The 11 references with contexts in paper A. Pereguda I., А. Перегуда И. (2016) “МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАДЕЖНОСТИ КОМПЛЕКСА «ОБЪЕКТ ЗАЩИТЫ - СИСТЕМА БЕЗОПАСНОСТИ» ПРИ НЕЧЕТКОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ // MATHEMATICAL MODEL OF DEPENDABILITY FOR A COMPLEX “FACILITY OF PROTECTION – SAFETY SYSTEM” IN CASE OF FUZZY INITIAL INFORMATION” / spz:neicon:sustain:y:2014:i:1:p:99-128

1
Малашинин И.И., Перегуда А.И. Расчет и оптимизация надежности систем аварийной защиты ядерных реакторов. – М.: Энергоатомиздат, 1985 – 112 с. 113
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=2012
    Prefix
    Из этого следует, что объект защиты и систему безопасности необходимо рассматривать в совокупности как единый автоматизированный технологический комплекс «объект защиты – система безопасности» (АТК ОЗ–СБ). Разработке математической модели надежности такого комплекса посвящены работы
    Exact
    [1,2]
    Suffix
    . При анализе надежности систем может иметь место неопределенность результатов анализа, обусловленная различными причинами. В этой работе будем рассматривать неопределенность результатов анализа надежности, обусловленную неопределенностью исходных данных.

  2. In-text reference with the coordinate start=17902
    Prefix
    Поскольку , то ( ) ((( ))( )()) (1)( )( ) 01 00 ( )(1 ( ( );))() ()() ( 1)( );( );. mT Tt mT t m kk MF k TJJdt k F k TF kTk Pk M T T ξ ξδ δ ξξ ξξ ζθδ λ θ ξθξθ δδ λ θδ λ θδδ δ δ ∞∞ + + +≤+ ≤ = ∞∞ == = − +−=     =+ +− +== =     + +   ∫∑ ∑∑    Поскольку ()Tξθ δ>> +, то () ()1 T2T ξθ ξθ δδ  ≅− ++
    Exact
    [1]
    Suffix
    , что позволяет переписать ()Mζθ для каждого фиксированного θ ∈Θ так () () 2 MM T δδ ζθ ξθ δ =− + . Тогда () () () 2 T MMM T δ ξθ ζθ ξθ δ −=+ + и ( )( )( ) 2 ÑÁ T MMM δ τ θ ηθξθ + =++. () lim ( ; )2 ()() 2 t T M PtT T MM δ ξθ θδ δ ξθηθ + →∞ + =+ + ++ .

2
Перегуда А. И., Тимашов Д. А. Математическая модель процесса функционирования автоматизированного технологического комплекса «объект защиты – система безопасности» с восстанавливаемыми элементами и периодическим контролем системы безопасности // Известия вузов. Ядерная энергетика. – 2007. – No3, вып. 2. – С. 101-109.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=2012
    Prefix
    Из этого следует, что объект защиты и систему безопасности необходимо рассматривать в совокупности как единый автоматизированный технологический комплекс «объект защиты – система безопасности» (АТК ОЗ–СБ). Разработке математической модели надежности такого комплекса посвящены работы
    Exact
    [1,2]
    Suffix
    . При анализе надежности систем может иметь место неопределенность результатов анализа, обусловленная различными причинами. В этой работе будем рассматривать неопределенность результатов анализа надежности, обусловленную неопределенностью исходных данных.

  2. In-text reference with the coordinate start=6082
    Prefix
    И, наконец, предположим, что последовательности {χi, i ≥ 1} и {γi, i ≥ 1} взаимно независимы, а ν независима от последовательностей {χi, i ≥ 1} и {γi, i ≥ 1}. 101 Наработку комплекса до первой аварии можно записать
    Exact
    [2]
    Suffix
    : 1 1 ()ii i ν ωχγχν − = =++∑, где χν – наработка на отказ на том цикле регенерации, на котором произошел отказ объекта защиты. Таким образом, ω – это случайная нечеткая величина, определенная на пространстве правдоподобия (Θi, Pi, Cri), где Θ = Θ’’×(Θ1×Θ1’)×( Θ2×Θ2’)×.

  3. In-text reference with the coordinate start=15634
    Prefix
    Напомним, что ξ – случайная наработка до первого скрытого отказа СБ, а η – случайное время восстановления системы безопасности после первого скрытого отказа. При вычислении ( );Ptθ + возможны только два взаимоисключающихся варианта: и . Следовательно, представим ()Pt + в виде суммы двух слагаемых
    Exact
    [2]
    Suffix
    : Вычислим сначала второе слагаемое. Условие означает, что момент регенерации процесса функционирования системы безопасности наступил после момента времени t. Учитывая это условие, 2I преобразуем так: где tAJ∈ – индикатор события tA∈. 108 Опуская некоторые несложные, но громоздкие преобразования, приведем сразу конечный результат: Заметим, что (1)() () 1 1 (1 ( ( )))()mTtmTt m F mTJJξ

3
Пытьев Ю. П. Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические основы, применение. – М.: Физматлит, 2007 – 464 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=2878
    Prefix
    Для моделирования различных аспектов неопределенности разработано несколько отличающихся друг от друга подходов, таких как теоретико-вероятностный подход, нечеткие множества и меры и некоторые другие. Обсуждение их различий и преимуществ можно найти в работе
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Здесь будем использовать комбинацию теоретико-вероятностного подхода и нечетких мер для построения математической модели надежности, учитывающей неопределенность параметров модели. Подобный подход изложен в ряде работ [4 – 8].

4
Liu B. Uncertainty Theory. – 2nd edition. – Berlin: Springer-Verlag, 2007. – 255 pp.
Total in-text references: 5
  1. In-text reference with the coordinate start=3137
    Prefix
    Здесь будем использовать комбинацию теоретико-вероятностного подхода и нечетких мер для построения математической модели надежности, учитывающей неопределенность параметров модели. Подобный подход изложен в ряде работ [4 – 8]. В данной работе, следуя Лю
    Exact
    [4,5]
    Suffix
    будем использовать случайно-нечеткие величины, поскольку они позволяют наиболее просто создать математическую модель надежности АТК ОЗ–СБ, учитывающую неопределенность исходных данных. При анализе математической модели надежности мы переходим от случайных величин к случайно-нечетким величинам, а, следовательно, возникает необходимость в применении случайнонечеткого процесса восстановления [9,

  2. In-text reference with the coordinate start=4234
    Prefix
    Однако, как правило, точные значения параметров λ  в силу тех или иных причин неизвестны, а, следовательно, имеет место неопределенность параметров модели, что, в свою очередь, приводит к неопределенности значений искомых показателей надежности. Для количественного учета этой неопределенности воспользуемся математическим аппаратом случайно-нечетких величин
    Exact
    [4,5]
    Suffix
    . Сущность используемого подхода заключается в том, что случайным величинам приписывается мера правдоподобия. Случайно-нечеткие наработки до отказа и времена восстановления мы будем определять, используя подход, рассмотренный в [4].

  3. In-text reference with the coordinate start=4467
    Prefix
    Сущность используемого подхода заключается в том, что случайным величинам приписывается мера правдоподобия. Случайно-нечеткие наработки до отказа и времена восстановления мы будем определять, используя подход, рассмотренный в
    Exact
    [4]
    Suffix
    . Чтобы задать случайно-нечеткую величину χ, укажем семейство вероятностных распределений на вероятностном пространстве (Ω, A, P), где λ  – нечеткий вектор, определенный на пространстве правдоподобия (Θ, G, Cr), которому соответствует функция принадлежности μλ()x  .

  4. In-text reference with the coordinate start=6392
    Prefix
    ≥ 1} и {γi, i ≥ 1}. 101 Наработку комплекса до первой аварии можно записать [2]: 1 1 ()ii i ν ωχγχν − = =++∑, где χν – наработка на отказ на том цикле регенерации, на котором произошел отказ объекта защиты. Таким образом, ω – это случайная нечеткая величина, определенная на пространстве правдоподобия (Θi, Pi, Cri), где Θ = Θ’’×(Θ1×Θ1’)×( Θ2×Θ2’)×..., Cr – мера правдоподобия, определяется так
    Exact
    [4,5]
    Suffix
    . Для каждого фиксированного θ величины Mχi(θ), Mγi(θ), Mν(θ) и Mω(θ) представляют собой математические ожидания случайных величин χ(θ), γ(θ), ν(θ) и ω(θ) соответственно. Поскольку θ варьируется на множестве Θ, то мы рассматриваем уже нечеткие величины Mχi(θ), Mγi(θ), Mν(θ), Mω(θ).

  5. In-text reference with the coordinate start=18840
    Prefix
    Теперь можем вычислить ( )Mωθ при каждом фиксированном θ ∈Θ по формуле ( ) ()( )( )()() 2 2 ()() 2 T T MMM MM T M T M M T δ δ ξθηθ χθξθγ θ δ ωθ δ ξθηθ δ + ++++ +  = ++ + , где , , и . Следовательно, в соответствии с определением функции от нечетких величин
    Exact
    [4,5]
    Suffix
    , мы задали нечеткое математическое ожидание наработки до первой аварии как функцию от нечетких параметров модели. Используемся принципом расширения Заде [6]: (,,,)121 ( )sup min ( ) n inii xfxxx μxxμ =≤≤ =  и запишем соотношение для функции принадлежности ( )Mωθ: , где () 3( )( )4 1 32 12 3 4 3 4 ()()() 2 2 ,,, ()() 2 T T MxM x M x MxM x T fxx x x T MxM x T δ δ ξη χ ξγ δ δ ξ

5
Liu B. Uncertainty Theory: An Introduction to Its Axiomatic Foundations. – Berlin: Springer-Verlag, 2004. – 411 pp.
Total in-text references: 7
  1. In-text reference with the coordinate start=3137
    Prefix
    Здесь будем использовать комбинацию теоретико-вероятностного подхода и нечетких мер для построения математической модели надежности, учитывающей неопределенность параметров модели. Подобный подход изложен в ряде работ [4 – 8]. В данной работе, следуя Лю
    Exact
    [4,5]
    Suffix
    будем использовать случайно-нечеткие величины, поскольку они позволяют наиболее просто создать математическую модель надежности АТК ОЗ–СБ, учитывающую неопределенность исходных данных. При анализе математической модели надежности мы переходим от случайных величин к случайно-нечетким величинам, а, следовательно, возникает необходимость в применении случайнонечеткого процесса восстановления [9,

  2. In-text reference with the coordinate start=4234
    Prefix
    Однако, как правило, точные значения параметров λ  в силу тех или иных причин неизвестны, а, следовательно, имеет место неопределенность параметров модели, что, в свою очередь, приводит к неопределенности значений искомых показателей надежности. Для количественного учета этой неопределенности воспользуемся математическим аппаратом случайно-нечетких величин
    Exact
    [4,5]
    Suffix
    . Сущность используемого подхода заключается в том, что случайным величинам приписывается мера правдоподобия. Случайно-нечеткие наработки до отказа и времена восстановления мы будем определять, используя подход, рассмотренный в [4].

  3. In-text reference with the coordinate start=6392
    Prefix
    ≥ 1} и {γi, i ≥ 1}. 101 Наработку комплекса до первой аварии можно записать [2]: 1 1 ()ii i ν ωχγχν − = =++∑, где χν – наработка на отказ на том цикле регенерации, на котором произошел отказ объекта защиты. Таким образом, ω – это случайная нечеткая величина, определенная на пространстве правдоподобия (Θi, Pi, Cri), где Θ = Θ’’×(Θ1×Θ1’)×( Θ2×Θ2’)×..., Cr – мера правдоподобия, определяется так
    Exact
    [4,5]
    Suffix
    . Для каждого фиксированного θ величины Mχi(θ), Mγi(θ), Mν(θ) и Mω(θ) представляют собой математические ожидания случайных величин χ(θ), γ(θ), ν(θ) и ω(θ) соответственно. Поскольку θ варьируется на множестве Θ, то мы рассматриваем уже нечеткие величины Mχi(θ), Mγi(θ), Mν(θ), Mω(θ).

  4. In-text reference with the coordinate start=6830
    Prefix
    Поскольку θ варьируется на множестве Θ, то мы рассматриваем уже нечеткие величины Mχi(θ), Mγi(θ), Mν(θ), Mω(θ). Для измерения нечеткой величины используют два критических значения (оптимистическое и пессимистическое значение) с заданным доверительным уровнем α
    Exact
    [5]
    Suffix
    . Таким образом, мы можем рассматривать следующие α-пессимистические и α-оптимистические значения этих математических ожиданий: ( ( )) ( ) supsup{{}}( ),iiMr Cr Mrχθ αχθα=≥≥ ( ())()infinf{{}}(),iiMr Cr Mrχθ αχθα=≤≥ ( ())()supsup{{}}(),iiMr Cr Mrγθ αγθ α=≥≥ ( ())()infinf{{}}(),iiMr Cr Mrγθ αγθ α=≤≥ ( ())()supsup{{}}(),Mr Cr Mrνθ ανθα=≥≥ ( ())()infinf{{}}(),Mr Cr Mrνθ ανθα=≤≥ (

  5. In-text reference with the coordinate start=8647
    Prefix
    Аналогично показывается, что α-оптимистическое значение Mω(θ) определяется соотношением ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) 1) ( ) ( ( )) ( ).sup()supsupsupsupM M M MMωθ α χθ α γθ α νθ α χθ α=+− + Вычислим теперь среднее ожидаемое значение случайной нечеткой величины, которое определяется формулой
    Exact
    [5,6]
    Suffix
    , получим [] 1 infinfinfinf 0 1 supsupsupsup 0 1 infinfsupsup 0 1 ( )(( ) ( )( ( )) ( ) ( ( )) ( )( ( ) 1) ( )) 2 1 (( ( )) ( )( ( )) ( ) ( ( )) ( )( ( ) 1) ( )) 2 1 (( ( )) ( )( ( )) ( ) ( ( )) ( )( ( )) ( )) 2 EMMMMMd M M M M d M M M M d ωθχ α νθ αγθ α νθα α χθ ανθ α γθ ανθ αα χθ α νθ αχθ α νθ α α =+− + ++− = = + + + ∫ ∫ ∫ 1

  6. In-text reference with the coordinate start=18840
    Prefix
    Теперь можем вычислить ( )Mωθ при каждом фиксированном θ ∈Θ по формуле ( ) ()( )( )()() 2 2 ()() 2 T T MMM MM T M T M M T δ δ ξθηθ χθξθγ θ δ ωθ δ ξθηθ δ + ++++ +  = ++ + , где , , и . Следовательно, в соответствии с определением функции от нечетких величин
    Exact
    [4,5]
    Suffix
    , мы задали нечеткое математическое ожидание наработки до первой аварии как функцию от нечетких параметров модели. Используемся принципом расширения Заде [6]: (,,,)121 ( )sup min ( ) n inii xfxxx μxxμ =≤≤ =  и запишем соотношение для функции принадлежности ( )Mωθ: , где () 3( )( )4 1 32 12 3 4 3 4 ()()() 2 2 ,,, ()() 2 T T MxM x M x MxM x T fxx x x T MxM x T δ δ ξη χ ξγ δ δ ξ

  7. In-text reference with the coordinate start=19825
    Prefix
    теперь процедуру дефаззификации, т.е. преобразование нечеткого множества в четкое число, для чего воспользуемся определением среднего ожидаемого значения случайнонечетких величин [6]: [ ] 0 0 M(){ | () }{ | () }CrMr dr CrMr drωθθωθθωθ ∞ −∞ =∈Θ≥ −∈Θ≤∫∫. Найдем соответствующую меру правдоподобия, используя соотношение, связывающее меру правдоподобия и функцию принадлежности
    Exact
    [5]
    Suffix
    : 111 \ 1 {} sup ( ) 1 sup ( ) 2 MM yByRB Cr M Byyωωωμμ ∈∈  ∈ =+−  . Тогда запишем [ ]( )( ) 0 1 sup1 sup 2 MM yryr Myy drωωωμμ ∞ ≥<  =+− ∫ . Предполагая, что случайные нечеткие величины ()ξθ и ()ηθ распределены по экспоненциальному закону, параметры которых являются треугольными нечеткими величинами, замечаем, что ожидаемые значения [ ]()Mξθ и [ ]()Mηθ можно записать а

6
Kwakernaak H. Fuzzy random variables – I. Definitions and theorems // Information Sciences. – 1978. – Vol. 15 – Pp. 1-29.
Total in-text references: 3
  1. In-text reference with the coordinate start=8647
    Prefix
    Аналогично показывается, что α-оптимистическое значение Mω(θ) определяется соотношением ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) 1) ( ) ( ( )) ( ).sup()supsupsupsupM M M MMωθ α χθ α γθ α νθ α χθ α=+− + Вычислим теперь среднее ожидаемое значение случайной нечеткой величины, которое определяется формулой
    Exact
    [5,6]
    Suffix
    , получим [] 1 infinfinfinf 0 1 supsupsupsup 0 1 infinfsupsup 0 1 ( )(( ) ( )( ( )) ( ) ( ( )) ( )( ( ) 1) ( )) 2 1 (( ( )) ( )( ( )) ( ) ( ( )) ( )( ( ) 1) ( )) 2 1 (( ( )) ( )( ( )) ( ) ( ( )) ( )( ( )) ( )) 2 EMMMMMd M M M M d M M M M d ωθχ α νθ αγθ α νθα α χθ ανθ α γθ ανθ αα χθ α νθ αχθ α νθ α α =+− + ++− = = + + + ∫ ∫ ∫ 1

  2. In-text reference with the coordinate start=19000
    Prefix
    Следовательно, в соответствии с определением функции от нечетких величин [4,5], мы задали нечеткое математическое ожидание наработки до первой аварии как функцию от нечетких параметров модели. Используемся принципом расширения Заде
    Exact
    [6]
    Suffix
    : (,,,)121 ( )sup min ( ) n inii xfxxx μxxμ =≤≤ =  и запишем соотношение для функции принадлежности ( )Mωθ: , где () 3( )( )4 1 32 12 3 4 3 4 ()()() 2 2 ,,, ()() 2 T T MxM x M x MxM x T fxx x x T MxM x T δ δ ξη χ ξγ δ δ ξ η δ +  + +++   + = ++ +        .

  3. In-text reference with the coordinate start=19624
    Prefix
    Таким образом, нам удалось записать соотношение для функции принадлежности ожидаемого значения наработки комплекса до аварии через функции принадлежности параметров модели. Рассмотрим теперь процедуру дефаззификации, т.е. преобразование нечеткого множества в четкое число, для чего воспользуемся определением среднего ожидаемого значения случайнонечетких величин
    Exact
    [6]
    Suffix
    : [ ] 0 0 M(){ | () }{ | () }CrMr dr CrMr drωθθωθθωθ ∞ −∞ =∈Θ≥ −∈Θ≤∫∫. Найдем соответствующую меру правдоподобия, используя соотношение, связывающее меру правдоподобия и функцию принадлежности [5]: 111 \ 1 {} sup ( ) 1 sup ( ) 2 MM yByRB Cr M Byyωωωμμ ∈∈  ∈ =+−  .

8
Buckley J. J. Fuzzy Probability and Statistics. – Springer-Verlag, 2006. – 270 p.
Total in-text references: 2
  1. In-text reference with the coordinate start=20666
    Prefix
    Пусть случайные нечеткие величины χ, ξ, γ и η распределены по экспоненциальным законам, т.е. {} () ;()1 t Ft eχ λθ χλθ − =−, {} () ;()1 t Fteξ λθ ξλθ − =−, {}();()1tFteλλθγλθ−=− и {} () ;()1 t Fteη λθ ηλθ − =−. Здесь будем строить функцию принадлежности на основе доверительных интервалов параметров распределения методом, предложенным Бакли
    Exact
    [8]
    Suffix
    . Его сущность заключается в том, что функция принадлежности искомого параметра распределения определяется своими множествами α–уровня. При этом в качестве множества α–уровня берется интервальная оценка искомого параметра распределения с уровнем доверия ( 1)α−.

  2. In-text reference with the coordinate start=22514
    Prefix
    наработки до аварии комплекса При этом значение Mω, вычисленное классическим способом, составляет , что совпадает с максимумом функции принадлежности, а значение [ ]Mω, полученное в результате процедуры дефаззификации, составляет , что отражает асимметричность полученной функции принадлежности. Также оценили вклад каждого из нечетких параметров в неопределенность результата в соответствии с
    Exact
    [8]
    Suffix
    . Так для параметра χλ получили 0.506858, для γλ – 7 0.4 10 − ×, для ξλ – 0.491839, а для ηλ получили 0.00130296. Заключение Таким образом, в данной работе предложен подход к оценке средней наработки до аварии комплекса «объект защиты – система безопасности» с учетом неопределенности в задании неопределенностью исходных данных.

9
Zhao R., Tang W., Yun H. Random fuzzy renewal process // European Journal of Operational Research. – 2006. – Vol. 169. – Pp. 189-201.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=3536
    Prefix
    При анализе математической модели надежности мы переходим от случайных величин к случайно-нечетким величинам, а, следовательно, возникает необходимость в применении случайнонечеткого процесса восстановления
    Exact
    [9,10]
    Suffix
    . Формализация и решение задачи При разработке математических моделей надежности общепринятым является подход, при котором наработки и времена восстановления описываются с помощью случайных величин. Например, можно рассматривать наработку до отказа χ, имеющую функцию распределения (;)Ftχλ  , где λ  – вектор параметров распределения.

10
Shen Q., Zhao R., Tang W. Random fuzzy alternating renewal processes // Soft Computing. – 2008. – Vol. 13, no. 2. – Pp. 139-147.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=3536
    Prefix
    При анализе математической модели надежности мы переходим от случайных величин к случайно-нечетким величинам, а, следовательно, возникает необходимость в применении случайнонечеткого процесса восстановления
    Exact
    [9,10]
    Suffix
    . Формализация и решение задачи При разработке математических моделей надежности общепринятым является подход, при котором наработки и времена восстановления описываются с помощью случайных величин. Например, можно рассматривать наработку до отказа χ, имеющую функцию распределения (;)Ftχλ  , где λ  – вектор параметров распределения.

11
Леоненко А.В. Нечеткое моделирование в среде Matlab и fuzzyTECH. – СПб.: БХВ – Петербург, 2005.– 736 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=21998
    Prefix
    принадлежности ожидаемого значения наработки комплекса до аварии комплекса запишем так: , где () ( ) ( ) ( ) 34 1234 34134 2 111,1 ,,, ,, qxx fxxxx qxx x qxx x − =+, ( )3434 34 11 2 , 11 2 T xTx qxx T xx δ δ δ ++ + ≈ + ++ . 112 Простейшими методами дефаззификации являются: метод центра тяжести, метод центра площадей, метод левого модального значения, метод правого модального значения
    Exact
    [11]
    Suffix
    . Причем , , , , , . Здесь ∆ обозначает треугольную функцию принадлежности. Тогда Рис. 1. Функция принадлежности средней наработки до аварии комплекса При этом значение Mω, вычисленное классическим способом, составляет , что совпадает с максимумом функции принадлежности, а значение [ ]Mω, полученное в результате процедуры дефаззификации, составляет , что отражает асимметричность полученной фу

12
Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход: Пер. с нем. – М.: Радио и связь, 1988. – 392 с.
Total in-text references: 1
  1. In-text reference with the coordinate start=21018
    Prefix
    При этом в качестве множества α–уровня берется интервальная оценка искомого параметра распределения с уровнем доверия ( 1)α−. Доверительные границы для интенсивности отказов рассчитываются по следующим формулам
    Exact
    [12]
    Suffix
    : 2 1 0 ( 1 , 2 ) 2 í d nt χα λ − =, 2 2 0 ( ,2) 2 â d nt χα λ =, где d – количество отказов за время 0t, n – общее количество элементов данного наименования, 0t – период эксплуатации (в часах).