности, для геометрического процесса – последовательности неотрицательных независимых случайных величин {Δn; n = 1, 2...}, таких, что выполняется следующее равенство по распределению
    Exact
    [9, с. 81]
    Suffix
    : справедливо: где: MΔ – МО 1-й наработки до отказа; γ > 0 – знаменатель (параметр) геометрического процесса. Докажем отсутствие сходимости последовательности МО моментов отказов для моделей Кижима для распределения Вейбулла.