The 13 reference contexts in paper I. Chumakov A., V. Chepurko A., A. Antonov V., И. Чумаков А., В. Чепурко А., А. Антонов В. (2016) “НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ НЕПОЛНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ КИЖИМА // ON SOME PROPERTIES OF KIJIMA INCOMPLETE RECOVERY MODELS” / spz:neicon:sustain:y:2015:i:3:p:3-15

  1. Start
    2339
    Prefix
    Виртуальный возраст и распределение наработки связаны следующим соотношением: пусть vi-1 – виртуальный возраст элемента на момент (i – 1)-го восстановления. Тогда случайная величина Xi имеет следующую условную функцию распределения
    Exact
    [1, 2]
    Suffix
    : 4 (1) где F(x) – функция распределения наработки до первого отказа (НПО) для абсолютно нового элемента. Модель Кижима-1 предполагает, что n-е восстановление влияет только на повреждения, полученные элементом между (n – 1)-м и n-м отказом, уменьшая прирост виртуального возраста элемента с Xi до qXi.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    3061
    Prefix
    Виртуальный возраст элемента после n-го восстановления можно записать в виде: (2) Модель Кижима-2 предполагает, что каждое восстановление влияет на суммарные повреждения, соответственно уменьшая суммарный виртуальный возраст: (3) Таким образом, распределение НПО и коэффициент q полностью определяют процессы восстановления моделей Кижима. В том числе, по
    Exact
    [2, 3, 4]
    Suffix
    случай q = 0 описывает полное восстановление, случай q = 1 описывает минимальное восстановление, случай 0 < q < 1 описывает неполное восстановление «хуже, чем новое, но лучше, чем было перед отказом».
    (check this in PDF content)

  3. Start
    3493
    Prefix
    Оценка параметров модели возможна различными способами. 2. параметрическая оценка параметров модели 2.1. Метод максимального правдоподобия Рассмотрим подход с использованием метода максимального правдоподобия (ММП)
    Exact
    [1, 5]
    Suffix
    . В качестве допущения здесь и далее будем предполагать, что НПО имеет распределение Вейбулла. Функция этого распределения имеет различные формы записи. В работе использована следующая форма, упрощающая дальнейшие расчеты: (4) Для (1) с учетом (4) логарифмическая функция правдоподобия (ЛФП) известна [4]: (5) где vi зависят от q в виде (2) или (3).
    (check this in PDF content)

  4. Start
    3800
    Prefix
    Функция этого распределения имеет различные формы записи. В работе использована следующая форма, упрощающая дальнейшие расчеты: (4) Для (1) с учетом (4) логарифмическая функция правдоподобия (ЛФП) известна
    Exact
    [4]
    Suffix
    : (5) где vi зависят от q в виде (2) или (3). Оценки λ, β, q могут быть получены с применением численных методов [1, 5]. Далее предположим, что под наблюдением находится одновременно k абсолютно одинаковых восстанавливаемых элементов.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    3916
    Prefix
    В работе использована следующая форма, упрощающая дальнейшие расчеты: (4) Для (1) с учетом (4) логарифмическая функция правдоподобия (ЛФП) известна [4]: (5) где vi зависят от q в виде (2) или (3). Оценки λ, β, q могут быть получены с применением численных методов
    Exact
    [1, 5]
    Suffix
    . Далее предположим, что под наблюдением находится одновременно k абсолютно одинаковых восстанавливаемых элементов. В таком случае полагаем, что i-е времена отказа имеют одинаковые распределения для каждого элемента.
    (check this in PDF content)

  6. Start
    4222
    Prefix
    Далее предположим, что под наблюдением находится одновременно k абсолютно одинаковых восстанавливаемых элементов. В таком случае полагаем, что i-е времена отказа имеют одинаковые распределения для каждого элемента. Запишем ЛФП аналогично (5), но с одновременным учетом k выборок времен до отказа
    Exact
    [3]
    Suffix
    : . (6) Функция (6) дает возможность найти оценки параметров аналогично (5). 2.2. оценка погрешности метода максимального правдоподобия Чтобы найти дисперсии оценок ММП, необходимо построить информационную матрицу Фишера [6, стр. 201].
    (check this in PDF content)

  7. Start
    4443
    Prefix
    Запишем ЛФП аналогично (5), но с одновременным учетом k выборок времен до отказа [3]: . (6) Функция (6) дает возможность найти оценки параметров аналогично (5). 2.2. оценка погрешности метода максимального правдоподобия Чтобы найти дисперсии оценок ММП, необходимо построить информационную матрицу Фишера
    Exact
    [6, стр. 201]
    Suffix
    . Запишем вектор параметров (λ, β, q) в виде (θ1, θ2, θ3). Элементы информационной матрицы Фишера вычисляются следующим образом: . Дисперсии оценок определяются из ковариационной матрицы V = I-1, при этом D(θi)=V(i,i).
    (check this in PDF content)

  8. Start
    6266
    Prefix
    из определения самих процессов. 3. оценки ведущей функции потока методом конечных сумм МО среднего числа отказов на интервале (0; t] также известно, как «функция восстановления», «ведущая функция потока» (ВФП). Для случая неполного восстановления данная величина определяется интегральным уравнением, решение которого невозможно аналитическим путем, и даже численное решение затруднительно
    Exact
    [2]
    Suffix
    . По определению, ВФП может быть представлена в виде бесконечной суммы [7, стр.88]: (7) где Gi(x) – функция распределения момента времени i-го отказа Si. В отличие от распределения (1), Gi(x) – безусловное распределение.
    (check this in PDF content)

  9. Start
    7525
    Prefix
    Моделирование наработок до отказа Считая известными значения параметров распределения и коэффициента восстановления моделей Кижима, становится возможным моделировать процессы Кижима (2) и (3). Функция распределения НПО определяется (1). Из
    Exact
    [4]
    Suffix
    получим формулу для i-й наработки до отказа: . (10) Для моделирования необходимо разыграть U~U[0;1]. 4.2. оценка ведущей функции потока Популярным способом вычисления ВФП в случае неполного восстановления является метод статистических испытаний, пригодный в т.ч. для прогнозирования оценки в будущем.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    8142
    Prefix
    Nj – количество отказов, произошедших до времени t, есть значение ВФП, далее моделирование повторяется необходимое число раз S. Итоговая оценка ВФП HМ(t) вычисляется как среднее из смоделированных значений
    Exact
    [5]
    Suffix
    : . (11) 6 4.3. оценка среднего прямого и обратного остаточного времени Среднее прямое остаточное время (СПОВ) [7] – это МО оставшегося времени работы объекта до очередного отказа от момента времени t, в который система была работоспособна.
    (check this in PDF content)

  11. Start
    8311
    Prefix
    Nj – количество отказов, произошедших до времени t, есть значение ВФП, далее моделирование повторяется необходимое число раз S. Итоговая оценка ВФП HМ(t) вычисляется как среднее из смоделированных значений [5]: . (11) 6 4.3. оценка среднего прямого и обратного остаточного времени Среднее прямое остаточное время (СПОВ)
    Exact
    [7]
    Suffix
    – это МО оставшегося времени работы объекта до очередного отказа от момента времени t, в который система была работоспособна. Среднее обратное остаточное время (СООВ) – это МО времени работы объекта от начала эксплуатации либо последнего восстановления до момента времени t, в который система работоспособна.
    (check this in PDF content)

  12. Start
    9586
    Prefix
    V(t) и СООВ R(t) вычисляются как среднее из смоделированных значений: (12) . (13) Ниже в п.6 будут приведены результаты расчетов по данным формулам. 4.4. оценка погрешности вычислений методом статистических испытаний Как известно, при использовании метода статистических испытаний можно получить оценку погрешности не гарантированно, а лишь с некоторой степенью достоверности. Согласно
    Exact
    [8, стр. 234]
    Suffix
    и ЦПТ, получаем верхнюю границу ошибки для (11) с коэффициентом доверия β: (14) где: tβ – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t) = β/2. – несмещенная оценка дисперсии оценки HM. 5. исследование существования предельной точки процесса кижима 5.1. расходимость последовательности моментов отказов для минимального восстановления Для некоторых моделей неполного восстановлен
    (check this in PDF content)

  13. Start
    10313
    Prefix
    восстановления Для некоторых моделей неполного восстановления, последовательность математических ожиданий (МО) моментов времени i-го отказа M(Sn), может сходиться, т.е. иметь предел при i → ∞. В частности, для геометрического процесса – последовательности неотрицательных независимых случайных величин {Δn; n = 1, 2...}, таких, что выполняется следующее равенство по распределению
    Exact
    [9, с. 81]
    Suffix
    : справедливо: где: MΔ – МО 1-й наработки до отказа; γ > 0 – знаменатель (параметр) геометрического процесса. Докажем отсутствие сходимости последовательности МО моментов отказов для моделей Кижима для распределения Вейбулла.
    (check this in PDF content)