spz:neicon:technomag:y:2014:i:8:p:1-8

1

Пугачев В.С., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1990. 632 с.
Total in-text references: 1

In-text reference with the coordinate start=1271

Prefix

Ключевые слова: диффузия, частицы-гранулы, немарковский процесс 1. Введение Традиционные задачи диффузии и гидродинамики решаются обычно общепринятыми методами, хорошо разработанными за последнее время
Exact

[1]

Suffix

. Для линеаризованного уравнения Навье-Стокса и уравнения теплопроводности существует множество как аналитических, так и численных методов решения. Любые процессы в физических системах сопровождаются флуктуациями.

2

Морозов А.Н., Скрипкин А.В. Описание испарения сферической частицы жидкости как немарковского случайного процесса с использованием интегральных стохастических уравнений // Известия вузов. Физика. 2010. Т. 53, No 11. С. 55-64. [Morozov A.N., Skripkin A.V. Description of evaporation of a spherical liquid drop by a non-Markovian random process based on integral stochastic equations // Russian Physics Journal. 2011. Vol. 53, no. 11. P. 1167-1178. DOI: 10.1007/s11182-011-9546-y ]
Total in-text references: 2

In-text reference with the coordinate start=1713

Prefix

Их исследование традиционными методами приводит к марковскому характеру изменения соответствующих величин. Однако, как показывают даже относительно простые задачи, связанные с диффузией, гидродинамикой или теплопроводностью
Exact

[2, 3]

Suffix

, традиционные подходы могут оказаться лишь первым приближением. В частности, марковский характер классических задач при более детальном рассмотрении оказывается уже немарковским [4]. Так, например, известное броуновское движение при учете увлечения броуновской частицей окружающих ее частиц проявляет немарковский характер [5].
In-text reference with the coordinate start=5923

Prefix

плотности жидкости                      dd dn Dt x xDt nxt t 0 0 2 4 exp (,)1 , (7) откуда для потока (5) находим  dt d dn t D qtq t      0 ()10, (8) Полученная формулы не сводятся к конечной системе дифференциальных уравнений, а поэтому прохождение жидкости через трубку с частицами –гранулами будет относится к немарковскому процессу
Exact

[2]

Suffix

. Заметим, что формулы (6) и (7) соответствуют обычному диффузионному процессу в полупространстве с коэффициентом диффузии /D, что связано с наличием частицгранул в среде. В том случае, если флуктуациями потока жидкости можно пренебречь, а основной вклад в изменение его будет лежать во флуктуациях плотности жидкости (имеющих характер белого шума с интенсивностью ), то проводя преобразование

3

Морозов А.Н., Скрипкин А.В. Распространение тепла в пространстве вокруг цилиндрической поверхности как немарковский случайный процесс // Инженернофизический журнал. 2011. Т. 84, No 6. С. 1121-1127. [Morozov A.N., Skripkin A.V. Propagation of heat in the space around a cylindrical surface as a non-Markovian random process // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2011. Vol. 84, no. 6. P. 12011208. DOI: 10.1007/s10891-011-0585-6 ]
Total in-text references: 1

In-text reference with the coordinate start=1713

Prefix

Их исследование традиционными методами приводит к марковскому характеру изменения соответствующих величин. Однако, как показывают даже относительно простые задачи, связанные с диффузией, гидродинамикой или теплопроводностью
Exact

[2, 3]

Suffix

, традиционные подходы могут оказаться лишь первым приближением. В частности, марковский характер классических задач при более детальном рассмотрении оказывается уже немарковским [4]. Так, например, известное броуновское движение при учете увлечения броуновской частицей окружающих ее частиц проявляет немарковский характер [5].

4

Морозов А.Н. Необратимые процессы и броуновское движение. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 332 с.
Total in-text references: 1

In-text reference with the coordinate start=1898

Prefix

Однако, как показывают даже относительно простые задачи, связанные с диффузией, гидродинамикой или теплопроводностью [2, 3], традиционные подходы могут оказаться лишь первым приближением. В частности, марковский характер классических задач при более детальном рассмотрении оказывается уже немарковским
Exact

[4]

Suffix

. Так, например, известное броуновское движение при учете увлечения броуновской частицей окружающих ее частиц проявляет немарковский характер [5]. Интенсивность люминесценции, затухание которой происходит по беккерелевскому типу, имеет немарковский характер [6].

5

Morozov A.N., Skripkin A.V. Spherical particle Brownian motion in viscous medium as non-Markovian random process // Physics Letters A. 2011. Vol. 375, iss. 46. P. 4113- 4115. DOI: 10.1016/j.physleta.2011.10.001
Total in-text references: 1

In-text reference with the coordinate start=2044

Prefix

В частности, марковский характер классических задач при более детальном рассмотрении оказывается уже немарковским [4]. Так, например, известное броуновское движение при учете увлечения броуновской частицей окружающих ее частиц проявляет немарковский характер
Exact

[5]

Suffix

. Интенсивность люминесценции, затухание которой происходит по беккерелевскому типу, имеет немарковский характер [6]. Вообще говоря, марковскую модель следует считать лишь наиболее простой моделью, хотя она, безусловна, эффективна во многих случаях и дает тогда результат более простым путем.

6

Морозов А.Н., Скрипкин А.В. Описание флуктуаций интенсивности люминесценции как немарковского случайного процесса // Нелинейный мир. 2010. Т. 8, No 9. С. 545553.
Total in-text references: 1

In-text reference with the coordinate start=2159

Prefix

Так, например, известное броуновское движение при учете увлечения броуновской частицей окружающих ее частиц проявляет немарковский характер [5]. Интенсивность люминесценции, затухание которой происходит по беккерелевскому типу, имеет немарковский характер
Exact

[6]

Suffix

. Вообще говоря, марковскую модель следует считать лишь наиболее простой моделью, хотя она, безусловна, эффективна во многих случаях и дает тогда результат более простым путем. Предлагаемая работа посвящена исследованию потока жидкости с флуктуирующей составляющей скорости через цилиндрическую трубу заполненную частицами-гранулами.

7

Margolin G., Berkowitz B. Application of Continuous Time Random Walks to Transport in Porous Media // Journal of Physical Chemistry B. 2000. Vol. 104. P. 3492-3497.
Total in-text references: 1

In-text reference with the coordinate start=2939

Prefix

Заметим, что вопросы распространения жидких и газообразных веществ в средах, содержащих крупные частицы, а также в пористых средах, активно обсуждаются в научной литературе последние несколько десятков лет. В частности, в работе
Exact

[7]

Suffix

исследуется течение жидкости в среде с порами, которые рассматриваются как ловушки; статья [8] рассматривает частицы-гранулы как соответствующую броуновскую решетку. При этом происходит взаимодействие частиц движущейся жидкости и таких броуновских частиц.

8

Учайкин В.В., Учайкин Д.В. Броуновская ловушка // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9. C. 477-478.
Total in-text references: 1

In-text reference with the coordinate start=3034

Prefix

Заметим, что вопросы распространения жидких и газообразных веществ в средах, содержащих крупные частицы, а также в пористых средах, активно обсуждаются в научной литературе последние несколько десятков лет. В частности, в работе [7] исследуется течение жидкости в среде с порами, которые рассматриваются как ловушки; статья
Exact

[8]

Suffix

рассматривает частицы-гранулы как соответствующую броуновскую решетку. При этом происходит взаимодействие частиц движущейся жидкости и таких броуновских частиц. Заметим также, что в последнее время вместо частиц-гранул активно изучаются другие типы объектов, находящихся в жидкой среде, например, волокна [9]. 2.

9

Logvinova K., Neel M.-C. A Fractional Equation for Anomalous Diffusion in a Randomly Heterogeneous Porous Media // Chaos. 2014. Vol. 14. P. 982- 987. DOI: 10.1063/1.1796211
Total in-text references: 1

In-text reference with the coordinate start=3344

Prefix

При этом происходит взаимодействие частиц движущейся жидкости и таких броуновских частиц. Заметим также, что в последнее время вместо частиц-гранул активно изучаются другие типы объектов, находящихся в жидкой среде, например, волокна
Exact

[9]

Suffix

. 2. Постановка задачи Рассмотрим прямую трубку постоянного кругового сечения S, заполненную жидкостью, в общем случае с непостоянной плотностью, и направим ось Ox вдоль оси трубки (рис. 1). Рис 1.

10

Erochenkova G., Lima R. A Fractional Diffusion Equation for a Marker in Porous Media // Chaos. 2011. Vol. 11. P. 495. DOI: 10.1063/1.1391450
Total in-text references: 1

In-text reference with the coordinate start=4040

Prefix

Величиной, способной охарактеризовать степень пористости, может являться отношение   S Sx x0, (1) где xS0 – площадь сечения, не занятая гранулами, S – общая площадь сечения трубки. В случае гомогенной среды величину x можно считать постоянной. В работе
Exact

[10]

Suffix

, исходя из уравнения непрерывности, показано, что в указанных условиях диффузионное уравнение для концентрации частиц движущейся в трубке жидкости имеет вид   2 ,2, x nxt D t nxt x      , (2) где D – коэффициент диффузии (который, вообще говоря, тоже зависит от расстояния вдоль трубки, но мы этим фактом пренебрегаем).

11

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.
Total in-text references: 2

In-text reference with the coordinate start=5431

Prefix

Случай гомогенной среды Если распределение гранул в среде не зависит от расстояния вдоль оси трубки ( constx), то поставленная задача (2) – (5) может быть полностью решена. Решение дифференциального уравнения (2) с граничным и начальным условием (3) и (4) имеет вид
Exact

[11]

Suffix

               dn Dt x t x D nxt t 0 0 2 324 exp 2 1 (,), 0x. (6) Продифференцировав последнее выражение по координате x, получим уравнение для частной производной плотности жидкости                      dd dn Dt x xDt nxt t 0 0 2 4 exp (,)1 , (7) откуда для потока (5) находим  dt d dn t D qtq t      0 ()10, (8)
In-text reference with the coordinate start=7507

Prefix

и диффузии вблизи плоской поверхности в другой работе [12] Спектральная плотность мощности флуктуаций изменения концентрации жидкости (связанная с изменением плотности) определяется с помощью метода, используемого выше для получения функции (9), и у нулевого сечения имеет вид                DS S D Gn / 2 . (10) Эта формула также аналогична полученным в работе
Exact

[11]

Suffix

выражениям, относящимся к другим задачам. Эта аналогия может быть обоснована тем, что если касательную силу, действующую со стороны жидкости на единицу площади поверхности, dt dV FM из [12] заменить на соотношение dt dn QS, где Q – общее количество частиц жидкости, прошедшее за время dt через сечение трубки, то формулы переходят одна в другую.

12

Морозов А.Н., Скрипкин А.В. Применение уравнения Вольтерра второго рода для описания вязкого трения и теплопроводности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2006. No 3. С. 62-71.
Total in-text references: 2

In-text reference with the coordinate start=7204

Prefix

, т.е.  2 0 ~in, для спектральной плотности мощности флуктуаций потока жидкости получим     D Gq. (9) Таким образом, в этом случае флуктуации потока будут относиться к синему шуму, являющемуся производной от фликкер-шума. Заметим, что аналогичные выражениям (6) и (7) соотношения были получены в задачах теплопроводности и диффузии вблизи плоской поверхности в другой работе
Exact

[12]

Suffix

Спектральная плотность мощности флуктуаций изменения концентрации жидкости (связанная с изменением плотности) определяется с помощью метода, используемого выше для получения функции (9), и у нулевого сечения имеет вид                DS S D Gn / 2 . (10) Эта формула также аналогична полученным в работе [11] выражениям, относящимся к другим задачам.
In-text reference with the coordinate start=7694

Prefix

с помощью метода, используемого выше для получения функции (9), и у нулевого сечения имеет вид                DS S D Gn / 2 . (10) Эта формула также аналогична полученным в работе [11] выражениям, относящимся к другим задачам. Эта аналогия может быть обоснована тем, что если касательную силу, действующую со стороны жидкости на единицу площади поверхности, dt dV FM из
Exact

[12]

Suffix

заменить на соотношение dt dn QS, где Q – общее количество частиц жидкости, прошедшее за время dt через сечение трубки, то формулы переходят одна в другую. Из формулы (10) легко видеть, что при малых площадях сечения трубки спектральная плотность nG принимает характер фликкер-шума.