The 14 reference contexts in paper G. Cherkesov N., Yu. Stepanov V., Г. Черкесов Н., Ю. Степанов В. (2016) “ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛОГИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ // APPLICATION OF GENERAL SOLUTION FOR A SYSTEM OF LOGICAL EQUATIONS IN DEPENDABILITY TASKS” / spz:neicon:sustain:y:2015:i:2:p:23-38

  1. Start
    1357
    Prefix
    функций работоспособности системы (ЛФРС) путем перечисления кратчайших путей успешного функционирования (КПУФ) и соответствующих им дизъюнктивных членов приводит к записи ЛФРС в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ). Такой способ вполне приемлем для систем небольшой сложности, но затруднителен уже для систем средней сложности (при количестве элементов более десяти). Так, по подсчетам
    Exact
    [1]
    Suffix
    в электроэнергетической системе с 15 элементами число КПУФ достигает нескольких сотен. Для более сложных систем запись ЛФРС в виде ДНФ становится практически невозможной. Решение задачи упрощается, если условия работоспособности записывают с помощью систем логических уравнений (СЛУ).
    (check this in PDF content)

  2. Start
    1948
    Prefix
    Решение СЛУ с помощью специальных методов приводит к многоскобочной формуле и существенно более компактной записи ЛФРС. В настоящее время разработан ряд методов решения систем логических уравнений. Для неоднородных линейных СЛУ с постоянными или переменными коэффициентами применяют метод определителей
    Exact
    [2]
    Suffix
    , позволяющий получить частное решение вида: , где y0 – индикатор свободных членов неоднородной системы уравнений. При y0 = 0 частное решение соответствует однородной СЛУ и будет нулевым. В [3] приведены еще три метода получения частного решения СЛУ: метод подстановки, метод приведения к одному уравнению и матричный метод.
    (check this in PDF content)

  3. Start
    2138
    Prefix
    Для неоднородных линейных СЛУ с постоянными или переменными коэффициентами применяют метод определителей [2], позволяющий получить частное решение вида: , где y0 – индикатор свободных членов неоднородной системы уравнений. При y0 = 0 частное решение соответствует однородной СЛУ и будет нулевым. В
    Exact
    [3]
    Suffix
    приведены еще три метода получения частного решения СЛУ: метод подстановки, метод приведения к одному уравнению и матричный метод. Варианты успешного применения метода определителей и других методов получения частных решений для решения технических задач показаны в [4, 5].
    (check this in PDF content)

  4. Start
    2409
    Prefix
    В [3] приведены еще три метода получения частного решения СЛУ: метод подстановки, метод приведения к одному уравнению и матричный метод. Варианты успешного применения метода определителей и других методов получения частных решений для решения технических задач показаны в
    Exact
    [4, 5]
    Suffix
    . Частное решение неоднородной СЛУ в ряде случаев оказывается недостаточным или приводит к неправильному отражению всех условий успешного функционирования технической системы. Поэтому были предприняты попытки устранить недостатки частного решения и найти общее решение СЛУ.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    2774
    Prefix
    Частное решение неоднородной СЛУ в ряде случаев оказывается недостаточным или приводит к неправильному отражению всех условий успешного функционирования технической системы. Поэтому были предприняты попытки устранить недостатки частного решения и найти общее решение СЛУ. В работе
    Exact
    [3]
    Suffix
    излагаются два метода получения общего решения неоднородной СЛУ, а именно метод подстановки и метод приведения к одному уравнению с n неизвестными. Общее решение имеет вид: , (1) где y0 – вектор неизвестных логических функций; f и g – известные функции, зависящие от коэффициентов уравнений; yc – произвольная функция алгебры логики; знаком V обозначена операция дизъюнкции.
    (check this in PDF content)

  6. Start
    3509
    Prefix
    При получении общего решения вида (1) возникают определенные трудности. Во-первых, отсутствуют рекомендации по выбору произвольной ФАЛ yc , хотя от этого выбора зависит результат оценки надежности. Кроме того, согласно
    Exact
    [3]
    Suffix
    существует только одно решение вида (1). На самом деле может быть несколько общих решений. И только одно из них может удовлетворить особым условиям функционирования технической системы. Чтобы его найти, надо иметь полный спектр общих решений.
    (check this in PDF content)

  7. Start
    4900
    Prefix
    Поэтому необходимо сначала убедиться, что СЛУ имеет хотя бы одно общее решение и найти условия ее разрешимости. Есть еще одна проблема. Для некоторых классов технических систем и частное, и общее решение
    Exact
    [3]
    Suffix
    могут оказываться неприемлемыми, так как не отражают некоторых существенных особенностей их функционирования. Это происходит, в частности, при наличии в структуре системы контуров обратной связи, характерных для ряда технических систем.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    6786
    Prefix
    При использовании частного решения СЛУ может возникнуть нежелательный эффект поглощения элементов контура обратной связи элементами прямого канала. Это приводит к искажению реальных условий функционирования и неверной оценке надежности. При использовании общего решения
    Exact
    [3]
    Suffix
    часто происходит потеря «питающего элемента». В работе [7] излагается аналитический метод получения общего решения булевых уравнений. Этот метод универсален, но он не предлагает конструктивных правил и алгоритмов нахождения общего решения и выбора из множества решений именно того варианта, который вполне соответствует физической сущности технической системы, отраженной в логической модели
    (check this in PDF content)

  9. Start
    6844
    Prefix
    При использовании частного решения СЛУ может возникнуть нежелательный эффект поглощения элементов контура обратной связи элементами прямого канала. Это приводит к искажению реальных условий функционирования и неверной оценке надежности. При использовании общего решения [3] часто происходит потеря «питающего элемента». В работе
    Exact
    [7]
    Suffix
    излагается аналитический метод получения общего решения булевых уравнений. Этот метод универсален, но он не предлагает конструктивных правил и алгоритмов нахождения общего решения и выбора из множества решений именно того варианта, который вполне соответствует физической сущности технической системы, отраженной в логической модели надежности.
    (check this in PDF content)

  10. Start
    12743
    Prefix
    Перебирают все возможные значения rj и формируют все предполагаемые решения. 5. Проверяют каждое предполагаемое решение путем подстановки в исходное уравнение. 6. После селекции получают набор решений, из которых одно частное, а остальные общие, в том числе одно по
    Exact
    [4]
    Suffix
    с одинаковыми и равными 1 индикаторными функциями. Чтобы найти решение уравнения , (6) надо принять А1 = А6 = 1, А2 = А3 = А4 = 0, А5 = х1 ∨ х2. Допустимые наборы 33 и 35 относятся к группам 1 и 2.
    (check this in PDF content)

  11. Start
    13272
    Prefix
    Для восьми значений вектора R имеем восемь решений: 0, x1′x2, x1x2, х2, x1x2′, x1′x2 ∨ x1x2′, х1, х1 ∨ х2 , в том числе нулевое решение. Это частное решение, остальные общие, из них одно соответствует
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Подстановка этих решений в (6) показывает, что все они являются корнями уравнения. Общим решениям соответствуют следующие вероятности Рс = Р{y = 1} : q1p2, p1p2, p2, p1q2, q1p2+p1q2, p1, 1–q1q2. Однако не всегда бывает так, что все корни истинные.
    (check this in PDF content)

  12. Start
    14353
    Prefix
    Перебирая значения индикаторов, найдем четыре решения: y1 = x1x2 , y2 = x1x2 ∨ x1′x2′x3, y3 = x1x2 ∨ x1x3, y4 = x1x2 ∨ x2′x3 . Проверка показывает, что среди них нет ложных корней. Решение у1 является частным, решение у4 по
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Еще два общих решения дополняют полный спектр решений. Этим решениям соответствуют следующие вероятности: Представляет практический интерес поиск условий разрешимости (или неразрешимости) системы уравнений.
    (check this in PDF content)

  13. Start
    20234
    Prefix
    Находят . После получения решений надо провести их проверку. Для иллюстрации алгоритма найдем решение системы трех логических уравнений (35) Частное решение (35) находят методом определителей
    Exact
    [5]
    Suffix
    Если у0 = 0, то система (35) является однородной и частное решение будет нулевым. Для получения общего решения на шаге 1 в первом уравнении (35) находим: С1 = С3 = С6 = 0, С2 = 1, С4 = σ1у0 V а12у2 , С5 = а11.
    (check this in PDF content)

  14. Start
    21360
    Prefix
    Кроме общего решения (41) существуют еще два общих решения, соответствующих наборам (R1, R2) = (0,1) и (1,0). Полагая pi = 1–qi = P{σi = 1}, pij = 1–qij = P{aij = 1}, по формулам (41) с помощью методов перехода к полному замещению
    Exact
    [5]
    Suffix
    найдем вероятности , (42) , (43) (44) Для однородной системы при R1= R2 = 1 вероятности находят из (42)– (44), полагая q1 = q2 = 1, p1 = 0. Для частного решения (R1 = R2 = 0) вероятность Р1 находят из (42) при q11 = q21 = q22 = 1, вероятность Р2 находят из (43) при q11 = q12 = q22 = 1, а вероятность Р3 по формуле Для общего решения при R1 = 0, R2=1 вероятности Р1, Р2, Р3 находят соот
    (check this in PDF content)