The 11 reference contexts in paper Alla Meyerson Yu., Alexander Chernyaev P., Алла Меерсон Юрьевна, Александр Черняев Петрович (2016) “НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОТРЕБЛЕНИЕМ // SOME PROPERTIES OF THE VARIATIONAL PROBLEMS OF OPTIMAL CONTROL OF CONSUMPTION” / spz:neicon:statecon:y:2016:i:4:p:39-43

  1. Start
    3933
    Prefix
    Keywords: variational problem; coupling equation; optimal control; consumption; models of economic dynamics; utility function; integrated discounted utility of consumption. 1. Введение. Итак, задачу оптимального управления в общем виде ставим, как задачу максимизации интегральной дисконтированной полезности потребления
    Exact
    [1]
    Suffix
    . ()()max)exp( 1 0 ∫−⇒dtttcu t t δ.(1.1) Здесь t – время, t0 и t1 – начальный и конечный его моменты, а δ – коэффициент дисконтирования. Следуя [1] считаем, что полезность потребления оценивается функцией u(c), которая описывает постоянное отвращение к риску по Эрроу–Пратту: 0 (c) () ≥ ′ ′′ =− u ucc α.(1.2) Чтобы обосновать (1.2) и обсудить ее экономический смысл, введем обозначение g(c) = u׳(
    (check this in PDF content)

  2. Start
    4072
    Prefix
    Итак, задачу оптимального управления в общем виде ставим, как задачу максимизации интегральной дисконтированной полезности потребления [1]. ()()max)exp( 1 0 ∫−⇒dtttcu t t δ.(1.1) Здесь t – время, t0 и t1 – начальный и конечный его моменты, а δ – коэффициент дисконтирования. Следуя
    Exact
    [1]
    Suffix
    считаем, что полезность потребления оценивается функцией u(c), которая описывает постоянное отвращение к риску по Эрроу–Пратту: 0 (c) () ≥ ′ ′′ =− u ucc α.(1.2) Чтобы обосновать (1.2) и обсудить ее экономический смысл, введем обозначение g(c) = u׳(c).(1.3) Тогда g(c) является предельной полезностью потребления.
    (check this in PDF content)

  3. Start
    6399
    Prefix
    в левую часть (1.1) потребление с из уравнения (2.1), найдем, что IxutxPtxtdt t ()(()())exp(δ) 1 0 =+−−∫-ρ(2.6) t Таким образом, мы имеем задачу максимизации вариационного функционала (2.6) с закрепленными концами (2.2), (2.3). Уравнение Эйлера для этой задачи будет иметь вид: ()(())[(())]0=′+′−−ttetсu dt d ρtucteδδ.(2.7) 0 () 1 ()0ττ τ (3.3) Систему из (2.7) и (2.1) удается проинтегрировать
    Exact
    [4]
    Suffix
    и тогда                   =′−∫− t t ctuAtd 0 ()()exp()1ττρδ,(2.8) 0 Здесь предполагается выполненным начальные условия Y(t0) = Y0 > 0, Y(t1) = Y1 ≥ 0.(3.4) В настоящей работе предполагается, что B является =− = t t t t t s scsddsd xt Pex()xex()pp () ρττ0ττρ.(2.9) функцией времени, т. е.
    (check this in PDF content)

  4. Start
    7357
    Prefix
    реализации экстремалью (2.8), (2.9) экстремума функционала (1.1), или, что то же самое (2.6) достаточно рассмотреть разность I(x + h) – I(x), где h = h(t) – малое возмущение, обращающееся в нуль на концах t0 и t1 и воспользоваться тем, что 0))((≤′′tcu. Справедливость последнего неравенства следует из свойств функции полезности, описывающей постоянное отвращение к риску по Эрроу–Пратту (1.2)
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Из (2.2), (2.3) и (2.8), (2.9) следует, что процент по наличным деньгам ρ = ρ(t) и зарплаты с пенсиями P = P(t) должны быть известными на всем отрезке [t, t1]. Экономически это означает, что домашнее хозяйство в момент времени t < t1 не может решить задачу оптимизации потребления не имея прогноза для ρ(t) и P(t) на (t0, t1].
    (check this in PDF content)

  5. Start
    8024
    Prefix
    Это исследование показывает меру преимущества домашних хозяйств заранее знающих о грядущих изменениях ρ(t) и P(t) перед всеми остальными хозяйствами. 3. Задача управления в модели Харрода-Домара В макроэкономической модели Харрода–Домара
    Exact
    [2, 3, 5, 6]
    Suffix
    с переменным коэффициентом капиталоемкости Очевидно, (3.6) является обобщением (3.3). Выражая потребление из уравнения (3.1) подставляем его в (1.1): JYuYBtYtdt t t ()(())exp(δ) 1 0 =−′−∫.(3.7) Нам достаточно рассмотреть разность J(Y + h) – J(Y), где h = h(t) – малое возмущение и показать не положительность этой разности.
    (check this in PDF content)

  6. Start
    8673
    Prefix
    На основании (3.7) можно записать () [(()())(()) ]. [()()(())]e ()() 1 0 1 0 ucthBthuctedt uYhBtYhuYBtYdt JYhJY t t t t t t ∫ ∫ − − =+−′− =+−′+′−−′= +−= δ δ (3.8) Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, имеем свойств функции полезности, описывающей постоянное отвращение к риску по Эрроу–Пратту (1.2)
    Exact
    [1]
    Suffix
    . 4. Задача управления в модели Солоу В макроэкономической модели Солоу [4] мы также решаем аналогичную задачу оптимального управления максимизируя интегральную дисконтированную полезность потребления (1.1) только под c = c(t) мы понимаем среднедушевое потребление.
    (check this in PDF content)

  7. Start
    8745
    Prefix
    (3.7) можно записать () [(()())(()) ]. [()()(())]e ()() 1 0 1 0 ucthBthuctedt uYhBtYhuYBtYdt JYhJY t t t t t t ∫ ∫ − − =+−′− =+−′+′−−′= +−= δ δ (3.8) Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, имеем свойств функции полезности, описывающей постоянное отвращение к риску по Эрроу–Пратту (1.2) [1]. 4. Задача управления в модели Солоу В макроэкономической модели Солоу
    Exact
    [4]
    Suffix
    мы также решаем аналогичную задачу оптимального управления максимизируя интегральную дисконтированную полезность потребления (1.1) только под c = c(t) мы понимаем среднедушевое потребление. Модель макроэкономической динамики Солоу весьма популярна и уже стала классической в математической экономике [4].
    (check this in PDF content)

  8. Start
    8994
    Prefix
    Задача управления в модели Солоу В макроэкономической модели Солоу [4] мы также решаем аналогичную задачу оптимального управления максимизируя интегральную дисконтированную полезность потребления (1.1) только под c = c(t) мы понимаем среднедушевое потребление. Модель макроэкономической динамики Солоу весьма популярна и уже стала классической в математической экономике
    Exact
    [4]
    Suffix
    . Уравнение модели макроэкономической динамики Солоу с переменными коэффициентами имеет вид =−+(1)(), ()000>=−ktkkfak dt dk λρ, k(t0) = k0 > 0 (4.1) 1 (()())(())(()) [()] ucthBth2tR ucthBthuctucthBth +′′−′+ +−=+−+ (3.9) (()) [()](), 2 где .0 при ])(o[)(2→′−′−=hBhhtBhtR)(t,(3.10) Подставляя (3.9) и (3.10) в (3.8), получим 1 ()()(()) [()]e 1 0 1 0 1 0 ucthBth2dtetRdte JYhJYucthBthdt t t tt t t t
    (check this in PDF content)

  9. Start
    11544
    Prefix
    ) емой уравнением (3.14) и условиями (3.4) экстремума t 0 функционала (1.1), или, что то же самое (3.7) достаточно рассмотреть разность J(Y + h) – J(Y), где h = h(t) – малое возмущение, обращающееся в нуль на концах t0 и t1 и воспользоваться тем, что 0))((≤′′tcu. Справедливость последнего неравенства следует из где u – функция полезности, а δ – коэффициент дисконтирования будущей полезности
    Exact
    [1]
    Suffix
    . Мы опять применяем вариационный метод решения задачи. Обозначив (4.6) за J(k), получаем функционал, как объект максимизации Jku()()()tttc t t ()expd 1 0 =−δ∫.(4.7) С учетом (4.13) предпоследнее равенство упрощается и будет иметь вид 1 t 1 − − t t uctdt dt d h ucthdt δ δ ρ ρ ρ ρ (4.12 ́ ́) Пользуясь, теперь, выражением (4.5) из (4.7) полуe (()) ′= ′ 0 ∫ ∫ − чим: ktdt dt dk Jku t t exp(δ) 1 ()
    (check this in PDF content)

  10. Start
    13014
    Prefix
    (4.15) и предыдущими условиями экстремума функционала (1.1), или, что то же самое (4.7) достаточно рассмотреть разность J(k + h) – J(k), где h = h(t) – малое возмущение, обращающееся в нуль на концах t0 и t1 и воспользоваться тем, что 0))((≤′′tcu. Справедливость последнего неравенства следует из свойств функции полезности, описывающей постоянное отвращение к риску по Эрроу–Пратту (1.2)
    Exact
    [1]
    Suffix
    . 5. Заключение Мы рассмотрели различные модели экономической динамики [1–6], общей особенностью которых является оптимизационная постановка. В них нужно максимизировать интегральную дисконтированную полезность потребления.
    (check this in PDF content)

  11. Start
    13057
    Prefix
    Справедливость последнего неравенства следует из свойств функции полезности, описывающей постоянное отвращение к риску по Эрроу–Пратту (1.2) [1]. 5. Заключение Мы рассмотрели различные модели экономической динамики
    Exact
    [1–6]
    Suffix
    , общей особенностью которых является оптимизационная постановка. В них нужно максимизировать интегральную дисконтированную полезность потребления. Все эти три модели это задачи оптимального управления и в роли управления выступает потребление.
    (check this in PDF content)