The 12 reference contexts in paper , , И. Чумаков А., А. Антонов В. (2016) “ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ НЕПОЛНОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ // ASSESSMENT OF RELIABILITY PERFORMANCE UNDER THE ASSUMPTION OF INCOMPLETE RECOVERY” / spz:neicon:sustain:y:2014:i:1:p:3-20

  1. Start
    3030
    Prefix
    Однако в наше время становятся все более востребованными модели, позволяющие учитывать неполное восстановление элемента, в том числе модель обобщенного процесса восстановления. Среди основополагающих работ на эту тему можно отметить
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Модели Кижима являются предметом исследования настоящей работы. 1. Обобщенный процесс восстановления, модели Кижима Пусть vi-1 – виртуальный возраст элемента на момент (i-1)-го восстановления. Xi – i-ая наработка на отказ.
    (check this in PDF content)

  2. Start
    3305
    Prefix
    Обобщенный процесс восстановления, модели Кижима Пусть vi-1 – виртуальный возраст элемента на момент (i-1)-го восстановления. Xi – i-ая наработка на отказ. Тогда Xi имеет следующую функцию распределения
    Exact
    [2-3]
    Suffix
    : 11 1 ()() (); 1() ii i i Fxv Fv Fx Fv −− − +− = − (1) отсюда вероятность безотказной работы (ВБР) можно записать в виде: 1 1 () ()1 (); () i ii i Pxv Px Fx Pv − − + =− = (2) где F(x) – функция распределения наработки до первого отказа для абсолютно нового элемента.
    (check this in PDF content)

  3. Start
    5250
    Prefix
    Математическое ожидание среднего числа отказов на интервале (0; t] также известно как «функция восстановления», «ведущая функция потока» (в зарубежной литературе – «Cumulative Intensity Function», например
    Exact
    [3]
    Suffix
    ). В дальнейшем в тексте статьи используется термин «ведущая функция потока» (ВФП). Для случая неполного восстановления данная величина определяется уравнением [1, 3]: 00 () ((|0) ()( |)), t Ht ghxg xxdxd τ =+−τττ∫∫ (5) где: ( )()() (| );(); (); 1() f t qxdH tdF t gtxhtft F qxdtdt + === − .
    (check this in PDF content)

  4. Start
    5413
    Prefix
    Математическое ожидание среднего числа отказов на интервале (0; t] также известно как «функция восстановления», «ведущая функция потока» (в зарубежной литературе – «Cumulative Intensity Function», например [3]). В дальнейшем в тексте статьи используется термин «ведущая функция потока» (ВФП). Для случая неполного восстановления данная величина определяется уравнением
    Exact
    [1, 3]
    Suffix
    : 00 () ((|0) ()( |)), t Ht ghxg xxdxd τ =+−τττ∫∫ (5) где: ( )()() (| );(); (); 1() f t qxdH tdF t gtxhtft F qxdtdt + === − . Решение (5) невозможно аналитическим путем и даже численное решение затруднительно [3].
    (check this in PDF content)

  5. Start
    5618
    Prefix
    Для случая неполного восстановления данная величина определяется уравнением [1, 3]: 00 () ((|0) ()( |)), t Ht ghxg xxdxd τ =+−τττ∫∫ (5) где: ( )()() (| );(); (); 1() f t qxdH tdF t gtxhtft F qxdtdt + === − . Решение (5) невозможно аналитическим путем и даже численное решение затруднительно
    Exact
    [3]
    Suffix
    . В 1998 году Каминским и Кривцовым был предложен способ вычисления ведущей функции потока, использующий метод Монте-Карло. В настоящее время именно этот подход широко применяется для исследования обобщенных процессов восстановления.
    (check this in PDF content)

  6. Start
    6188
    Prefix
    Для моделирования по методу Монте-Карло необходимо предполагать вид функции распределения наработки до первого отказа, параметры функции распределения, а также значения параметра q. Оценка параметров возможна различными способами. 2. Оценка параметров модели в предположении распределения Вейбулла Каминский и Кривцов в своей работе
    Exact
    [3]
    Suffix
    предлагают использовать метод наименьших квадратов: где Hэмп – эмпирическая ведущая функция потока; HМК – оценка функции по методу МонтеКарло; 12( , ..., )pθθθ– вектор параметров распределения. 6 Оценка вектора 12( , ..., )pθθθ и параметра модели q подобным образом влечет за собой большие вычислительные расходы.
    (check this in PDF content)

  7. Start
    6689
    Prefix
    наименьших квадратов: где Hэмп – эмпирическая ведущая функция потока; HМК – оценка функции по методу МонтеКарло; 12( , ..., )pθθθ– вектор параметров распределения. 6 Оценка вектора 12( , ..., )pθθθ и параметра модели q подобным образом влечет за собой большие вычислительные расходы. Рассмотрим подробнее альтернативный подход, заключающийся в использовании метода максимального правдоподобия
    Exact
    [2, 4, 5]
    Suffix
    . Предположим, что наработка до первого отказа имеет распределение Вейбулла. Необходимо заметить, что функция этого распределения имеет различные формы записи. В данной работе будем использовать следующий вид распределения, несколько упрощающий дальнейшие расчеты: ( ) 1 exp( );Fxx β =−−λ. (6) Перепишем ВБР i-той наработки на отказ (2) с использованием (6): 11 11 11 () exp( () ) ( )exp( ((
    (check this in PDF content)

  8. Start
    7998
    Prefix
    ln(); n n iiiii i i L q nv xvxvββλβλ β λβ−−− = = = + +−+ +−+∑∑. (7) Далее мы можем продифференцировать полученную логарифмическую функцию правдоподобия (7) по каждому из аргументов,,qλβ, приравнять производные к нулю и решить полученную систему относительно ,,qλβ. К сожалению, аналитического решения для такой системы не было найдено, поэтому для решения применяются численные методы
    Exact
    [2, 4, 5]
    Suffix
    . Стоит заметить, что современные программы математического моделирования (Matlab и т.п.) позволяют эффективно вычислять максимум заданной функции от многих переменных, избавляя от зачастую громоздких операций дифференцирования и явного указания системы уравнений. 7 3.
    (check this in PDF content)

  9. Start
    8927
    Prefix
    Nj – число отказов, произошедших до времени T, есть смоделированное значение функции восстановления, далее моделирование повторяется необходимое число раз S. Итоговая оценка функции HМК(T) вычисляется как среднее из смоделированных значений
    Exact
    [5]
    Suffix
    : (8) Воспользуемся методом обратных функций [6, стр. 371-373] для моделирования наработок на отказ. Функция распределения наработки определяется (1). Обозначим Fi(x)=U, запишем полученное выражение 11 1 ()() ; 1() ii i Fxv Fv U Fv −− − +− = − .
    (check this in PDF content)

  10. Start
    8973
    Prefix
    Nj – число отказов, произошедших до времени T, есть смоделированное значение функции восстановления, далее моделирование повторяется необходимое число раз S. Итоговая оценка функции HМК(T) вычисляется как среднее из смоделированных значений [5]: (8) Воспользуемся методом обратных функций
    Exact
    [6, стр. 371-373]
    Suffix
    для моделирования наработок на отказ. Функция распределения наработки определяется (1). Обозначим Fi(x)=U, запишем полученное выражение 11 1 ()() ; 1() ii i Fxv Fv U Fv −− − +− = − . Откуда находим 1 x F Fv U Fv v((1 ( ))111( )) ;iii − =−+−−−−. (9) Функция, обратная функции распределения Вейбулла в формуле (6), равна 1 Fy1;l n ( 1 )()[ ]yβ λ −−=−. (10) Подставив (6) и (10
    (check this in PDF content)

  11. Start
    9624
    Prefix
    Fv U Fv v((1 ( ))111( )) ;iii − =−+−−−−. (9) Функция, обратная функции распределения Вейбулла в формуле (6), равна 1 Fy1;l n ( 1 )()[ ]yβ λ −−=−. (10) Подставив (6) и (10) в (9), получим итоговую формулу для моделирования i-той наработки на отказ: 1 1;1 ln i[( )]ii U xv vββ λ =−−−−. Для моделирования необходимо разыграть U~U[0;1]. 8 3.2. Оценка параметра потока отказов ГОСТ
    Exact
    [7]
    Suffix
    выделяет мгновенный параметр потока отказов (МППО), как предел отношения числа отказов на интервале, к длине интервала, стремящейся к нулю: 0 ( ( ) ()) () ( ) lim; t ENt t Nt dHt ht ∆→tdt +∆ − == ∆ а также средний параметр потока отказов (СППО) – среднее значение МППО на конечном интервале времени 2 1 12 21 1 (;)(); t t htthtdt tt = −∫ .
    (check this in PDF content)

  12. Start
    10585
    Prefix
    Согласно [8, стр.234] и центральной предельной теореме, получаем верхнюю границу ошибки вычислений интеграла по методу Монте-Карло (8) с коэффициентом доверия β: где: tβ – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t)=β/2
    Exact
    [6, стр. 365]
    Suffix
    , tβ = 3 для β=0,997 (правило трех сигм). Неизвестную дисперсию D(HMK) мы можем заменить ее несмещенной оценкой D: Откуда искомая формула погрешности вычисления ВФП методом Монте-Карло в некоторой точке принимает вид: 9 22 11 () ; 1 SS ii ii NN t S δβ == − ≤ − ∑∑ (12) Заметим, что ~1/Sδ, где S – количество итераций моделирования значения HМК(T) в точке T.
    (check this in PDF content)