The 8 reference contexts in paper V. Kashtanov A., В. Каштанов А. (2016) “УПРАВЛЕНИЕ СТРУКТУРОЙ В МОДЕЛЯХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И НАДЕЖНОСТИ // STRUCTURE CONTROL IN QUEUING AND RELIABILITY MODELS” / spz:neicon:sustain:y:2015:i:4:p:3-15

  1. Start
    2231
    Prefix
    Задача сводится к определению стратегии управления, для которой показатель, характеризующий качество управления, принимает экстремальное значение. В настоящей работе использована модель управляемого полумарковского процесса
    Exact
    [1]
    Suffix
    для построения оптимальной стратегии управления структурой. Управляемый полумарковский процесс определяется как процесс, имеющий две ступенчатые компоненты X(t)={ξ(t),u(t)}, ξ(t)∈E, u(t)∈U, где E – пространство состояний, U – пространство управлений, причем моменты разрывов компонент совпадают и в эти моменты изменения состояний процесс обладает Марковским свойством. 4 Исходные вероятностные ха
    (check this in PDF content)

  2. Start
    3671
    Prefix
    Введенные выше характеристики позволяют определить математическое ожидание накопленного эффекта за время пребывания процесса в состоянии i (1) и математическое ожидание времени непрерывного пребывания процесса в состоянии i . (2) В работах
    Exact
    [1, 2, 3]
    Suffix
    доказаны следующие утверждения: • Если вложенная цепь Маркова неприводима, то для математического ожидания Si(t) накопленного за время t эффекта при условии старта из состояния i∈E справедливо асимптотическое равенство при t→∞ Si(t)=St+o(t); • Зависимость от исходных характеристик функционала S определяется равенством , (3) где через πi, i∈E обозначено стационарное распределение вложенной
    (check this in PDF content)

  3. Start
    4158
    Prefix
    ожидания Si(t) накопленного за время t эффекта при условии старта из состояния i∈E справедливо асимптотическое равенство при t→∞ Si(t)=St+o(t); • Зависимость от исходных характеристик функционала S определяется равенством , (3) где через πi, i∈E обозначено стационарное распределение вложенной цепи Маркова, которое является нормированным решением алгебраической системы уравнений
    Exact
    [4]
    Suffix
    ; (4) • Функционал есть дробно-линейный функционал относительно распределений , определяющих Марковскую стратегию управления; • Если экстремум дробно-линейного функционала существует на множестве допустимых стратегий и все вырожденные стратегии допустимы, то этот экстремум достигается на множестве вырожденных стратегий.
    (check this in PDF content)

  4. Start
    7427
    Prefix
    При i=n имеем pn=1, qn=0 в силу ограниченности общего числа каналов величиной n. Если использовать математическую терминологию, при постановке задачи сначала используется класс рандомизированных стратегий управления
    Exact
    [1, 2]
    Suffix
    . Введем стоимостные характеристики, которые определяют функционал, характеризующий качество функционирования и управления. Пусть: c0 – прибыль за одно обслуженное требование; c1 – плата за один час работы задействованного канала; c2 – плата за один час простоя свободного канала, c3 – плата за потерю одного требования.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    7857
    Prefix
    Пусть: c0 – прибыль за одно обслуженное требование; c1 – плата за один час работы задействованного канала; c2 – плата за один час простоя свободного канала, c3 – плата за потерю одного требования. Описанная выше модель полностью укладывается в модель дискретного управления полумарковским процессом
    Exact
    [1]
    Suffix
    . решение задачи 1. Построение объекта управления. Объектом управления будет полумарковский процесс X(t), описывающий эволюцию исследуемой системы массового обслуживания во времени. Для его определения введем в рассмотрение последовательность t0=0, tk, k=1,2,..., tk≤tk+1, соседних моментов поступления заявок в систему.
    (check this in PDF content)

  6. Start
    13200
    Prefix
    Поэтому суммарное время работы каналов обслуживания на рассматриваемом периоде при условии перехода процесса из состояния i∈E в состояние j∈E за время t есть интеграл от траектории ξ(t,ω) Марковского процесса чистой гибели с интенсивностями переходов μk=kμ, j–1≤k≤i, для которой выполняются условия либо {ξ(0)=i, ξ(t)=i}, либо {ξ(0)=i, ξ(t)=i-1}. В
    Exact
    [2]
    Suffix
    для условных математических ожиданий интегралов приведены соотношения, из которых следуют равенства . (10) Тогда с учетом соотношений (7) и (10) можно записать (11) Объединяя равенства (8), (9) и (11), получаем (12) При 2≤i<n, 0<j≤i–1 на периоде между соседними моментами поступления требований в систему происходит только обслуживание требований и число требований, находящихся в системе, с
    (check this in PDF content)

  7. Start
    14404
    Prefix
    Число обслуженных требований равно i–j+1≥2, поэтому условное математическое ожидание суммарного времени работы каналов, определяемое равенством (10), равно (14) поскольку вновь пришедшее требование только начинает обслуживаться. В то же время первый освободившийся канал остался включенным и простаивал в нерабочем состоянии до момента прихода очередного требования. В
    Exact
    [2]
    Suffix
    было определено математическое ожидание времени работы первого освободившегося канала . (15) Используя равенства (14) и (15), получаем при 2≤i<n, 0<j≤i–1 (16) Тогда при 2≤i<n, 0<j≤i–1 имеем из (13) и (16) (17) Таким образом, вычислены все искомые математические ожидания при принятии решения u=0.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    17899
    Prefix
    При pk,k+1(0)=0 переходы из состояний E0={0, 1, ... k} в состояния из множества E1={k+1, ..., n} невозможны. Следовательно, множество E1={k+1, ..., n} есть множество несущественных состояний, а множество E0={0, 1, ... k} образует замкнутый класс сообщающихся состояний
    Exact
    [4]
    Suffix
    и существует единственное стационарное распределение, для которого выполняются соотношения Для определения стационарного распределения πi>0, i∈E0, необходимо найти нормированное решение системы (24) которое обозначим .
    (check this in PDF content)