The 20 reference contexts in paper A. Pereguda I., А. Перегуда И. (2016) “МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАДЕЖНОСТИ КОМПЛЕКСА «ОБЪЕКТ ЗАЩИТЫ - СИСТЕМА БЕЗОПАСНОСТИ» ПРИ НЕЧЕТКОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ // MATHEMATICAL MODEL OF DEPENDABILITY FOR A COMPLEX “FACILITY OF PROTECTION – SAFETY SYSTEM” IN CASE OF FUZZY INITIAL INFORMATION” / spz:neicon:sustain:y:2014:i:1:p:99-128

  1. Start
    2012
    Prefix
    Из этого следует, что объект защиты и систему безопасности необходимо рассматривать в совокупности как единый автоматизированный технологический комплекс «объект защиты – система безопасности» (АТК ОЗ–СБ). Разработке математической модели надежности такого комплекса посвящены работы
    Exact
    [1,2]
    Suffix
    . При анализе надежности систем может иметь место неопределенность результатов анализа, обусловленная различными причинами. В этой работе будем рассматривать неопределенность результатов анализа надежности, обусловленную неопределенностью исходных данных.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    2878
    Prefix
    Для моделирования различных аспектов неопределенности разработано несколько отличающихся друг от друга подходов, таких как теоретико-вероятностный подход, нечеткие множества и меры и некоторые другие. Обсуждение их различий и преимуществ можно найти в работе
    Exact
    [3]
    Suffix
    . Здесь будем использовать комбинацию теоретико-вероятностного подхода и нечетких мер для построения математической модели надежности, учитывающей неопределенность параметров модели. Подобный подход изложен в ряде работ [4 – 8].
    (check this in PDF content)

  3. Start
    3137
    Prefix
    Здесь будем использовать комбинацию теоретико-вероятностного подхода и нечетких мер для построения математической модели надежности, учитывающей неопределенность параметров модели. Подобный подход изложен в ряде работ [4 – 8]. В данной работе, следуя Лю
    Exact
    [4,5]
    Suffix
    будем использовать случайно-нечеткие величины, поскольку они позволяют наиболее просто создать математическую модель надежности АТК ОЗ–СБ, учитывающую неопределенность исходных данных. При анализе математической модели надежности мы переходим от случайных величин к случайно-нечетким величинам, а, следовательно, возникает необходимость в применении случайнонечеткого процесса восстановления [9,
    (check this in PDF content)

  4. Start
    3536
    Prefix
    При анализе математической модели надежности мы переходим от случайных величин к случайно-нечетким величинам, а, следовательно, возникает необходимость в применении случайнонечеткого процесса восстановления
    Exact
    [9,10]
    Suffix
    . Формализация и решение задачи При разработке математических моделей надежности общепринятым является подход, при котором наработки и времена восстановления описываются с помощью случайных величин. Например, можно рассматривать наработку до отказа χ, имеющую функцию распределения (;)Ftχλ  , где λ  – вектор параметров распределения.
    (check this in PDF content)

  5. Start
    4234
    Prefix
    Однако, как правило, точные значения параметров λ  в силу тех или иных причин неизвестны, а, следовательно, имеет место неопределенность параметров модели, что, в свою очередь, приводит к неопределенности значений искомых показателей надежности. Для количественного учета этой неопределенности воспользуемся математическим аппаратом случайно-нечетких величин
    Exact
    [4,5]
    Suffix
    . Сущность используемого подхода заключается в том, что случайным величинам приписывается мера правдоподобия. Случайно-нечеткие наработки до отказа и времена восстановления мы будем определять, используя подход, рассмотренный в [4].
    (check this in PDF content)

  6. Start
    4467
    Prefix
    Сущность используемого подхода заключается в том, что случайным величинам приписывается мера правдоподобия. Случайно-нечеткие наработки до отказа и времена восстановления мы будем определять, используя подход, рассмотренный в
    Exact
    [4]
    Suffix
    . Чтобы задать случайно-нечеткую величину χ, укажем семейство вероятностных распределений на вероятностном пространстве (Ω, A, P), где λ  – нечеткий вектор, определенный на пространстве правдоподобия (Θ, G, Cr), которому соответствует функция принадлежности μλ()x  .
    (check this in PDF content)

  7. Start
    6082
    Prefix
    И, наконец, предположим, что последовательности {χi, i ≥ 1} и {γi, i ≥ 1} взаимно независимы, а ν независима от последовательностей {χi, i ≥ 1} и {γi, i ≥ 1}. 101 Наработку комплекса до первой аварии можно записать
    Exact
    [2]
    Suffix
    : 1 1 ()ii i ν ωχγχν − = =++∑, где χν – наработка на отказ на том цикле регенерации, на котором произошел отказ объекта защиты. Таким образом, ω – это случайная нечеткая величина, определенная на пространстве правдоподобия (Θi, Pi, Cri), где Θ = Θ’’×(Θ1×Θ1’)×( Θ2×Θ2’)×.
    (check this in PDF content)

  8. Start
    6392
    Prefix
    ≥ 1} и {γi, i ≥ 1}. 101 Наработку комплекса до первой аварии можно записать [2]: 1 1 ()ii i ν ωχγχν − = =++∑, где χν – наработка на отказ на том цикле регенерации, на котором произошел отказ объекта защиты. Таким образом, ω – это случайная нечеткая величина, определенная на пространстве правдоподобия (Θi, Pi, Cri), где Θ = Θ’’×(Θ1×Θ1’)×( Θ2×Θ2’)×..., Cr – мера правдоподобия, определяется так
    Exact
    [4,5]
    Suffix
    . Для каждого фиксированного θ величины Mχi(θ), Mγi(θ), Mν(θ) и Mω(θ) представляют собой математические ожидания случайных величин χ(θ), γ(θ), ν(θ) и ω(θ) соответственно. Поскольку θ варьируется на множестве Θ, то мы рассматриваем уже нечеткие величины Mχi(θ), Mγi(θ), Mν(θ), Mω(θ).
    (check this in PDF content)

  9. Start
    6830
    Prefix
    Поскольку θ варьируется на множестве Θ, то мы рассматриваем уже нечеткие величины Mχi(θ), Mγi(θ), Mν(θ), Mω(θ). Для измерения нечеткой величины используют два критических значения (оптимистическое и пессимистическое значение) с заданным доверительным уровнем α
    Exact
    [5]
    Suffix
    . Таким образом, мы можем рассматривать следующие α-пессимистические и α-оптимистические значения этих математических ожиданий: ( ( )) ( ) supsup{{}}( ),iiMr Cr Mrχθ αχθα=≥≥ ( ())()infinf{{}}(),iiMr Cr Mrχθ αχθα=≤≥ ( ())()supsup{{}}(),iiMr Cr Mrγθ αγθ α=≥≥ ( ())()infinf{{}}(),iiMr Cr Mrγθ αγθ α=≤≥ ( ())()supsup{{}}(),Mr Cr Mrνθ ανθα=≥≥ ( ())()infinf{{}}(),Mr Cr Mrνθ ανθα=≤≥ (
    (check this in PDF content)

  10. Start
    8647
    Prefix
    Аналогично показывается, что α-оптимистическое значение Mω(θ) определяется соотношением ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) 1) ( ) ( ( )) ( ).sup()supsupsupsupM M M MMωθ α χθ α γθ α νθ α χθ α=+− + Вычислим теперь среднее ожидаемое значение случайной нечеткой величины, которое определяется формулой
    Exact
    [5,6]
    Suffix
    , получим [] 1 infinfinfinf 0 1 supsupsupsup 0 1 infinfsupsup 0 1 ( )(( ) ( )( ( )) ( ) ( ( )) ( )( ( ) 1) ( )) 2 1 (( ( )) ( )( ( )) ( ) ( ( )) ( )( ( ) 1) ( )) 2 1 (( ( )) ( )( ( )) ( ) ( ( )) ( )( ( )) ( )) 2 EMMMMMd M M M M d M M M M d ωθχ α νθ αγθ α νθα α χθ ανθ α γθ ανθ αα χθ α νθ αχθ α νθ α α =+− + ++− = = + + + ∫ ∫ ∫ 1
    (check this in PDF content)

  11. Start
    15634
    Prefix
    Напомним, что ξ – случайная наработка до первого скрытого отказа СБ, а η – случайное время восстановления системы безопасности после первого скрытого отказа. При вычислении ( );Ptθ + возможны только два взаимоисключающихся варианта: и . Следовательно, представим ()Pt + в виде суммы двух слагаемых
    Exact
    [2]
    Suffix
    : Вычислим сначала второе слагаемое. Условие означает, что момент регенерации процесса функционирования системы безопасности наступил после момента времени t. Учитывая это условие, 2I преобразуем так: где tAJ∈ – индикатор события tA∈. 108 Опуская некоторые несложные, но громоздкие преобразования, приведем сразу конечный результат: Заметим, что (1)() () 1 1 (1 ( ( )))()mTtmTt m F mTJJξ
    (check this in PDF content)

  12. Start
    17902
    Prefix
    Поскольку , то ( ) ((( ))( )()) (1)( )( ) 01 00 ( )(1 ( ( );))() ()() ( 1)( );( );. mT Tt mT t m kk MF k TJJdt k F k TF kTk Pk M T T ξ ξδ δ ξξ ξξ ζθδ λ θ ξθξθ δδ λ θδ λ θδδ δ δ ∞∞ + + +≤+ ≤ = ∞∞ == = − +−=     =+ +− +== =     + +   ∫∑ ∑∑    Поскольку ()Tξθ δ>> +, то () ()1 T2T ξθ ξθ δδ  ≅− ++
    Exact
    [1]
    Suffix
    , что позволяет переписать ()Mζθ для каждого фиксированного θ ∈Θ так () () 2 MM T δδ ζθ ξθ δ =− + . Тогда () () () 2 T MMM T δ ξθ ζθ ξθ δ −=+ + и ( )( )( ) 2 ÑÁ T MMM δ τ θ ηθξθ + =++. () lim ( ; )2 ()() 2 t T M PtT T MM δ ξθ θδ δ ξθηθ + →∞ + =+ + ++ .
    (check this in PDF content)

  13. Start
    18840
    Prefix
    Теперь можем вычислить ( )Mωθ при каждом фиксированном θ ∈Θ по формуле ( ) ()( )( )()() 2 2 ()() 2 T T MMM MM T M T M M T δ δ ξθηθ χθξθγ θ δ ωθ δ ξθηθ δ + ++++ +  = ++ + , где , , и . Следовательно, в соответствии с определением функции от нечетких величин
    Exact
    [4,5]
    Suffix
    , мы задали нечеткое математическое ожидание наработки до первой аварии как функцию от нечетких параметров модели. Используемся принципом расширения Заде [6]: (,,,)121 ( )sup min ( ) n inii xfxxx μxxμ =≤≤ =  и запишем соотношение для функции принадлежности ( )Mωθ: , где () 3( )( )4 1 32 12 3 4 3 4 ()()() 2 2 ,,, ()() 2 T T MxM x M x MxM x T fxx x x T MxM x T δ δ ξη χ ξγ δ δ ξ
    (check this in PDF content)

  14. Start
    19000
    Prefix
    Следовательно, в соответствии с определением функции от нечетких величин [4,5], мы задали нечеткое математическое ожидание наработки до первой аварии как функцию от нечетких параметров модели. Используемся принципом расширения Заде
    Exact
    [6]
    Suffix
    : (,,,)121 ( )sup min ( ) n inii xfxxx μxxμ =≤≤ =  и запишем соотношение для функции принадлежности ( )Mωθ: , где () 3( )( )4 1 32 12 3 4 3 4 ()()() 2 2 ,,, ()() 2 T T MxM x M x MxM x T fxx x x T MxM x T δ δ ξη χ ξγ δ δ ξ η δ +  + +++   + = ++ +        .
    (check this in PDF content)

  15. Start
    19624
    Prefix
    Таким образом, нам удалось записать соотношение для функции принадлежности ожидаемого значения наработки комплекса до аварии через функции принадлежности параметров модели. Рассмотрим теперь процедуру дефаззификации, т.е. преобразование нечеткого множества в четкое число, для чего воспользуемся определением среднего ожидаемого значения случайнонечетких величин
    Exact
    [6]
    Suffix
    : [ ] 0 0 M(){ | () }{ | () }CrMr dr CrMr drωθθωθθωθ ∞ −∞ =∈Θ≥ −∈Θ≤∫∫. Найдем соответствующую меру правдоподобия, используя соотношение, связывающее меру правдоподобия и функцию принадлежности [5]: 111 \ 1 {} sup ( ) 1 sup ( ) 2 MM yByRB Cr M Byyωωωμμ ∈∈  ∈ =+−  .
    (check this in PDF content)

  16. Start
    19825
    Prefix
    теперь процедуру дефаззификации, т.е. преобразование нечеткого множества в четкое число, для чего воспользуемся определением среднего ожидаемого значения случайнонечетких величин [6]: [ ] 0 0 M(){ | () }{ | () }CrMr dr CrMr drωθθωθθωθ ∞ −∞ =∈Θ≥ −∈Θ≤∫∫. Найдем соответствующую меру правдоподобия, используя соотношение, связывающее меру правдоподобия и функцию принадлежности
    Exact
    [5]
    Suffix
    : 111 \ 1 {} sup ( ) 1 sup ( ) 2 MM yByRB Cr M Byyωωωμμ ∈∈  ∈ =+−  . Тогда запишем [ ]( )( ) 0 1 sup1 sup 2 MM yryr Myy drωωωμμ ∞ ≥<  =+− ∫ . Предполагая, что случайные нечеткие величины ()ξθ и ()ηθ распределены по экспоненциальному закону, параметры которых являются треугольными нечеткими величинами, замечаем, что ожидаемые значения [ ]()Mξθ и [ ]()Mηθ можно записать а
    (check this in PDF content)

  17. Start
    20666
    Prefix
    Пусть случайные нечеткие величины χ, ξ, γ и η распределены по экспоненциальным законам, т.е. {} () ;()1 t Ft eχ λθ χλθ − =−, {} () ;()1 t Fteξ λθ ξλθ − =−, {}();()1tFteλλθγλθ−=− и {} () ;()1 t Fteη λθ ηλθ − =−. Здесь будем строить функцию принадлежности на основе доверительных интервалов параметров распределения методом, предложенным Бакли
    Exact
    [8]
    Suffix
    . Его сущность заключается в том, что функция принадлежности искомого параметра распределения определяется своими множествами α–уровня. При этом в качестве множества α–уровня берется интервальная оценка искомого параметра распределения с уровнем доверия ( 1)α−.
    (check this in PDF content)

  18. Start
    21018
    Prefix
    При этом в качестве множества α–уровня берется интервальная оценка искомого параметра распределения с уровнем доверия ( 1)α−. Доверительные границы для интенсивности отказов рассчитываются по следующим формулам
    Exact
    [12]
    Suffix
    : 2 1 0 ( 1 , 2 ) 2 í d nt χα λ − =, 2 2 0 ( ,2) 2 â d nt χα λ =, где d – количество отказов за время 0t, n – общее количество элементов данного наименования, 0t – период эксплуатации (в часах).
    (check this in PDF content)

  19. Start
    21998
    Prefix
    принадлежности ожидаемого значения наработки комплекса до аварии комплекса запишем так: , где () ( ) ( ) ( ) 34 1234 34134 2 111,1 ,,, ,, qxx fxxxx qxx x qxx x − =+, ( )3434 34 11 2 , 11 2 T xTx qxx T xx δ δ δ ++ + ≈ + ++ . 112 Простейшими методами дефаззификации являются: метод центра тяжести, метод центра площадей, метод левого модального значения, метод правого модального значения
    Exact
    [11]
    Suffix
    . Причем , , , , , . Здесь ∆ обозначает треугольную функцию принадлежности. Тогда Рис. 1. Функция принадлежности средней наработки до аварии комплекса При этом значение Mω, вычисленное классическим способом, составляет , что совпадает с максимумом функции принадлежности, а значение [ ]Mω, полученное в результате процедуры дефаззификации, составляет , что отражает асимметричность полученной фу
    (check this in PDF content)

  20. Start
    22514
    Prefix
    наработки до аварии комплекса При этом значение Mω, вычисленное классическим способом, составляет , что совпадает с максимумом функции принадлежности, а значение [ ]Mω, полученное в результате процедуры дефаззификации, составляет , что отражает асимметричность полученной функции принадлежности. Также оценили вклад каждого из нечетких параметров в неопределенность результата в соответствии с
    Exact
    [8]
    Suffix
    . Так для параметра χλ получили 0.506858, для γλ – 7 0.4 10 − ×, для ξλ – 0.491839, а для ηλ получили 0.00130296. Заключение Таким образом, в данной работе предложен подход к оценке средней наработки до аварии комплекса «объект защиты – система безопасности» с учетом неопределенности в задании неопределенностью исходных данных.
    (check this in PDF content)